基于下記錄值的逆指數(shù)分布模型的Bayes估計(jì)

程 丹,席吉富,羅子怡,蘇彥玉,龍 兵

(荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院,湖北 荊門 448000)

0 引言

逆指數(shù)分布是可靠性試驗(yàn)中一類重要的壽命分布,關(guān)于此分布的統(tǒng)計(jì)推斷問題受到諸多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1]基于完全樣本,在復(fù)合LINEX損失下研究了逆指數(shù)分布模型參數(shù)的Bayes估計(jì),通過蒙特卡洛模擬對(duì)估計(jì)的優(yōu)良性進(jìn)行評(píng)估。文獻(xiàn)[2]在刻度平方誤差損失函數(shù)下討論了逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計(jì),通過隨機(jī)模擬方法說(shuō)明了刻度參數(shù)對(duì)Bayes估計(jì)的影響。文獻(xiàn)[3]選取參數(shù)的先驗(yàn)分布為無(wú)信息先驗(yàn)分布,分別在平方損失、LINEX損失及熵?fù)p失下研究了逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計(jì),并對(duì)三類損失函數(shù)下的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)進(jìn)行了比較。文獻(xiàn)[4]在平方損失、LINEX損失下討論了逆指數(shù)分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì),通過隨機(jī)模擬方式,論證了估計(jì)量的性質(zhì)。文獻(xiàn)[5]以逆指數(shù)分布模型為例,研究了損失函數(shù)及風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的Bayes 估計(jì),說(shuō)明了Bayes估計(jì)的合理性。國(guó)外也有許多關(guān)于逆指數(shù)分布統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的研究成果,如文獻(xiàn)[6-8]。

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為θ的逆指數(shù)分布,其概率密度函數(shù)及累積分布函數(shù)分別為:

(1)

(2)

其中,θ(>0)為未知參數(shù)。

根據(jù)式(1)及式(2),則可靠度函數(shù)R(t)及失效率函數(shù)h(t)分別為:

(3)

(4)

定義1 假設(shè){Xn,n≥1}是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,令

U(1)=1,U(n+1)=min{j:j>U(n),Xj

記錄值是一種特殊的次序統(tǒng)計(jì)量,由觀測(cè)值和出現(xiàn)順序決定,其在工程、壽命試驗(yàn)、體育、經(jīng)濟(jì)等方面都有著十分重要的應(yīng)用。許多學(xué)者對(duì)記錄值進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析并得到了一些重要的結(jié)論,文獻(xiàn)[9]基于下記錄值對(duì)廣義指數(shù)分布進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)推斷。文獻(xiàn)[10]基于記錄值討論了Kumaraswamy分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題。文獻(xiàn)[11-12]基于記錄值用Bayes方法研究了模型參數(shù)的估計(jì)。我國(guó)也有一些關(guān)于記錄值樣本的研究成果,如文獻(xiàn)[13-15]。但目前還未見到在下記錄值下關(guān)于逆指數(shù)分布統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的研究成果,故對(duì)這一問題進(jìn)行討論。

1 頻率估計(jì)

設(shè)XU(1)=x1,…,XU(n)=xn是來(lái)自逆指數(shù)分布(1)的n個(gè)下記錄統(tǒng)計(jì)量,根據(jù)文獻(xiàn)[14]可得到似然函數(shù)為:

(5)

將式(1)與式(2)代入式(5)可以得到:

(6)

根據(jù)式(6),對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

根據(jù)文獻(xiàn)[14]可知,統(tǒng)計(jì)量XU(n)的概率密度函數(shù)為:

因此對(duì)于逆指數(shù)分布模型來(lái)說(shuō),可以進(jìn)一步得到XU(n)的概率密度函數(shù)為:

2 Bayes估計(jì)

在Bayes統(tǒng)計(jì)推斷中,需事先確定先驗(yàn)分布及損失函數(shù),Gamma分布經(jīng)常被用作未知參數(shù)的先驗(yàn)分布,因此取θ的先驗(yàn)分布為Gamma分布,其概率密度函數(shù)為:

(7)

超參數(shù)a>0,b>0,Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

在統(tǒng)計(jì)決策理論及Bayes分析中,平方誤差損失函數(shù)是一種經(jīng)常被采用的對(duì)稱損失函數(shù),其優(yōu)點(diǎn)是可以較容易地計(jì)算出被估計(jì)量的Bayes估計(jì)。平方誤差損失被定義為:LS(φ(β),δ)=[δ-φ(β)]2,其中δ是φ(β)的一個(gè)估計(jì)。

在平方誤差損失函數(shù)下,φ(β)的Bayes估計(jì)為 :

(8)

其中,Eφ(·)表示關(guān)于φ(β)的后驗(yàn)密度函數(shù)求后驗(yàn)期望。

平方誤差損失函數(shù)是一類對(duì)稱損失函數(shù),過高及過低估計(jì)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)是相同的。在某些情況下,高估與低估會(huì)有不同的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn),因此對(duì)稱損失函數(shù)可能是不合理的?？紤]一類非對(duì)稱損失函數(shù),即熵?fù)p失函數(shù),它被定義為:

在熵?fù)p失函數(shù)下,φ(β)的Bayes估計(jì)為:

(9)

根據(jù)式(6)及式(7),可得θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為:

(10)

根據(jù)式(10)可得以下定理:

證明:根據(jù)式(8)可得:

證明:根據(jù)式(9)可得:

由式(9)可得熵?fù)p失函數(shù)下h(t)的Bayes估計(jì)為:

(i)在平方誤差損失函數(shù)下未知參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為:

(ii)在熵?fù)p失函數(shù)下未知參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為:

證明:(i)根據(jù)E-Bayes估計(jì)的定義,利用超參數(shù)a,b的概率密度函數(shù),對(duì)θ的Bayes估計(jì)再求一次數(shù)學(xué)期望就可以得到θ的E-Bayes估計(jì),因此在平方誤差損失函數(shù)下未知參數(shù)θ的E-Bayes估計(jì)為:

類似地也可以證明(ii)。

3 數(shù)值例子

利用頻率方法已經(jīng)得到了逆指數(shù)分布中未知參數(shù)的極大似然估計(jì)及一致最小方差無(wú)偏估計(jì)。利用Bayes方法得到了模型參數(shù)、可靠度及失效率的Bayes估計(jì)。針對(duì)具體的樣本進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,文獻(xiàn)[4]中給出了參數(shù)θ=2的逆指數(shù)分布樣本:8.709 4,45.335 6,3.081 9,15.665 2,1.139 8,97.746 9,1.533 8,1.452 4,15.073 4,6.562 7,1.004 4,0.450 1,17.831 1,1.239 3,1.655 3,4.838 7,1.590 7,2.643 1,0.730 8,170.450 2。

由此可以得到樣本總數(shù)為 5 的下記錄值:8.709 4,3.081 9,1.139 8,1.004 4,0.450 1。

表1 Bayes估計(jì)

4 結(jié)束語(yǔ)

基于下記錄值,討論了逆指數(shù)分布參數(shù)、可靠度、失效率的極大似然估計(jì)及Bayes估計(jì),研究了未知參數(shù)的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)。根據(jù)E-Bayes估計(jì)的定義,討論了未知參數(shù)在平方誤差損失及熵?fù)p失函數(shù)下的E-Bayes估計(jì)。為了解各類估計(jì)的效果,利用數(shù)值例子計(jì)算出各類估計(jì)的值,對(duì)于同一個(gè)被估計(jì)量在平方誤差損失函數(shù)下的估計(jì)值要大于在熵?fù)p失函數(shù)下的估計(jì)值?？梢钥紤]計(jì)算可靠度及失效率的E-Bayes估計(jì),由于沒有顯式表達(dá)式,可通過隨機(jī)模擬的方法計(jì)算出近似值。利用本方法基于上記錄值也可研究逆指數(shù)分布參數(shù)、可靠度及失效率的估計(jì)問題。