“繪”數(shù)學(xué) 促思維
——在教學(xué)中滲透畫圖策略

浙江杭州市余杭區(qū)良渚七賢小學(xué)（311100） 陳艷飛

小學(xué)低年級的學(xué)生抽象思維、邏輯分析能力還不夠成熟，需要逐步培養(yǎng)和提升。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決問題的過程中，面對繁雜的文字或者遇到較抽象的題目，時常會出現(xiàn)題意理解錯誤、解題思路不清晰等情況。這些情況長期不解決，會使得學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性降低、學(xué)習(xí)興趣減弱、學(xué)習(xí)能力下降。學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是生動活潑、主動且富有個性的過程。因此，教師在教學(xué)中可巧用畫圖“繪”數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生明確概念、理解題意、厘清邏輯關(guān)系、厘清數(shù)量關(guān)系、明確解題方向，從而得出解題策略，讓學(xué)生能站得高看得遠，數(shù)學(xué)思維更上一個臺階。

一、研究背景及現(xiàn)狀分析

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合能將抽象復(fù)雜的問題具體化、形象化，使得學(xué)生在解題時思路更加清晰，提升學(xué)生的解題能力。筆者就學(xué)生解題時的畫圖情況進行調(diào)研，采取分層抽樣方式對執(zhí)教學(xué)校的一至三年級學(xué)生進行抽樣調(diào)查，等比例選取了一至三年級共125 名學(xué)生發(fā)放問卷（如圖1），收回問卷120 份，回收率大于95%，調(diào)研數(shù)據(jù)具備參考價值。調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果見表1。

表1 調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表

圖1 調(diào)查使用的問卷

根據(jù)調(diào)查結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生的畫圖解題意識較薄弱，認為畫圖并不能幫助自己解決問題，覺得畫圖煩瑣費時；還有學(xué)生覺得畫圖會顯得自己對知識理解得不夠好，久而久之就不喜歡畫圖了；只有少數(shù)學(xué)生認為畫圖能夠幫助梳理數(shù)學(xué)信息、厘清題意、提取關(guān)鍵信息、簡化問題，從而提高做題的效率。

畫圖解題的過程需要學(xué)生多種感官的共同參與。運用畫圖簡化問題，將一些文字描述直觀呈現(xiàn)，需要從抽象的問題中概括問題的本質(zhì)，這個過程需要學(xué)生長期的經(jīng)驗積累。調(diào)研結(jié)果顯示，導(dǎo)致學(xué)生不喜歡畫圖解題的主要原因有：學(xué)生接觸畫圖解題的例題較少，掌握的畫圖策略較少；學(xué)生的主動意識不夠，平時沒有養(yǎng)成畫圖習(xí)慣；學(xué)生的抽象思維能力有限，不能運用畫圖將問題直觀化；學(xué)生未能找到題型與畫圖的聯(lián)系，缺少畫圖技巧，使得畫圖作用不大。

二、運用畫圖策略提升學(xué)生解決問題能力的實踐與研究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）提到，“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣”“建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型”“利用圖表分析實際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路”。畫圖與幾何直觀聯(lián)系密切，運用畫圖能搭建形象思維與抽象思維的橋梁，“以形助數(shù)、以數(shù)解形”形成數(shù)形結(jié)合，運用畫圖策略將抽象的概念內(nèi)涵、數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律可視化，將復(fù)雜的問題簡單化，可提升學(xué)生解題的成就感，增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。小學(xué)階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個循序漸進的過程。在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)不斷滲透畫圖意識，注重培養(yǎng)學(xué)生的畫圖習(xí)慣，提升學(xué)生運用畫圖方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

1.形成意識，運用畫圖策略解決排序問題

在小學(xué)低段數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生主動畫圖的意識比較淡薄。大多數(shù)學(xué)生面對題目時往往是看著題目空想，當(dāng)遇到文字較多、題意較難理解的題目時也只是多讀幾遍題目，這樣，學(xué)生容易出現(xiàn)思路不清、邏輯混亂等情況。長此以往，學(xué)生會逐漸失去學(xué)習(xí)這類題目的信心，削弱學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。對此，如果教師換個思路，在平時的教學(xué)中不斷滲透畫圖意識，在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的文字內(nèi)容轉(zhuǎn)換為直觀的圖形，培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力，幫助學(xué)生體會畫圖解題的便捷，使學(xué)生樂意畫圖，進而提升學(xué)生畫圖的主動性，這類問題自然也就迎刃而解了。

【例1】教學(xué)問題：“12 個小朋友排成一排，從左往右數(shù)，小明排在第7，小云排在第11，小明和小云之間有幾個小朋友？”

這個問題對于一年級的學(xué)生來說，直接通過思考得出答案是比較困難的。如果教師平時教學(xué)這類題型時常引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析，那么學(xué)生看到這道題就會想到通過畫圖（如圖2）直觀表示出12 個小朋友的位置關(guān)系。當(dāng)學(xué)生學(xué)會通過畫圖解答這個問題后，之后再遇到類似的問題自然就會選擇用畫圖策略進行解答。

圖2 畫圖表示例1問題中的位置關(guān)系

2.培養(yǎng)習(xí)慣，運用畫圖策略解決圖形周長問題

畫圖能夠有效地突出解題線索，直觀展示計算推理過程。培養(yǎng)學(xué)生的畫圖習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力。

【例2】教學(xué)問題：“（1）用兩個完全一樣的正方形拼一個長方形，長方形的周長比每個正方形多12 厘米。每個正方形的周長是多少厘米？（2）張大爺打算用籬笆圍一個長方形果園，長10米、寬6米，其中一邊靠墻，需要多少米的籬笆？”

對于這類習(xí)題，抽象思維能力較弱的學(xué)生容易思路混亂，產(chǎn)生畏難情緒，但是，如果運用畫圖來解就能很直觀地得出結(jié)果，如圖3、圖4。

圖3 學(xué)生運用畫圖解例2題（1）的過程

圖4 學(xué)生運用畫圖解例2題（2）的過程

運用畫圖策略幫助學(xué)生拓展解題思路、梳理步驟、明確邏輯關(guān)系、提煉過程，學(xué)生能夠通過畫圖發(fā)現(xiàn)解題思路，找到圖形周長之間的關(guān)系，提出自己的思考。這有利于學(xué)生主動性思維、抽象思維的培養(yǎng)，有助于學(xué)生在探索畫圖解決問題的過程中初步形成幾何直觀和推理意識。

3.提升能力，運用畫圖策略厘清數(shù)量關(guān)系

喜愛畫圖是小朋友的天性，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中巧用畫圖，不但能增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還能進一步激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動力，促進學(xué)生主動學(xué)習(xí)。運用畫圖把復(fù)雜的問題簡單化、煩瑣的文字圖像化、抽象的語言直觀化，有助于提升學(xué)生解決問題的能力。

【例3】教學(xué)問題：“小華有39元錢，如果小紅給小華14 元，那么他們倆的錢數(shù)就相同了，小紅原來有多少元？”

面對這類贈予一定數(shù)量后求自身原來是多少的題型，如果學(xué)生讀題后只是在腦海里想象過程，對題目邏輯關(guān)系的理解就容易出錯，如果運用畫圖策略，解題思路就會更加清晰。

如圖5，可知小華原來有39 元，加上小紅給的14 元，就是39+14=53（元），此時小紅也有53 元。求小紅原來有多少錢，只需要把小紅現(xiàn)有的錢加上14元即可，53+14=67（元）。

圖5 用線段圖厘清數(shù)量關(guān)系

4.感受價值，運用畫圖策略化繁為簡高效解決實際問題

運用畫圖策略不僅能幫助學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系、明確概念本質(zhì)、探究數(shù)學(xué)規(guī)律，還能化繁為簡高效解決問題。通過畫圖，學(xué)生的多種感官能協(xié)同作用，對已學(xué)知識融會貫通，做到舉一反三，學(xué)生通過圖形能想到同一類題，還有這類題的解題思路和方法。

【例4】教學(xué)問題：“小紅家、小麗家和學(xué)校在同一條直路上，小紅家距離學(xué)校682 米，小麗家距離學(xué)校743 米。小紅家距離小麗家多少米？有幾種可能的情況？”

對于同一條直線上的三點之間的距離問題，畫圖更直觀，如圖6可明顯得出要分兩種情況。

圖6 畫圖分析三點之間距離問題

【例5】教學(xué)問題：“喜迎新春，學(xué)校舉行了寫帶‘春’字成語的比賽，小明寫了5 個，小紅寫了4 個，小明和小紅一共寫出了多少個帶‘春’字的成語？”

如圖7，通過畫圖可以分析共同（相交）的部分是多少，不同的部分是哪些，幫助學(xué)生形成有序思考的數(shù)學(xué)思維。

圖7 畫圖分析集合問題

對于集合類問題，可以畫出類似的圖形解答，提高學(xué)習(xí)的效率和答題準(zhǔn)確率，使學(xué)生能舉一反三，增強學(xué)生的自信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

5.體會巧妙，運用畫圖策略將數(shù)學(xué)思維可視化

當(dāng)學(xué)生面對難度較大的數(shù)學(xué)問題時，僅通過讀題難以厘清思路且無從下筆。此時，教師積極引導(dǎo)學(xué)生用畫圖策略幫助理解，讓學(xué)生深刻感受通過畫圖策略將抽象的難題變成“可視”的圖形的過程，體會活用畫圖策略能將復(fù)雜的問題簡單化、煩瑣的文字圖像化，幫助高效解決難題，進一步體會到畫圖的便捷性、重要性。

【例6】教學(xué)問題：“如果a+b=5，ab=4，求a2+b2的值？若a+b=9，a2+b2=65，求ab的值？”

對于這類題型，可巧用完全平方公式（a±b）2=a2+b2± 2ab解題，很多學(xué)生并不能理解這個公式的推理過程，在使用時容易混淆。學(xué)生需要對這個公式理解透徹并能靈活運用，如圖8 所示，可以借助畫圖幫助學(xué)生理解、記憶，這不但有助于學(xué)生更好地使用公式，更有利于學(xué)生利用公式變形巧妙地解決類似的數(shù)學(xué)問題。

圖8 借助畫圖理解完全平方公式

三、研究心得

教師要提高學(xué)生主動畫圖解題的意識，引導(dǎo)學(xué)生分析問題時可參考例題圖形，在教學(xué)中潛移默化地滲透畫圖解題意識，注重學(xué)生畫圖解題能力的培養(yǎng)，重視畫圖策略的階段性教學(xué)。

低段數(shù)學(xué)教材中的圖形一般是實物圖、情境圖，圖片為主文字為輔，可見對于低段學(xué)生的畫圖能力的要求是學(xué)生能用自己喜歡的圖形表示題意并解決問題。

如何讓學(xué)生喜歡上運用畫圖去理解題意呢？針對小學(xué)生的心理特點，在低段數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，為提升學(xué)生畫圖解題的主觀意識以及培養(yǎng)學(xué)生畫圖解題的習(xí)慣，教師需要注意畫圖解題教學(xué)的趣味性，不要僅僅為了得到答案而畫圖，這樣會使整個畫圖過程顯得枯燥無味，而是要在畫圖中體現(xiàn)思維，這樣的畫圖才是有意義的，讓學(xué)生感受到畫圖的生動有趣，感受到數(shù)學(xué)源于生活，明白可以畫圖解決生活中的實際問題，從而幫助學(xué)生得到全面的發(fā)展。

教師滲透畫圖意識的同時需要及時對學(xué)生的畫圖策略給予恰當(dāng)評價。教學(xué)低段學(xué)生時，可以引導(dǎo)學(xué)生在畫圖中增加自己喜歡的元素，讓學(xué)生結(jié)合例題、生活情境等進行畫圖改造，形式可以多種多樣。同時，對于學(xué)生的畫圖成果，教師也要及時給予評價，這有助于提升學(xué)生的畫圖積極性以及興趣。評價方式可以多種多樣，可以是教師的評價、同學(xué)的評價、自我的評價、家長的評價等。高效的評價可以強化學(xué)生的畫圖意識，有利于學(xué)生之間相互學(xué)習(xí)畫圖策略，幫組學(xué)生樹立信心，促進學(xué)生積極發(fā)展。

學(xué)生的天性都比較喜歡“畫”，學(xué)生將自己的理解、思考過程和思考結(jié)果通過畫圖展示出來，同時也將自己的數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)出來。引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)畫出來，可以通過畫點子圖、線段圖、解題思路圖、小報等，去理解和表達自己眼中的數(shù)學(xué)知識。讓學(xué)生的思維可視化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生的“畫”不僅僅是美術(shù)層面的畫，更是學(xué)生帶著數(shù)學(xué)思考的畫。

由于小學(xué)低段學(xué)生缺乏畫透視圖、線段圖、草圖等的日常練習(xí)，畫圖經(jīng)驗不足，畫圖能力較弱。平時教師需要加強畫圖策略的滲透，可以布置一些畫圖實踐作業(yè)，可以是手抄報、情境設(shè)計圖、數(shù)學(xué)小游戲設(shè)計等，看看學(xué)生的創(chuàng)意，這對他們的思維是一種鍛煉和啟發(fā)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中遇到難理解的問題時，巧用畫圖策略可以幫助拓展思維，進行思維上的突破，從而找到解題的方法。教師要認識到這一點，在教學(xué)過程中潛移默化地滲透畫圖策略，適當(dāng)?shù)夭扇—剟顧C制、游戲機制，讓學(xué)生將畫圖當(dāng)作一種好玩的游戲，還可以讓學(xué)生根據(jù)自己的想法去設(shè)計主題為“生活與數(shù)學(xué)”的手抄報，結(jié)合畫圖進行題型歸類整理，讓學(xué)生樂于畫圖，從而培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力。

在低段數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師要結(jié)合教學(xué)目標(biāo)，綜合學(xué)生的實際情況，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖將題目以更加直觀、簡單的形式呈現(xiàn)，從而使學(xué)生感受到畫圖的實用價值，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖習(xí)慣，提升學(xué)生運用畫圖解決問題的能力，幫助學(xué)生形成不同的思維模式和解題的思路。