一道高三模擬題的思路探究與拓展

樊陳衛(wèi)

一、問題給出

題目 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓O：x2+y2=1，C：x+12+y2=9，直線l與圓O相切，與圓C相交于點A、B兩點，分別以點A、B為切點作圓C的切線l1、l2，l1、l2交點為P，則OP的最小值____.

A.9 B.7 C.37 D.72

這道題是江蘇省海門中學(xué)、蘇州中學(xué)、淮陰中學(xué)、姜堰中學(xué)四校高三聯(lián)考的單選壓軸題，答案為D.我校學(xué)生在該題的得分率高達0.74，如此高的得分率是否與本題在試卷中起到單選壓軸作用的地位不太匹配呢？和學(xué)生交流后發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生得到正確答案的方法是觀察圓O上的切點D在原點O左右兩側(cè)的特殊情形，如圖1、2，再與動點D位置一般情形如圖3比照，憑直覺猜想得當(dāng)D在O點右側(cè)時OP有最小值，此時如圖2，在Rt△CAP中，由射影定理得CA2=CD·CP，易得CP=92，則OP最小值為72.

對于本題的命題意圖與學(xué)生臨場表現(xiàn)的出入，作為任課教師，筆者首先感到欣慰的是學(xué)生沒有被壓軸題的位置所嚇到，而是敢于面對勇于勝利，也貫徹了善于從特殊情形探索問題的結(jié)論和解決問題的思路這個數(shù)學(xué)思想方法.同時作為考后回顧，也有必要帶領(lǐng)學(xué)生對這道題目進行深入的探究，獲得對問題的本質(zhì)理解.

二、結(jié)論證明

OP有最小值為72這一結(jié)論的獲得比較輕松，但證明就沒有那么容易了，從哪里入手？有學(xué)生從平面幾何的角度來思考：

師：困難在于線段OP的長與點A、B為切點不容易直接關(guān)聯(lián)，如何利用“點A、B為切點”這一條件？

生：應(yīng)該連接CA、CP，CP與AB交點為M.如圖4.

師：很好，結(jié)合“點A、B為切點”這個條件看看有什么發(fā)現(xiàn)？

生：CA2=CM·CPCP=9CM .

師：能不能先確定CM的范圍，進一步確定CP的范圍？

生：CM由圓O的切線l確定，引入l與x軸夾角∠DEO=α，當(dāng)點E在點O右側(cè)時，考慮0<α<π2，OE=1sinα，由ΔODE∽ΔCME，得CMCE=ODOE，得CM=1+sinαCP=91+sinα，當(dāng)α越大，CP越小，當(dāng)α→π2時，CP→92，此時CP>92；再如圖2，當(dāng)α=π2時，CP=92；當(dāng)l與x軸平行，CM=1，CP=9；當(dāng)點E在點O左側(cè)時，考慮0<α<π2，由與點E在點O右側(cè)時類似方法可得CM=1－sinα，CP=91－sinα，此時CP>9；再如圖1，當(dāng)α=π2時，P點不存在.綜上，CP有最小值92.

師：很好，這個結(jié)論從圖上看顯而易見，但說清楚邏輯關(guān)系也要費一番功夫的，它對我們要解決的問題有幫助嗎？我們要求的是OP的最小值.

生：再考慮CP與OP的關(guān)系：OP≥CP－OC=CP－1.

師：CP與OP的關(guān)系還有其它的表達方式，由求解的問題確定選擇上述關(guān)系.

生：對，進一步有OP≥CP－OC=CP－1≥92－1=72，即OP≥72，l在圓O上切點D為1，0時，不等式取等號，故OP最小值為72.

師：很好.這個解法中CP連接已知和所求的橋梁，大家可以從CP的作用體會解題的思路.另外，從前面的解題過程中大家能感覺到動點P的軌跡是什么曲線嗎？

生：感覺CP的長可以是無窮的，有可能是拋物線或雙曲線？

師：到底是不是拋物線或雙曲線，需要求出軌跡方程，要從解析幾何的角度去探究了.

三、軌跡方程

思路1 直線l于圓O是切線，對于圓C是關(guān)于圓外點P的切點弦，可以從這兩個角度表示出直線l的方程，解法如下：

解法1：直線l的方程變量x、y的系數(shù)不同時為0，不失一般性，不妨設(shè)其方程為kx+y+t=0，由直線l對于圓O是切線，d=t1+k2=1，即l為kx+y±1+k2=0（*）.設(shè)點P（x0，y0），過P（x0，y0）的切點弦方程為x0+1x+1+y0y=9，整理得x0+1x+y0y+x0－8=0（**）.

由（*）與（**）是同一個方程，故x0+1=y0k，

x0－8=±y01+k2，消去k得到y(tǒng)0 2 = -18x0? + 63.即點P的軌跡為拋物線y2=－18x+63.

思路2 以CP為直徑構(gòu)造圓，由PA、PB為圓C的切線可得AB為兩圓的相交弦，從而得到直線AB方程.

解法2：設(shè)P（x0，y0），從而以CP為直徑的圓方程為x－x0x+1+y－y0y=0，化簡得x2+1－x0x－x0+y2－y0y=0，與圓C方程相減得到直線AB的方程為x0+1x+y0y+x0－8=0.

由題意得AB與圓O相切，從而x0-8x0+12+y02=1，得y02=-18x0+63.即點P的軌跡為拋物線y2=－18x+63.

兩個解法求軌跡方程的總體思路相似，都是設(shè)出動點坐標(biāo)，再利用條件建立含有動點坐標(biāo)的方程.區(qū)別之處是解法1直接由已知條件出發(fā)，思路比較自然，計算稍顯繁瑣；解法2巧妙構(gòu)造圓方程，使得計算簡捷明了.進一步思考如果兩圓圓心重合，易得動點P的軌跡為圓，隨著兩圓情況的變化，動點P的軌跡如何變化？

四、圓錐曲線

要弄清各種情形下動點P的軌跡，需要對原問題進行一般化：

圓O：x2+y2=r2r>0，C：x－a2+y2=R2R>r，直線l與圓O相切，與圓C相交于點A、B兩點，分別以點A、B為切點作圓C的切線l1、l2，l1、l2交點為P，則根據(jù)原題的方法可得P的軌跡方程為r2－a2x－a2+r2y2－2aR2x－a－R4=0，即r2－a2x－ar2+aR2－a3r2－a22+r2y2－r2R4r2－a2=0①.

當(dāng)a=0時，圓O與圓C是同心圓，軌跡方程①為x2+y2=R4r2，即半徑為R2r的同心圓；

當(dāng)a

當(dāng)a=r時，圓C的圓心在圓O上，軌跡方程①為拋物線r2y2－2aR2x－a－R4=0；

當(dāng)a>r時，圓C的圓心在圓O外，軌跡方程①為中心在ar2+aR2－a3r2－a2，0的雙曲線.

五、教學(xué)啟示

這道題的解題教學(xué)過程給筆者如下啟示：

首先教師不能只看學(xué)生解題結(jié)果對錯，而是應(yīng)該關(guān)注學(xué)生面對問題是怎么想的，做對了是怎么做對的，做錯了是什么原因做錯的，摸清了學(xué)生解題過程中的思維亮點和斷點，教師的解題教學(xué)才能有的放矢，有明確的針對性.其次，解題教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生思考的藝術(shù)性，針對學(xué)生的思維斷點，給學(xué)生指導(dǎo)下的普適性的提示，讓學(xué)生能在師生的思維交流中有自己的思考活動.最后，教師應(yīng)該認(rèn)識到，高考題大多是將一般性問題特殊化，具體化，只要做好對問題的特殊性與一般性分析，看高考題就能把握其本質(zhì).

（本文為南通市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題《基于“再創(chuàng)造”理念的高中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)實踐研究》（編號GH2021211）的教學(xué)成果.）