一道拋物線試題的解答與推廣

盧恩良

1 試題呈現(xiàn)

已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線y=x-2與拋物線C交于A，B兩點(diǎn).

（1）求△FAB的面積；

（2）過拋物線C上一點(diǎn)P作圓M：（x-3）2+y2=4的兩條斜率都存在的切線分別與拋物線C交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D，E.證明：直線DE與圓M相切.

本題是典型的拋物線多動點(diǎn)問題，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行考查，對學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有較高的要求.直線與圓錐曲線綜合問題，常規(guī)方法是聯(lián)立直線與曲線方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，將幾何條件代數(shù)化進(jìn)行求解，但往往求解復(fù)雜，運(yùn)算繁瑣.

因拋物線方程的特點(diǎn)，對于拋物線多動點(diǎn)問題，我們常采用設(shè)點(diǎn)法，利用拋物線的兩點(diǎn)弦方程簡化計(jì)算.本文主要對試題第（2）問進(jìn)行解答.

2 試題解答

思路分析：雖然P，D，E三點(diǎn)都在拋物線上運(yùn)動，但點(diǎn)D和E的運(yùn)動都是由點(diǎn)P引起的.因此，只要確定好了點(diǎn)P，點(diǎn)D和E相應(yīng)也會確定，切線PD和PE也能確定下來. 如此看來，我們應(yīng)該想辦法借助于點(diǎn)P來表示直線DE方程，然后計(jì)算圓心M（3，0）到直線DE的距離等于半徑即可證得此題.

拋物線上兩點(diǎn)弦方程：已知拋物線y2=2px（p>0）上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AB方程為2px-（y1+y2）y+y1y2=0.

一般地，我們稱此方程為拋物線上兩點(diǎn)弦方程，證明過程略.

改編試題2 已知拋物線C：y2=4x，圓M：（x-t）2+y2=1（t>0）.過拋物線上一動點(diǎn)P作兩條斜率都存在的切線分別與拋物線交于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D，E.是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線DE與圓M相切？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由.