一道數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽題的解法探究

邱際春

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西省預(yù)賽第11題是一道平面幾何試題：

題目 如圖1所示，AD、AH分別是△ABC（其中AB>AC）的角平分線、高線，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MDH的外接圓交CM于點(diǎn)E.求證：∠AEB=90°.

此題的主要構(gòu)形為三角形與圓，涉及圓內(nèi)接四邊形、角平分線及四點(diǎn)共圓的有關(guān)性質(zhì).文［1］利用相似和到角給出了證明.筆者觀察圖形的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平面幾何中的常用定理及幾何變換，從多個(gè)視角給出下面幾種不同的證明方法.

視角一 利用角平分線、高線的性質(zhì)，結(jié)合倒角和相似轉(zhuǎn)化

評(píng)注：考慮到在幾何圖形中包含中線及多個(gè)線段的垂直關(guān)系，故可嘗試?yán)弥芯€長公式和勾股定理來尋找對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系，從而證明三角形相似，進(jìn)而利用倒角來證明所證結(jié)論.

視角三 巧妙構(gòu)造外接圓，運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化

評(píng)注：上述幾何圖形中存在多組相似三角形，而證明三角形相似的途徑有很多.考慮圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可通過構(gòu)造出另一圓內(nèi)接四邊形，利用切割線定理得到比例線段，進(jìn)而證得三角形相似，從而倒角即可完成證明.

視角四 利用反演變換的保角性，使其化繁為簡證法4：如圖5，以A為反演中心，單位長度為反演半徑作反演變換.

于是∠B′AD′=∠D′AC′，AD′=D′M′，直線BC的反形為以AH′為直徑的圓，要證∠AEB=90°，只需證∠AB′E′=90°.

評(píng)注：由于反演變換作為一種幾何變換具有互逆性、保角性等獨(dú)特的性質(zhì)，常用來證明線段、角等幾何量之間的關(guān)系.

結(jié)語：通過對(duì)上述預(yù)賽試題的剖析，我們從不同角度來解決這一圖形優(yōu)美、結(jié)構(gòu)簡練的幾何賽題，進(jìn)而得到了多種不同方法.由此可以看出，這是一道選拔考生和鍛煉學(xué)生發(fā)散性思維的絕好素材.每年世界各地的奧賽試題層出不窮、浩如煙海，且不乏構(gòu)思精巧的試題.如果能對(duì)賽題深度分析，做到一題多解，將有助于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，從而提高解題能力.

參考文獻(xiàn)

［1］中國數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)及數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)組編.高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊(cè)（2020）：預(yù)賽試題集錦［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2019：98.