順應(yīng)“三新”趨勢(shì)探索變式教學(xué)模式
——數(shù)學(xué)變式征集活動(dòng)解析幾何專題試題選登

(作者單位 姓名:江西上饒余干第一中學(xué) 鄒榮華)

(作者單位 姓名:甘肅省嘉峪關(guān)市第二中學(xué) 彭長(zhǎng)軍)

(作者單位 姓名:江西上饒余干第一中學(xué) 葉新波)

(作者單位 姓名:陜西省寶雞市麟游縣中學(xué) 韓紅軍)

(作者單位 姓名:江西上饒余干第一中學(xué) 葉新波)

(作者單位 姓名:河北定州中學(xué) 趙偉娜)

【精選變式題組】

【母題1】(2022·江西余干一中)已知⊙O的方程為x2+y2=4,過M(4,0)的直線與⊙O交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為________.

【變式1】(知識(shí)變式)將母題中的“圓”換為“橢圓”

【變式2】(方法變式)將過圓外一點(diǎn)變?yōu)檫^圓內(nèi)一點(diǎn)

已知⊙O的方程為x2+y2=25,過M(4,2)的直線l與⊙O交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為________.

【變式3】(綜合變式)變圓中點(diǎn)弦為橢圓中點(diǎn)弦,變單空為雙空,定點(diǎn)與兩交點(diǎn)的位置由同側(cè)變?yōu)楫悅?cè),同樣可以用點(diǎn)差法處理問題.

(Ⅰ)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)Q為雙曲線C右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得∠QFM=2∠QMF?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【變式1】(知識(shí)變式)將“在x軸上是否存在定點(diǎn)M”變?yōu)椤霸趚軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)M”

(Ⅰ)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)設(shè)Q為雙曲線C右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為雙曲線C的右焦點(diǎn),在x軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)M.使得∠QFM=2∠QMF?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【變式2】(知識(shí)變式)命題背景由雙曲線變?yōu)闄E圓,同為考查角度的兩倍關(guān)系.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

【變式3】(綜合變式)變換為傾斜角互補(bǔ)關(guān)系,探究定點(diǎn).

已知圓C1:(x+5)2+y2=36,點(diǎn)C(5,0),點(diǎn)M是圓C1上的動(dòng)點(diǎn),MC的垂直平分線交直線MC1于點(diǎn)P.

(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程C2;

(Ⅱ)過點(diǎn)N(4,0)的直線l交曲線C2于A,B兩點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)G,使得直線AG和BG的傾斜角互補(bǔ)?若存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

【母題詳解及答案】

【母題1】【解題策略】本題考查圓中弦的中點(diǎn)軌跡問題,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

解法1:P為弦AB的中點(diǎn)→OP⊥PM→P在以O(shè)M為直徑的圓上→求解即可;

解法3:點(diǎn)差法→kAB=kPM→求解即可;

解法4:直線AB與圓聯(lián)立求解→用參數(shù)表示點(diǎn)P坐標(biāo)→消參即可

【解題思路】

【解法1】

點(diǎn)撥:利用圓中弦的中點(diǎn)得出垂直,從而構(gòu)造外接圓進(jìn)行求解.

連接OP,由圓的性質(zhì)可知OP⊥PM,如圖所示,

所以點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓且在⊙O內(nèi)的部分,

以O(shè)M為直徑的圓的方程為

結(jié)合圖形可知所求軌跡方程為(x-2)2+y2=4(0≤x<1).

【解法2】

點(diǎn)撥:由圓的性質(zhì)得垂直,利用垂直向量列方程求解.

連接OP,由圓的性質(zhì)可知OP⊥PM,設(shè)P(x,y).

因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O內(nèi),所以點(diǎn)P的軌跡所在的圓在⊙O的內(nèi)部,所以0≤x<1,

故所求軌跡方程為(x-2)2+y2=4(0≤x<1).

【解法3】

點(diǎn)撥:利用點(diǎn)差法列方程求解.

設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

因?yàn)辄c(diǎn)A,B在⊙O上,所以x12+y12=4 ①,

x22+y22=4 ②.

化簡(jiǎn)得(x-2)2+y2=4.

因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O內(nèi),所以點(diǎn)P的軌跡所在的圓在⊙O的內(nèi)部,所以0≤x<1,

故所求軌跡方程為(x-2)2+y2=4(0≤x<1).

【解法4】

點(diǎn)撥:直線的方程與圓的方程聯(lián)立,用參數(shù)表示點(diǎn)P,再消參得軌跡方程.

設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),

易知直線AB斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-4),代入x2+y2=4得

(1+k2)x2-8k2x+16k2-4=0,

消去k得(x-2)2+y2=4,

故所求軌跡方程為(x-2)2+y2=4(0≤x<1).

(作者單位 姓名:江西上饒余干第一中學(xué) 鄒榮華)

(作者單位 姓名:江西上饒余干第一中學(xué) 鄒榮華)

【變式2】x2+y2-4x-2y=0.

(作者單位 姓名:甘肅省嘉峪關(guān)市第二中學(xué) 彭長(zhǎng)軍)

【變式3】x+4y-5=0.

x2+4y2-x-4y=0.

(作者單位 姓名:江西上饒余干第一中學(xué) 葉新波)

①當(dāng)x0=2時(shí),y0=±3.因?yàn)椤螿FM=2∠QMF=90°,所以∠QMF=45°,于是MF=QF=|y0|=3,所以t=-1或t=5,即M(-1,0)或(5,0);

當(dāng)y0=0時(shí),t=-1,即M(-1,0)也能滿足∠QFM=2∠QMF.

綜上,存在滿足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(-1,0).

(作者單位 姓名:陜西省寶雞市麟游縣中學(xué) 韓紅軍)

(Ⅱ)存在,m(-1,0).

(作者單位 姓名:陜西省寶雞市麟游縣中學(xué) 韓紅軍)

(Ⅱ)存在,定點(diǎn)P(0,1).

(作者單位 姓名:江西上饒余干第一中學(xué) 葉新波)