• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    高等數(shù)學(xué)重積分計算中的技巧探究

    2023-08-12 16:42:47孫曉玲杜建偉王鵬李有文
    科技風(fēng) 2023年22期
    關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué)

    孫曉玲 杜建偉 王鵬 李有文

    摘?要:重積分的計算是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重要內(nèi)容,但由于其對學(xué)生的空間想象能力要求較高,同時計算方法又很靈活,學(xué)生的學(xué)習(xí)難度較大,學(xué)習(xí)效果常常不太理想。本文主要總結(jié)了重積分計算中的一些常用技巧(如:奇偶對稱性、輪換對稱性)以及MATLAB軟件中的繪圖命令,并列舉了一些典型例題,希望可以幫助學(xué)生更好地掌握重積分的計算。

    關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);重積分;奇偶對稱性;輪換對稱性

    重積分的計算是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容,它對學(xué)生的空間想象能力要求較高,同時計算也比較復(fù)雜,很多學(xué)生因為空間想象能力差或計算功底不夠扎實而導(dǎo)致無法下手。重積分的解題步驟一般分為兩步:(1)根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的坐標(biāo)系;(2)確定積分次序,在選定的坐標(biāo)系下將重積分化為累次積分進(jìn)行計算[12]。坐標(biāo)系的選擇和積分次序的確定主要遵循計算方便、簡潔的原則,如果存在錯誤可能將無法進(jìn)行計算,因此是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)。

    為了使重積分的計算變得盡可能簡單,減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān),在重積分的計算中我們常常會使用一些技巧,如:奇偶對稱性、輪換對稱性等。通過對稱性的使用可以使積分區(qū)域變得簡單,從而有效降低對學(xué)生空間想象能力的要求,同時也可以簡化計算,達(dá)到事半功倍的效果。但是在高等數(shù)學(xué)的課本中往往并未直接給出這些對稱性的結(jié)論和使用方法,需要學(xué)生自己進(jìn)行觀察和總結(jié),為了更好地幫助學(xué)生進(jìn)行重積分的學(xué)習(xí),本文通過一些具體的例子給出了奇偶對稱性、輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用。

    另外,本文還介紹了一些MATLAB軟件中繪制三維圖形的命令,希望能通過數(shù)學(xué)軟件的靈活運(yùn)用幫助學(xué)生提高空間想象能力,進(jìn)而解決重積分的計算問題。

    1?奇偶對稱性在重積分計算中的應(yīng)用

    與定積分的奇偶對稱性類似,在二重積分、三重積分的計算中我們?nèi)匀豢梢允褂闷媾紝ΨQ性來簡化計算,具體使用方法如下:

    1.1?二重積分計算

    計算二重積分時,如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,那么:

    (1)當(dāng)f(-x,y)=-f(x,y)時(此時稱函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量x為奇函數(shù)),有I=Df(x,y)dxdy=0。

    (2)當(dāng)f(-x,y)=f(x,y)時(此時稱函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量x為偶函數(shù)),有I=Df(x,y)dxdy=2D1f(x,y)dxdy(其中D1為D的x0部分)。

    計算二重積分時,如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,那么:

    (1)當(dāng)f(x,-y)=-f(x,y)時(此時稱函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量y為奇函數(shù)),有I=Df(x,y)dxdy=0。

    (2)當(dāng)f(x,-y)=f(x,y)時(此時稱函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量y為偶函數(shù)),有I=Df(x,y)dxdy=2D2f(x,y)dxdy(其中D2為D的y0部分)。

    1.2?三重積分計算

    計算三重積分時,當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于xoy(或yoz,或zox)坐標(biāo)面對稱,被積函數(shù)f(x,y,z)關(guān)于變量z(或x,或y)為奇偶函數(shù)時,也有與二重積分類似的奇偶對稱性結(jié)論[3]。

    利用奇偶對稱性可以簡化重積分的計算,但是在使用此技巧時,需要同時考慮被積函數(shù)f(x,y)和積分區(qū)域D,即兩者的對稱性要相匹配。

    下面,我們列舉幾個利用奇偶對稱性進(jìn)行計算的例子:

    例1:計算I=D(|x|+yex2)?dxdy,其中D是由曲線|x|+|y|=1所圍成。

    解:本題的難點(diǎn)是被積函數(shù)含有絕對值函數(shù),因此關(guān)鍵是設(shè)法去掉絕對值符號。去掉絕對值符號的常用方法有兩種:一種方法是把積分區(qū)域分割成若干個子區(qū)域,使被積函數(shù)在子區(qū)域上不變號;另一種方法是利用奇偶對稱性。兩種方法相比,顯然后者更為簡單。

    因為積分區(qū)域D關(guān)于x軸,y軸都對稱,而被積函數(shù)x關(guān)于變量y,變量x均為偶函數(shù)。所以Dx?dxdy=4D1x?dxdy(D1為D在第一象限的部分)。

    而被積函數(shù)yex2關(guān)于y是奇函數(shù),所以Dyex2?dxdy=0。故I=Dx?dxdy+Dyex2dxdy=4D1x?dxdy+0=4∫10dx∫1-x0x?dy=4∫10x(1-x)dx=23。

    例2:計算I=Ωz(1+x+y)dxdydz,其中Ω是由曲面z=x2+y2及z=2-x2-y2所圍成的閉區(qū)域。

    解:本題的積分區(qū)域Ω適合用柱坐標(biāo)進(jìn)行計算,但此時被積函數(shù)較為復(fù)雜。通過觀察發(fā)現(xiàn)Ω關(guān)于yoz坐標(biāo)面對稱,而被積函數(shù)zx關(guān)于x是奇函數(shù),所以Ωzxdxdydz=0。

    同時,Ω關(guān)于zox坐標(biāo)面對稱,而被積函數(shù)zy關(guān)于y是奇函數(shù),所以Ωzydxdydz=0。

    故原式=Ωzdxdydz

    =∫2π0dθ∫10ρdρ∫2-ρ2ρ2zdz

    =2π∫10ρz222-ρ2ρ2dρ

    =π∫10ρ(2-ρ2-ρ4)dρ

    =712π。

    例3:計算I=Ω|x2+y2+z2-1|dv,其中Ω由圓錐面z=x2+y2與平面z=1所圍成。

    解:由于被積函數(shù)含x2+y2+z2且圓錐面z=x2+y2為球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)面φ=π4,故宜用球面坐標(biāo)系計算此三重積分。計算時應(yīng)先去掉被積函數(shù)中的絕對值記號。記Ω1為Ω中x2+y2+z21的部分,即Ω中位于球面x2+y2+z2=1以外的部分;Ω2=ΩΩ1,則Ω1,Ω2可分別用不等式組表示為:

    Ω1:1

    于是,

    I=Ω|x2+y2+z2-1|dv

    =Ω1(x2+y2+z2-1)dv+Ω2(1-x2+y2+z2)dv

    =∫2π0dθ∫π40dφ∫1cosφ1(r-1)r2sinφdr+∫2π0dθ∫π40dφ∫10(r-1)r2sinφdr

    =π6(322-2)+π6(1-22)

    =π6(2-1)。

    注意:計算三重積分時常用直角坐標(biāo)系,但有時為了便于確定積分上下限,需要采用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo),選擇坐標(biāo)系的一般方法是:

    (1)當(dāng)積分區(qū)域Ω的側(cè)面由圓柱面所圍成,或當(dāng)Ω在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為圓域x2+y2

    a2,且被積函數(shù)中含x2+y2、yx這樣的式子時,可考慮用柱面坐標(biāo);

    (2)當(dāng)積分區(qū)域Ω的邊界由球面、圓錐面等圍成,且被積函數(shù)中含有x2+y2+z2、x2+y2這樣的式子時,可考慮用球面坐標(biāo);

    (3)當(dāng)“便于定限”與“便于積分”二者無法兼顧時,應(yīng)首先考慮便于積分。

    總之,通過以上幾道例題可以看出,使用奇偶對稱性可以有效簡化積分區(qū)域和被積函數(shù),使本身非常復(fù)雜、甚至常規(guī)方法無法計算的問題變得簡單、易于上手,可以有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

    2?輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用

    輪換對稱性也是重積分計算中的一種常用方法,它的使用規(guī)則比較靈活,一般來說,如果表示積分區(qū)域的方程在輪換x→y,y→z,z→x下方程表達(dá)式不變,則被積函數(shù)中相應(yīng)變量對調(diào)后積分值不變,即可以考慮使用輪換對稱性去化簡計算[3]。

    例4:設(shè)Ω:x2+y2+z2

    1(x0,y0,z0),計算Ωx2?dxdydz。

    解:因為Ω的方程在x→y,y→z,z→x后方程表達(dá)式不變,由輪換對稱性可知Ωx2?dxdydz=Ωy2?dxdydz=Ωz2?dxdydz。

    所以Ωx2?dxdydz=13Ω(x2+y2+z2)?dxdydz

    =13∫π20dθ∫π20dφ∫10r2·r2sinφdr

    =13·π2·1·15?=π30。

    顯然,此題利用輪換對稱性可使被積函數(shù)變得簡單,可以有效簡化計算。

    3?MATLAB軟件在重積分計算中的應(yīng)用

    畫出積分區(qū)域的圖形是重積分計算的第一步,只有圖形確定了才能根據(jù)它的形狀選擇合適的坐標(biāo)系,進(jìn)而確定積分限進(jìn)行計算。但是很多學(xué)生因為空間想象能力比較差,常常在第一步——畫圖環(huán)節(jié)就被卡住了,導(dǎo)致學(xué)習(xí)到的一些積分計算技巧也無法施展。為了幫助這部分同學(xué),下面我們介紹一些關(guān)于MATLAB軟件的知識。

    (1)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y),繪制其三維曲面圖的MATLAB命令調(diào)用格式為:

    [x,y]=meshgrid(v1,v2);

    z=....;(寫出函數(shù)的表達(dá)式)

    surf(x,y,z)

    其中,v1,v2是x軸和y軸的分隔方式[45]。

    (2)設(shè)空間曲面的參數(shù)方程:x=x(u,v)

    y=y(u,v)

    z=z(u,v)(a

    ezsurf('x(u,v)','y(u,v)','z(u,v)',[a,b,c,d])[6]。

    例5:畫出雙曲拋物面z=-x24+y29的圖形。

    輸入命令:

    [x,y]=meshgrid(10:10);

    z=x.^2/4+y.^2/9;

    surf(x,y,z)

    運(yùn)行結(jié)果如圖1所示。

    例6:畫出雙葉雙曲面x216-y225+z29=-1的圖形。

    雙葉雙曲面x216-y225+z29=-1的參數(shù)方程為:

    x=4tanusinv

    y=5secu

    z=3tanucosv(02π)。

    輸入命令:

    ezsurf('4*abs(tan(u)).*sin(v)','5*sec(u)','3*abs(tan(u))*cos(v)',[0,pi,0,2*pi])

    axis([40?4040?4025?30])

    運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。

    4?總結(jié)

    奇偶對稱性和輪換對稱性是重積分計算中非常好用、非常有效的計算方法。在課堂教學(xué)中,我們要在“適度、夠用”原則的基礎(chǔ)上,不斷更新教學(xué)理念,合理創(chuàng)新教學(xué)方法,調(diào)整教學(xué)思路,在講授書本內(nèi)容的基礎(chǔ)上,適當(dāng)補(bǔ)充對稱性的相關(guān)內(nèi)容,幫助學(xué)生建立正確的解題思路。同時,也要開設(shè)基于MATLAB軟件的高等數(shù)學(xué)實驗課程,加強(qiáng)實踐教學(xué)、信息化教學(xué)。通過數(shù)學(xué)軟件的靈活使用,全面提高學(xué)生的空間想象能力和使用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力,讓學(xué)生切身體會到數(shù)學(xué)的實用性,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動學(xué)習(xí),并養(yǎng)成使用數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣。

    參考文獻(xiàn):

    [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2014.

    [2]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(理工類)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2017.

    [3]陳蘭祥.高等數(shù)學(xué)同步精講[M].北京:學(xué)苑出版社,2005.

    [4]薛定宇,陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解(第三版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2013.

    [5]艾冬梅,李艷晴,張麗靜,等.MATLAB與數(shù)學(xué)實驗第2版[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2014.

    [6]何正風(fēng).Matlab在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用[M].清華大學(xué)出版社,2012.

    項目資助:山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項目(J2021?377、J2021385、J2021394、J20220617、J20220596、J20220588、J20230795);中北大學(xué)本科教育教學(xué)改革項目(202170、2021123)

    作者簡介:孫曉玲(1981—?),女,山西大同人,博士,中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授,研究方向:圖論及其應(yīng)用。

    猜你喜歡
    高等數(shù)學(xué)
    《復(fù)變函數(shù)》課程的教與學(xué)
    農(nóng)科專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的探索
    應(yīng)用型本科院校高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)改革
    高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的銜接比較研究
    民辦高等院校高等數(shù)學(xué)的教學(xué)思考
    高等數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的探討
    高等數(shù)學(xué)建模思想與大學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維養(yǎng)成實踐研究
    試論類比推理在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的應(yīng)用
    數(shù)學(xué)建模的思想和方法的應(yīng)用
    高等數(shù)學(xué)的教學(xué)反思
    考試周刊(2016年79期)2016-10-13 22:13:30
    欧美xxxx性猛交bbbb| 成人影院久久| 免费观看a级毛片全部| 久久久久国产精品人妻一区二区| 亚洲av中文av极速乱| 国产 一区 欧美 日韩| 国产老妇伦熟女老妇高清| 成人特级av手机在线观看| 边亲边吃奶的免费视频| 两个人的视频大全免费| 身体一侧抽搐| 国产午夜精品一二区理论片| 免费高清在线观看视频在线观看| 街头女战士在线观看网站| 看非洲黑人一级黄片| 草草在线视频免费看| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 伦理电影免费视频| 美女高潮的动态| av视频免费观看在线观看| 我的老师免费观看完整版| 色吧在线观看| 亚洲av免费高清在线观看| 国产日韩欧美亚洲二区| 亚洲第一区二区三区不卡| www.色视频.com| 亚洲高清免费不卡视频| 精品亚洲成国产av| av在线蜜桃| 爱豆传媒免费全集在线观看| 在线免费十八禁| 亚洲第一av免费看| 久久久亚洲精品成人影院| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 亚洲欧美清纯卡通| 免费少妇av软件| 免费观看在线日韩| 日韩av免费高清视频| 大香蕉97超碰在线| 日韩视频在线欧美| 国产一区有黄有色的免费视频| 成人亚洲欧美一区二区av| 最新中文字幕久久久久| 最近手机中文字幕大全| 观看免费一级毛片| 日韩人妻高清精品专区| av一本久久久久| 色婷婷久久久亚洲欧美| 少妇的逼水好多| 成人毛片a级毛片在线播放| 国产一区亚洲一区在线观看| 人妻少妇偷人精品九色| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 亚洲美女黄色视频免费看| 一级二级三级毛片免费看| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 欧美高清成人免费视频www| 2022亚洲国产成人精品| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 国产精品伦人一区二区| 国产在线免费精品| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 亚洲综合精品二区| 人妻 亚洲 视频| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 欧美一区二区亚洲| 婷婷色av中文字幕| 亚洲成人av在线免费| 久久99热这里只有精品18| 亚洲国产最新在线播放| 精品一品国产午夜福利视频| 久久99蜜桃精品久久| 一级二级三级毛片免费看| 欧美3d第一页| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 少妇被粗大猛烈的视频| 美女福利国产在线 | 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 大话2 男鬼变身卡| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 建设人人有责人人尽责人人享有的 | 国产黄片视频在线免费观看| 亚洲av在线观看美女高潮| 国产高清不卡午夜福利| 一边亲一边摸免费视频| 国产中年淑女户外野战色| 18+在线观看网站| 国产精品国产三级专区第一集| 舔av片在线| 99热全是精品| 久热这里只有精品99| 不卡视频在线观看欧美| 性高湖久久久久久久久免费观看| 老司机影院毛片| 亚洲欧美精品自产自拍| 亚洲av中文av极速乱| 国内揄拍国产精品人妻在线| xxx大片免费视频| 看免费成人av毛片| 人人妻人人看人人澡| 亚洲中文av在线| 免费观看在线日韩| 国产精品成人在线| 国产一区二区在线观看日韩| 国产精品一及| 色视频在线一区二区三区| 一二三四中文在线观看免费高清| av女优亚洲男人天堂| 国产一级毛片在线| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 91狼人影院| 高清午夜精品一区二区三区| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 免费观看a级毛片全部| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 免费观看无遮挡的男女| 乱系列少妇在线播放| 久久久a久久爽久久v久久| 久久久久国产网址| 日韩国内少妇激情av| 日本av手机在线免费观看| 99热这里只有是精品在线观看| 中文字幕亚洲精品专区| 国产探花极品一区二区| 婷婷色麻豆天堂久久| 久久久久久久久大av| 免费观看无遮挡的男女| 免费看日本二区| tube8黄色片| 欧美丝袜亚洲另类| 亚洲av综合色区一区| 亚洲国产精品999| av福利片在线观看| 26uuu在线亚洲综合色| 在线观看国产h片| 最近手机中文字幕大全| 18禁动态无遮挡网站| 秋霞伦理黄片| 亚洲成色77777| 亚洲一区二区三区欧美精品| 免费观看a级毛片全部| 多毛熟女@视频| 日日摸夜夜添夜夜爱| 麻豆乱淫一区二区| 国产在线一区二区三区精| 欧美激情国产日韩精品一区| 国产成人精品久久久久久| 在线观看一区二区三区| 男女国产视频网站| 男人和女人高潮做爰伦理| 国产又色又爽无遮挡免| 日日撸夜夜添| 51国产日韩欧美| 欧美激情国产日韩精品一区| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 国产亚洲一区二区精品| av.在线天堂| 日韩强制内射视频| 国产高清三级在线| 欧美日韩视频精品一区| 亚洲精品国产av成人精品| 精品一品国产午夜福利视频| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 成年人午夜在线观看视频| 国产伦理片在线播放av一区| 又大又黄又爽视频免费| 秋霞在线观看毛片| 在线天堂最新版资源| 欧美另类一区| 新久久久久国产一级毛片| 成人毛片a级毛片在线播放| 亚洲精品久久午夜乱码| 美女中出高潮动态图| 亚洲欧美精品专区久久| av不卡在线播放| 亚洲无线观看免费| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 热re99久久精品国产66热6| 国产男女超爽视频在线观看| 免费av中文字幕在线| 亚洲av不卡在线观看| 男女免费视频国产| 在线观看免费高清a一片| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 欧美精品一区二区免费开放| 下体分泌物呈黄色| 黑丝袜美女国产一区| 亚洲精品国产色婷婷电影| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 国产黄片视频在线免费观看| 久久久a久久爽久久v久久| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 日韩免费高清中文字幕av| 人人妻人人看人人澡| 亚洲怡红院男人天堂| 久久精品夜色国产| 亚洲欧美精品自产自拍| 嫩草影院入口| 国产成人一区二区在线| 2018国产大陆天天弄谢| 亚洲精品一区蜜桃| 五月伊人婷婷丁香| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 人体艺术视频欧美日本| av在线播放精品| 美女中出高潮动态图| 黄片wwwwww| 麻豆成人午夜福利视频| 黑丝袜美女国产一区| 国产精品一区二区在线不卡| 免费少妇av软件| 日本午夜av视频| 五月天丁香电影| 免费大片黄手机在线观看| 日韩av免费高清视频| 久久久久久久国产电影| 欧美精品一区二区免费开放| 国产成人aa在线观看| 日本黄色日本黄色录像| 成人国产麻豆网| 我的女老师完整版在线观看| 中文天堂在线官网| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 最黄视频免费看| 爱豆传媒免费全集在线观看| 日韩 亚洲 欧美在线| 久久这里有精品视频免费| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 精品一区二区免费观看| 午夜福利影视在线免费观看| 成年女人在线观看亚洲视频| 欧美精品一区二区大全| 97在线视频观看| 亚洲国产最新在线播放| 欧美高清性xxxxhd video| 不卡视频在线观看欧美| 亚洲精品视频女| 国产高清国产精品国产三级 | 欧美+日韩+精品| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 丰满人妻一区二区三区视频av| 高清不卡的av网站| 欧美丝袜亚洲另类| 99热这里只有是精品50| 精品熟女少妇av免费看| 欧美日韩视频精品一区| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 麻豆精品久久久久久蜜桃| kizo精华| 街头女战士在线观看网站| 日本爱情动作片www.在线观看| 免费黄色在线免费观看| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 国产黄色免费在线视频| 欧美性感艳星| 91精品国产九色| 色网站视频免费| 五月玫瑰六月丁香| 亚洲国产最新在线播放| 99久久人妻综合| 国产精品一区二区性色av| 少妇裸体淫交视频免费看高清| videos熟女内射| 午夜日本视频在线| 黄色怎么调成土黄色| 亚洲不卡免费看| 边亲边吃奶的免费视频| 一级二级三级毛片免费看| 久久精品国产a三级三级三级| 99视频精品全部免费 在线| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 精品人妻熟女av久视频| 97超碰精品成人国产| 日韩人妻高清精品专区| 一级二级三级毛片免费看| 久久久久久久久久久丰满| 中文天堂在线官网| 青春草亚洲视频在线观看| 久久精品国产亚洲av天美| 国产高潮美女av| 久久精品久久精品一区二区三区| 欧美一级a爱片免费观看看| 日韩中字成人| 熟女人妻精品中文字幕| 国产在线免费精品| 国产亚洲欧美精品永久| 国产精品久久久久久久久免| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 久久久久人妻精品一区果冻| 亚洲av不卡在线观看| 交换朋友夫妻互换小说| 观看美女的网站| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 亚洲精品aⅴ在线观看| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 一个人免费看片子| 91久久精品电影网| 久久综合国产亚洲精品| 国产色爽女视频免费观看| 国产精品国产三级专区第一集| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 在线观看免费视频网站a站| 日本与韩国留学比较| 国产精品熟女久久久久浪| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 丰满人妻一区二区三区视频av| 国产亚洲一区二区精品| 亚洲欧美精品自产自拍| 免费大片18禁| 国产大屁股一区二区在线视频| 中文欧美无线码| 大香蕉97超碰在线| 91精品一卡2卡3卡4卡| 色婷婷av一区二区三区视频| 三级国产精品片| 久久久久久久久久人人人人人人| 日韩强制内射视频| 精品亚洲成国产av| 日韩av在线免费看完整版不卡| 最近中文字幕高清免费大全6| 97在线人人人人妻| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 又大又黄又爽视频免费| 51国产日韩欧美| 国产黄片美女视频| 青青草视频在线视频观看| 亚洲人成网站高清观看| 日本av免费视频播放| 亚洲av免费高清在线观看| 日韩成人伦理影院| av国产免费在线观看| 99久国产av精品国产电影| 伦理电影大哥的女人| 2018国产大陆天天弄谢| 国产乱人偷精品视频| 午夜福利在线在线| 一本久久精品| 内射极品少妇av片p| 777米奇影视久久| 美女视频免费永久观看网站| 永久网站在线| 在线观看美女被高潮喷水网站| 国产深夜福利视频在线观看| 中文天堂在线官网| 欧美成人a在线观看| 日韩成人伦理影院| 美女国产视频在线观看| 热re99久久精品国产66热6| 日韩人妻高清精品专区| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 在线播放无遮挡| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 国产精品一区www在线观看| 美女中出高潮动态图| 精品熟女少妇av免费看| 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 亚洲自偷自拍三级| 如何舔出高潮| 中文天堂在线官网| 九色成人免费人妻av| 人妻系列 视频| 国产成人精品福利久久| 亚洲综合色惰| 国产视频内射| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 亚洲精品国产色婷婷电影| 高清在线视频一区二区三区| 永久免费av网站大全| av在线播放精品| 成年女人在线观看亚洲视频| 精品国产三级普通话版| 欧美3d第一页| 亚洲av二区三区四区| 亚洲国产av新网站| 欧美丝袜亚洲另类| 久久久久久久久久久免费av| 久久影院123| 新久久久久国产一级毛片| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 最近手机中文字幕大全| 久久鲁丝午夜福利片| 一级a做视频免费观看| 国产v大片淫在线免费观看| 老司机影院毛片| 久久人人爽av亚洲精品天堂 | 国产精品无大码| 我要看黄色一级片免费的| 18+在线观看网站| 国产伦精品一区二区三区视频9| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 免费观看在线日韩| 18禁在线播放成人免费| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 成年av动漫网址| 这个男人来自地球电影免费观看 | 国产久久久一区二区三区| 老司机影院成人| 97在线人人人人妻| 女性生殖器流出的白浆| 在线观看美女被高潮喷水网站| 亚洲第一av免费看| 日本wwww免费看| 国产精品一二三区在线看| 国产高清三级在线| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 亚洲精品一区蜜桃| 成人国产麻豆网| 欧美高清性xxxxhd video| 免费大片黄手机在线观看| 少妇的逼好多水| 最近最新中文字幕大全电影3| 美女中出高潮动态图| av免费在线看不卡| 纯流量卡能插随身wifi吗| 亚洲av国产av综合av卡| 老司机影院成人| 99精国产麻豆久久婷婷| 久久青草综合色| 亚洲欧美成人精品一区二区| 久久久国产一区二区| 精品亚洲成a人片在线观看 | 国产人妻一区二区三区在| 国产av码专区亚洲av| 国产高清有码在线观看视频| 97超碰精品成人国产| 日韩av免费高清视频| 一个人免费看片子| 亚洲国产av新网站| 特大巨黑吊av在线直播| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 水蜜桃什么品种好| 久久人妻熟女aⅴ| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 国产一区二区三区综合在线观看 | 午夜精品国产一区二区电影| 哪个播放器可以免费观看大片| a级毛色黄片| 男女边摸边吃奶| 亚洲av免费高清在线观看| 99精国产麻豆久久婷婷| 91精品国产国语对白视频| 一个人看视频在线观看www免费| 激情五月婷婷亚洲| 国产伦精品一区二区三区四那| 精品午夜福利在线看| 又爽又黄a免费视频| 街头女战士在线观看网站| 精品人妻熟女av久视频| 人体艺术视频欧美日本| 久久 成人 亚洲| 亚洲最大成人中文| 欧美另类一区| 纯流量卡能插随身wifi吗| 成人午夜精彩视频在线观看| 免费av中文字幕在线| 国产在线男女| 久久久精品94久久精品| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 成人黄色视频免费在线看| 色视频www国产| 亚洲成色77777| 黄色怎么调成土黄色| 亚洲性久久影院| 色视频在线一区二区三区| 久久av网站| 天美传媒精品一区二区| 高清视频免费观看一区二区| 一级毛片久久久久久久久女| 久久亚洲国产成人精品v| 一边亲一边摸免费视频| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 国产黄色视频一区二区在线观看| 两个人的视频大全免费| 日本欧美国产在线视频| 人体艺术视频欧美日本| 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 久久人妻熟女aⅴ| 一区二区三区四区激情视频| 岛国毛片在线播放| 91久久精品国产一区二区成人| 欧美日本视频| 国产精品一区二区在线不卡| 亚洲精品一二三| 青春草亚洲视频在线观看| 免费看不卡的av| 一级a做视频免费观看| 国产 一区 欧美 日韩| 日本wwww免费看| 内地一区二区视频在线| 最黄视频免费看| 国产精品蜜桃在线观看| 观看av在线不卡| 亚洲av不卡在线观看| 91aial.com中文字幕在线观看| 啦啦啦啦在线视频资源| 中文欧美无线码| 免费看av在线观看网站| 国产真实伦视频高清在线观看| 亚洲精品中文字幕在线视频 | 97超碰精品成人国产| 舔av片在线| 亚洲,欧美,日韩| 99九九线精品视频在线观看视频| 日韩成人伦理影院| 天堂8中文在线网| 亚洲性久久影院| 在线观看美女被高潮喷水网站| 亚洲久久久国产精品| 综合色丁香网| 国产一区二区三区综合在线观看 | 欧美老熟妇乱子伦牲交| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 国产在线一区二区三区精| 欧美国产精品一级二级三级 | 色婷婷av一区二区三区视频| 国产又色又爽无遮挡免| 97热精品久久久久久| 亚洲av中文av极速乱| 老熟女久久久| 成人影院久久| 黑丝袜美女国产一区| 一级黄片播放器| 日韩制服骚丝袜av| 97超碰精品成人国产| av国产久精品久网站免费入址| 国产永久视频网站| av线在线观看网站| 国产高清国产精品国产三级 | 亚洲精品第二区| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 久久这里有精品视频免费| 91精品国产国语对白视频| 久久热精品热| 欧美成人午夜免费资源| 激情五月婷婷亚洲| 精品国产一区二区三区久久久樱花 | 久久久久久久大尺度免费视频| 啦啦啦在线观看免费高清www| 亚洲国产日韩一区二区| 国产精品一区www在线观看| 国内揄拍国产精品人妻在线| 另类亚洲欧美激情| 精品久久久久久久末码| 久久99精品国语久久久| 老女人水多毛片| 色视频在线一区二区三区| 男女免费视频国产| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 男女边吃奶边做爰视频| 国产高清不卡午夜福利| 性色av一级| 亚洲av福利一区| 欧美激情极品国产一区二区三区 | 26uuu在线亚洲综合色| 久久这里有精品视频免费| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 亚洲真实伦在线观看| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 免费大片18禁| 午夜福利网站1000一区二区三区| 国产91av在线免费观看| 伦理电影免费视频| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 欧美丝袜亚洲另类| 亚洲精品色激情综合| 亚洲最大成人中文| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 美女国产视频在线观看| 在线精品无人区一区二区三 | 欧美精品一区二区免费开放| 成人综合一区亚洲| 在线观看免费高清a一片| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 免费黄频网站在线观看国产| 一边亲一边摸免费视频| 97超碰精品成人国产| av不卡在线播放| 又大又黄又爽视频免费| 日韩在线高清观看一区二区三区| 国产精品久久久久成人av| 国产一区二区在线观看日韩| 另类亚洲欧美激情| 我要看黄色一级片免费的| 欧美bdsm另类| 国产精品人妻久久久久久| av不卡在线播放| 精品国产三级普通话版| 国产伦理片在线播放av一区| 热99国产精品久久久久久7| 亚洲欧洲国产日韩| 91狼人影院| 久久久久精品性色| 久久久久久久久大av| 欧美+日韩+精品| 亚洲综合精品二区| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 特大巨黑吊av在线直播| 七月丁香在线播放| 欧美变态另类bdsm刘玥| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 免费观看av网站的网址| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 青春草亚洲视频在线观看| 亚洲av成人精品一区久久| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 午夜老司机福利剧场| av在线观看视频网站免费| 免费看日本二区| 亚洲一级一片aⅴ在线观看|