立足核心素養(yǎng) 強(qiáng)化變式探究
——2023屆高三八省聯(lián)考第21題的多解、推廣及變式探究

王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué))

一道高質(zhì)量的數(shù)學(xué)試題,不但注重了在知識交匯處命題,而且立足于考查考生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),2023屆T8聯(lián)考高三第一次聯(lián)考卷第21題就是這樣的一道試題,本文圍繞這道圓錐曲線大題進(jìn)行研究,通過不同角度的探究,給出了該問題的5種不同解題方法,并進(jìn)一步作了相應(yīng)的方法總結(jié),然后在課本中找出該題的“題根”,最后對此題還進(jìn)行了推廣拓展、推廣應(yīng)用和變式探究,以期能夠提高典型例題的數(shù)學(xué)效果和效益.

1.試題呈現(xiàn)

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H,直線過拋物線C的焦點(diǎn)F且與C交于A,B兩點(diǎn),△HAB的面積的最小值為4.

(Ⅰ)求拋物線C的方程;

【分析】這道試題考查了圓錐曲線方程的求解、三角形面積的最值、直線過定點(diǎn)問題.第(Ⅰ)問較常規(guī),利用函數(shù)法即可解決.對于第(Ⅱ)問既可以采用設(shè)線法去找直線變量之間關(guān)系的解法,也可采取齊次化法的技巧,還可以利用拋物線的參數(shù)方程加以處理.試題穩(wěn)中求新,體現(xiàn)了考題的基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性,考查考生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).該道考題設(shè)問簡潔但內(nèi)容豐富,具有較大的探究空間.

2.解法探究

【視角1】如圖,對于(Ⅱ),常規(guī)思路是設(shè)出直線l的方程,再利用EM⊥EN去尋找直線變量間的關(guān)系,從而變量代換后求出拋物線上定點(diǎn)E的坐標(biāo).

解法1：(Ⅰ)易得拋物線C的方程為y2=4x.

(Ⅱ)假設(shè)存在E(x0,y0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

由題意知MN的斜率不為零,

∴y1+y2=4t, ①

y1·y2=4t-17. ②

【視角2】此題也可先設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo),利用直曲聯(lián)立,求出M,N點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合三點(diǎn)共線得E點(diǎn)坐標(biāo).

解法2：設(shè)點(diǎn)E(x0,y0),EM:x=t(y-y0)+x0,代入y2=4x可得y2-4ty+4ty0-4x0=0,

【視角3】此題在處理時(shí),所給條件可轉(zhuǎn)化成直線斜率之積,故可考慮先平移后齊次化來解決.

又M′N′:mx+ny=1,

【視角4】在使用齊次化處理該題時(shí),也可不平移,而是直接配湊成斜率后使用齊次化來解決.

解法4：∵直線MN不過E(x0,y0),∴設(shè)MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.

∵C:y2=4x,

配湊C得[(y-y0)+y0]2=4[(x-x0)+x0],故(y-y0)2+2y0(y+y0)=4(x-x0),

即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=4(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)],

【視角5】在設(shè)出拋物線上動(dòng)點(diǎn)時(shí),還可以考慮使用拋物線的參數(shù)方程來處理,較為簡潔.

3.變式探究

3.1 條件變式

【解析】∵直線MN不過E(x0,y0),∴設(shè)MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.

∵C:y2=4x,

配湊C得[(y-y0)+y0]2=4[(x-x0)+x0],故(y-y0)2+2y0(y+y0)=4(x-x0),

即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=4(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)],

3.2 類比變式

3.3 逆向變式

4.拓展探究

細(xì)品解題過程及結(jié)論,筆者發(fā)現(xiàn)第(Ⅱ)問的解答耐人尋味,值得探究.于是筆者思考,當(dāng)定點(diǎn)Q變?yōu)橐话阈缘亩c(diǎn)(s,t),背景的拋物線變?yōu)橐话阈缘膾佄锞€y2=2px(p>0),那么拋物線上是否還存在點(diǎn)E使EM⊥EN呢?如果存在,則所需要的充要條件是什么?如果EM⊥EN再變?yōu)橐话阈缘倪@兩條直線的斜率積為t呢?逆向思考又會(huì)出現(xiàn)什么?另外背景的拋物線變?yōu)闄E圓、雙曲線呢?基于以上思考,筆者探究得到如下結(jié)論:

【結(jié)論1】已知過點(diǎn)Q(s,t)的動(dòng)直線l交拋物線Γ:y2=2px(p>0)于M,N兩點(diǎn),則在Γ上存在點(diǎn)E使得EM⊥EN成立的充要條件為t2=2p(s-2p),且此時(shí)點(diǎn)E(s-2p,-t).

證明：∵M(jìn)N不過E(x0,y0),∴設(shè)MN:m(x-x0)+n(y-y0)=1.∵Γ:y2=2px,配湊Γ:[(y-y0)+y0]2=2p[(x-x0)+x0]?(y-y0)2+2y0(y+y0)=2p(x-x0),即(y-y0)2+2y0(y+y0)[m(x-x0)+n(y-y0)]=2p(x-x0)[m(x-x0)+n(y-y0)].

∵M(jìn)N:m(x-x0)+n(y-y0)=1,

我們正向探究得到了部分結(jié)論,那么逆向探究會(huì)得到哪些結(jié)論?

結(jié)論5,6,7的證明方法類似于結(jié)論4,略.

5.追本溯源

這道八省聯(lián)考高三圓錐曲線大題使用的方法,其實(shí)課本早有鋪墊,其與人教版選擇性必修第一冊第138頁6題有著很大的相似性:過拋物線y2=4x的頂點(diǎn)作互相垂直的弦OA,OB交拋物線于A,B兩點(diǎn),求證:直線AB過定點(diǎn)(4,0).這里使用結(jié)論1很快即可證明.

另外近幾年高考中也頻繁出現(xiàn)這類試題,比如2020年高考全國Ⅰ卷數(shù)理第20題、2022年高考全國甲卷數(shù)理第20題、2022年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題等.因此啟發(fā)我們在教學(xué)中要回歸教材,要讓教材和教輔資料各盡其責(zé)、物盡其用,防止本末倒置,要注意挖掘教材中例題習(xí)題背后廣泛而深遠(yuǎn)的意義,提煉更深層次的公式和結(jié)論,使學(xué)生深化相關(guān)知識.

6.結(jié)論應(yīng)用

(Ⅰ)求E的方程;

(Ⅱ)證明:直線CD過定點(diǎn).

即A(-2s,2t).