不同教材中“因數(shù)與倍數(shù)”的例題比較
——以人教版、蘇教版和北師大版教材為例

浙江仙居縣安洲小學(xué)（317300） 方 芳

“因數(shù)與倍數(shù)”是“數(shù)與代數(shù)”板塊中的內(nèi)容?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中對(duì)“因數(shù)與倍數(shù)”一課的“內(nèi)容要求”是認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)的含義，“學(xué)業(yè)要求”是掌握求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法、求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法。雖然各版本教材都按照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中的要求進(jìn)行編寫，但是具體的教學(xué)內(nèi)容各有特色。

一、三個(gè)版本教材例題編排的結(jié)構(gòu)比較

1.編排順序略有不同

人教版教材的“因數(shù)與倍數(shù)”一課編排在五年級(jí)下冊(cè)第二單元，蘇教版教材的“因數(shù)與倍數(shù)”一課編排在五年級(jí)下冊(cè)第三單元，北師大版教材的“倍數(shù)與因數(shù)”一課編排在五年級(jí)上冊(cè)第三單元。

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，人教版教材先是從對(duì)9 個(gè)除法算式進(jìn)行分類中引出因數(shù)和倍數(shù)的概念，再找出一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)和找出一個(gè)數(shù)的所有倍數(shù)。這樣的編排體現(xiàn)了由具體到抽象，再由抽象到具體的理念，幫助學(xué)生掌握概念。

蘇教版教材是先從“每排擺幾個(gè)，擺了幾排”的問(wèn)題中引出因數(shù)和倍數(shù)的意義，再給出求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法和求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

北師大版教材從生活情境中引出乘法算式，幫助學(xué)生初步建立倍數(shù)和因數(shù)的概念，讓學(xué)生探索求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法。

三個(gè)版本教材都是讓學(xué)生在乘法或除法算式中認(rèn)識(shí)倍數(shù)和因數(shù)，理解倍數(shù)和因數(shù)是一組相互依存的概念。

2.單元編排主線各異

“因數(shù)與倍數(shù)”屬于數(shù)論的內(nèi)容。人教版教材的單元標(biāo)題是“因數(shù)與倍數(shù)”，這個(gè)單元包括因數(shù)與倍數(shù)的概念，找出一個(gè)數(shù)的因數(shù)，找出一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，2和5的倍數(shù)的特征，認(rèn)識(shí)偶數(shù)與奇數(shù)，3的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念，制作100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，解決問(wèn)題（探索和的奇偶性）。

蘇教版教材的單元標(biāo)題是“因數(shù)與倍數(shù)”，這個(gè)單元包括因數(shù)和倍數(shù)的含義，找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，2、5和3的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的含義，質(zhì)因數(shù)的含義，分解質(zhì)因數(shù)，認(rèn)識(shí)公因數(shù)，認(rèn)識(shí)公倍數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的最大公倍數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

北師大版教材的單元標(biāo)題是“倍數(shù)與因數(shù)”，這個(gè)單元包括倍數(shù)與因數(shù)的含義，探究2、5 和3 的倍數(shù)的特征，找因數(shù)，認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)、合數(shù)。

由此可以看到各版本教材的單元編排主要有兩個(gè)不同：第一是單元教學(xué)內(nèi)容不同，人教版教材和北師大版教材把公因數(shù)和最大公因數(shù)、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的內(nèi)容移到“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元中，為學(xué)習(xí)約分和通分等知識(shí)服務(wù)；第二是知識(shí)側(cè)重點(diǎn)不同，人教版教材和蘇教版教材的單元標(biāo)題都是“因數(shù)與倍數(shù)”，而北師大版教材的單元標(biāo)題是“倍數(shù)與因數(shù)”。筆者從前測(cè)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生了解有關(guān)倍數(shù)的知識(shí)較多，對(duì)因數(shù)的知識(shí)了解甚少，因此，北師大版教材的單元標(biāo)題更符合學(xué)生的認(rèn)知。

二、三個(gè)版本教材例題的引導(dǎo)語(yǔ)類別比較

例題是指教材中用來(lái)幫助學(xué)生探究并認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的題目。例題中的引導(dǎo)語(yǔ)不僅能激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲，還能給學(xué)生提示，幫助他們找到正確的解題方向。

知識(shí)引導(dǎo)是通過(guò)卡通人物對(duì)話或氣泡圖等方式，告訴學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。如北師大版教材出示運(yùn)動(dòng)會(huì)上兩個(gè)班同學(xué)的隊(duì)形后，出示“9×4=36（人）”和“5×7=35（人）”，要求分別計(jì)算出兩個(gè)班的人數(shù)。

方法引導(dǎo)是借助卡通人物對(duì)話或氣泡圖等方式，給學(xué)生提示。如蘇教版教材在“找出36 的所有因數(shù)”這道題目中出示了“想一想，怎樣找可以做到不重復(fù)、不遺漏”的提示語(yǔ)。

問(wèn)題引導(dǎo)是通過(guò)提問(wèn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題。如蘇教版教材中“你能在右圖中表示出3 的倍數(shù)嗎”。

反思引導(dǎo)是在學(xué)生完成某道例題后，通過(guò)卡通人物對(duì)話或氣泡圖等方式，引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程。如蘇教版教材中“回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，你有什么體會(huì)”。

為了清楚地看到三個(gè)版本教材中“因數(shù)和倍數(shù)”一課的引導(dǎo)語(yǔ)，并分析引導(dǎo)語(yǔ)的作用，筆者對(duì)三個(gè)版本教材中不同課時(shí)內(nèi)容的引導(dǎo)語(yǔ)進(jìn)行了梳理。

三個(gè)版本教材中“認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)”內(nèi)容的引導(dǎo)語(yǔ)類別見表1，“求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法”內(nèi)容的引導(dǎo)語(yǔ)類別見表2，“求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法”內(nèi)容的引導(dǎo)語(yǔ)類別見表3。

表1 “認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)”例題引導(dǎo)語(yǔ)的類別

表2 “求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法”例題引導(dǎo)語(yǔ)的類別

表3 “求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法”例題引導(dǎo)語(yǔ)的類別

筆者分別統(tǒng)計(jì)了不同版本中各種例題引導(dǎo)語(yǔ)的使用頻率（見表4）和不同內(nèi)容中各種例題引導(dǎo)語(yǔ)的使用頻率（見表5），以便能直觀地看到各種引導(dǎo)語(yǔ)的使用頻率。

表4 不同版本中各種例題引導(dǎo)語(yǔ)的使用頻率

表5 不同內(nèi)容中各種例題引導(dǎo)語(yǔ)的使用頻率

從不同版本角度看，人教版教材和蘇教版教材中的引導(dǎo)語(yǔ)都涉及知識(shí)引導(dǎo)、方法引導(dǎo)、問(wèn)題引導(dǎo)和反思引導(dǎo)，但北師大版教材中沒有使用反思引導(dǎo)。三個(gè)版本教材中使用頻率最高的是問(wèn)題引導(dǎo)，其次是方法引導(dǎo)和知識(shí)引導(dǎo)。從不同內(nèi)容角度看，“求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法”課時(shí)使用引導(dǎo)語(yǔ)次數(shù)最多，其次是“求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法”。

三、三個(gè)版本教材例題的呈現(xiàn)方式比較

三個(gè)版本教材的例題呈現(xiàn)方式各有不同，具體表現(xiàn)在知識(shí)的導(dǎo)入和插圖的設(shè)計(jì)兩個(gè)方面。

1.三個(gè)版本教材例題導(dǎo)入都采用了“具體—抽象—具體”的思路

人教版教材先讓學(xué)生觀察除法算式并分類，概括出“是否有余數(shù)”的分類標(biāo)準(zhǔn)，再聚焦沒有余數(shù)的除法算式，說(shuō)一說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)。學(xué)生先經(jīng)歷從具體到抽象的推理過(guò)程，再具體學(xué)習(xí)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)和求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

蘇教版教材讓學(xué)生先用12 個(gè)同樣大的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)不同拼法寫出乘法算式，再結(jié)合算式說(shuō)明因數(shù)和倍數(shù)的含義，感受因數(shù)和倍數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，最后，找出36 的所有因數(shù)，用列舉的方法找出3 的倍數(shù)。在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生是從具體的算式抽象出因數(shù)和倍數(shù)的概念，運(yùn)用概念創(chuàng)設(shè)了找因數(shù)和找倍數(shù)的具體活動(dòng)。

北師大版教材先讓學(xué)生計(jì)算兩個(gè)班同學(xué)的人數(shù)，根據(jù)乘法算式提煉出倍數(shù)和因數(shù)的概念，再讓學(xué)生運(yùn)用概念判斷因數(shù)和倍數(shù)，最后探索找7 的倍數(shù)的方法。在這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了“具體—抽象—具體”的過(guò)程，不僅能掌握數(shù)學(xué)概念，還能發(fā)展推理能力。

2.三個(gè)版本教材例題中的插圖設(shè)計(jì)

三個(gè)版本教材的例題插圖都顏色鮮艷，富有童趣，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。根據(jù)插圖功能的不同，筆者將插圖分為裝飾型插圖、表征型插圖、組織型插圖和解釋型插圖。

裝飾型插圖是為了美化素材，提高學(xué)生的注意力和審美能力，但對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有實(shí)質(zhì)性作用。

表征型插圖能提供數(shù)學(xué)信息，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，如數(shù)學(xué)信息圖和數(shù)據(jù)圖表等。

組織型插圖能讓學(xué)生清楚地看到操作過(guò)程，如探究題中的實(shí)驗(yàn)步驟。

解釋型插圖是用來(lái)說(shuō)明解題過(guò)程的。

四種插圖的數(shù)量在三個(gè)版本教材例題中的分布情況見表6。

表6 三個(gè)版本教材例題中的插圖數(shù)量

三個(gè)版本教材中“因數(shù)與倍數(shù)”一課的插圖數(shù)量相差不大，大多采用表征型插圖和解釋型插圖。

綜上所述，三個(gè)版本教材在例題編排上大同小異，在例題引導(dǎo)語(yǔ)上各有千秋，教師要多使用表征型插圖和解釋型插圖，用生動(dòng)活潑的圖片吸引學(xué)生的眼球，促進(jìn)學(xué)生在提示中找到解題方向，更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。