測(cè)試木材剪切模量的自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法

王 正 谷曉雨 周宇昊 張一凡 沈肇雨 黃俁劼

（南京林業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院 南京 210037）

在土木建筑、家具和木材加工行業(yè)中，鋸材是木結(jié)構(gòu)建筑、高檔家具制造、室內(nèi)裝修門窗制造、木地板等產(chǎn)品的必備主材，對(duì)其力學(xué)性能的檢測(cè)和質(zhì)量評(píng)等尤為重要（Wanget al.，2014；Yoshiharaet al.，2009；Zhouet al.，2007）。木材彈性模量動(dòng)態(tài)測(cè)試在全球開展得很活躍，技術(shù)較成熟，研究成果也較多。剪切模量是木材的重要彈性常數(shù)，因木材為正交各向異性材料，木材剪切模量動(dòng)態(tài)測(cè)試（Wanget al.，2016；王正等，2017；Wanget al.，2019a；Wanget al.，2018）具有一定難度，在國(guó)內(nèi)外尚不太成熟，深入開展木材剪切模量動(dòng)態(tài)測(cè)試很有必要。目前，在自由狀態(tài)下測(cè)試木材剪切模量的動(dòng)態(tài)方法主要有自由板扭轉(zhuǎn)振型法（Wanget al.，2019a；程可等，2015）、自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法（JIS A1127—2001）、Timoshenko-Hearmon 梁迭代法和自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法（Nakaoet al.，1987）。然而這些方法在動(dòng)態(tài)測(cè)試木材剪切模量的根據(jù)、適用性和測(cè)試精度上存在一定不足，即自由板扭轉(zhuǎn)振型法僅能滿足木材自由板試件長(zhǎng)寬比l/b≥3 的條件要求，受板長(zhǎng)寬比要求限制；自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法從測(cè)試精度考慮也存在對(duì)試件長(zhǎng)寬比的限制；Timoshenko-Hearmon 梁迭代法因受試件尺寸限制要求，甚至迭代發(fā)散；自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法因其推算剪切模量公式采用一個(gè)與材料類型和方板寬厚比無(wú)關(guān)的固定系數(shù) 0.9，必然會(huì)產(chǎn)生一定誤差，從測(cè)試精度考慮，特別不適用于測(cè)試木材剪切模量。

靜態(tài)測(cè)試木材或木基結(jié)構(gòu)板材剪切模量的方法有 ASTM D3044—16 標(biāo)準(zhǔn)法、NPL 法、MNPL 法和Lee’s 法（Yoshiharaet al.，2006；Yoshihara，2009），其共同特點(diǎn)是用足夠薄的方板試件，通過(guò)測(cè)試施力點(diǎn)撓度推算板材剪切模量，其中ASTM D3044—16 標(biāo)準(zhǔn)法規(guī)定的方板寬厚比為 25～40，NPL 法和Lee’s 法認(rèn)為方板寬厚比應(yīng)不小于35。本研究提出一種基于自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)動(dòng)態(tài)測(cè)試木材剪切模量的新方法——自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法。首先，根據(jù)木材自由方板特有的一階扭轉(zhuǎn)振型特征和能量法，導(dǎo)出木材主向剪切模量與其自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率之間的關(guān)系式；然后，基于自由方板在不同樹種和不同寬厚比時(shí)ANSYS 計(jì)算的一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率，進(jìn)行仿真和回歸分析，獲得木材主向剪切模量與其自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率之間的修正關(guān)系式（自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法關(guān)系式）；同時(shí)，其測(cè)試木材剪切模量的有效性采用自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法（動(dòng)態(tài)）和非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲法（靜態(tài)）進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。本研究最大創(chuàng)新點(diǎn)在于即使降低方板試件的寬厚比要求，仍能保證剪切模量測(cè)試精度，研究結(jié)果可為建筑工程、家具、室內(nèi)裝飾、交通、軍事、樂(lè)器等行業(yè)的工程應(yīng)用提供可靠支撐。

1 方法

1.1 木材自由方板一階扭轉(zhuǎn)振型特征

設(shè)方板長(zhǎng)為l、寬為b、厚為h（l=b），用剛性系數(shù)＜1.0 N·cm-1的彈性繩懸掛。取板中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸沿方板軸線，自順木紋紋理方向或木質(zhì)復(fù)合板縱向，其正向水平向右；z軸鉛直向下為正；y軸沿方板寬度，其正向按右手螺旋規(guī)則確定，如圖1 所示。

圖1 方板自由懸掛及其坐標(biāo)系Fig. 1 Square plate free suspension and its coordinate system

采用ANSYS 19 Solid185 單元模態(tài)程序塊計(jì)算山毛櫸（Fagus longipetiolata）弦向自由板（長(zhǎng)寬比l/b=1和3）的一階扭轉(zhuǎn)振型，網(wǎng)格劃分沿x和y向40 等分，沿z向 6 等分，即40×40×6 網(wǎng)格劃分。ANSYS 模態(tài)程序塊計(jì)算時(shí)，輸入山毛櫸弦向材料常數(shù)（尹思慈，1996）。模態(tài)計(jì)算設(shè)置為最大長(zhǎng)度歸一，從模態(tài)計(jì)算輸出信息中讀取一階扭轉(zhuǎn)頻率和一階扭轉(zhuǎn)振型z向位移（無(wú)單位）。

根據(jù)山毛櫸自由方板（長(zhǎng)寬比l/b=1）的一階扭轉(zhuǎn)振型，讀取x=l/2、y=b/2板邊界上各節(jié)點(diǎn)的z向位移，繪制沿板長(zhǎng)邊和寬邊的扭轉(zhuǎn)振型曲線（圖2）。山毛櫸自由方板(l=b)的一階扭轉(zhuǎn)振型特征為：在板長(zhǎng)邊y=b/2上各點(diǎn)，z向位移W（x，b/2）沿x（x/l）軸方向變化近似于一條直線，在板寬邊x=l/2上各點(diǎn)，z向位移W（l/2，y）沿y（y/b）軸方向呈曲線變化，該曲線可用無(wú)常數(shù)項(xiàng)的y四次多項(xiàng)式擬合。

圖2 山毛櫸自由方板（l/b=1)在其邊界y=b/2 或 x=l/2 上沿x 或y 向的扭轉(zhuǎn)振型Fig. 2 Torsional vibration mode of Fagus longipetiolata free square plate (l/b=1) along x-direction or y-directiony-direction on its boundary y=b/2 or x=l/2

對(duì)于長(zhǎng)寬比不小于3 的自由方板，如圖3 中l(wèi)/b=3的山毛櫸自由板，經(jīng)ANSYS 計(jì)算，一階扭轉(zhuǎn)振型特征不同于自由方板：在板長(zhǎng)邊y=b/2上各點(diǎn)，z向位移W（x，b/2）沿x（x/l）軸方向呈曲線變化，該曲線可用無(wú)常數(shù)項(xiàng)的x四次多項(xiàng)式擬合；在板邊界x=l/2上各點(diǎn)，z向位移W（l/2，y）沿y（y/b）軸方向變化近似于一條直線。

圖3 山毛櫸自由板（l/b=3)在其邊界y=b/2 或 x=l/2 上沿x 或y向的扭轉(zhuǎn)振型Fig. 3 Torsional mode mode of Fagus longipetiolata free square plate (l/b=3) along x-direction or y-directiony-direction on its boundary y=b/2 or x=l/2

圖4 LT、LR、RT 主向面方板（l=b）的主向L、T、R 與x、y、z 對(duì)應(yīng)示意Fig. 4 Corresponding relationship between L, T, R and x, y, z in LT, LR, RT main face plate (l=b)

經(jīng)ANSYS 計(jì)算，對(duì)于西加云杉（Picea sitchensis）、歐洲赤松（Pinus sylvestris）和北美黃杉（Pseudotsuga menziesii）等自由方板的一階扭轉(zhuǎn)振型特征，即沿板長(zhǎng)邊扭轉(zhuǎn)振型z向位移直線變化，沿板寬邊扭轉(zhuǎn)振型z向位移曲線變化均與山毛櫸自由方板相同。

對(duì)于l=2b的自由方板，其一階扭轉(zhuǎn)振型沿板長(zhǎng)邊和寬邊的變化規(guī)律既不同于l=b的自由方板，也不同于l/b≥3 的自由方板，而是沿板長(zhǎng)邊和寬邊呈重合曲線變化，因此木材自由方板一階扭轉(zhuǎn)振型特征按其長(zhǎng)寬比可分為3 種：l/b=1、l/b=2 和l/b≥3 的自由方板。采用自由方板為試件測(cè)試木材剪切模量時(shí)，需從自由方板特有的一階扭轉(zhuǎn)振型特征出發(fā)，建立其一階扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)。本研究建立的自由方板（l=b）一階扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)，與Wang 等（2019a）自由方板長(zhǎng)寬比l/b不小于3 的一階扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)截然不同（圖2、3），盡管其均應(yīng)用能量法和優(yōu)化原理。

1.2 木材剪切模量與其自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率的關(guān)系式

設(shè)自由方板（l=b）的一階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)為：

式中：W(x,y)為自由方板一階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振型函數(shù)；ω為自由方板一階扭轉(zhuǎn)固有圓頻率。

根據(jù)自由方板一階扭轉(zhuǎn)振型W（x，y）在方板y=b/2 邊界上（沿x向）呈直線變化、在x=l/2 邊界上（沿y向）呈曲線變化的特征（圖2）以及一階扭轉(zhuǎn)振型節(jié)線位置（x=0，y=0），可將其設(shè)為：

式中：k由x=l/2、y=b/2的z向位移等于W(l/2,b/2)確定；系數(shù)A、B、C、D滿足的方程組通過(guò)如下目標(biāo)函數(shù)L取最小值確定：

自由方板繞y軸的轉(zhuǎn)角為：

因自由方板一階扭轉(zhuǎn)振型相對(duì)于板中間截面(y=0)為反對(duì)稱，故計(jì)算其動(dòng)能和應(yīng)變能可按1/2 方板（0≤y≤b/2, -l/2 ≤x≤l/2）進(jìn)行。

式中： ρ為材料密度；ft為自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率，Hz。

應(yīng)變能U：

則

或?qū)懗?/p>

式中：G為剪切模量，Pa；l為方板沿木紋紋理方向的長(zhǎng)度，m；b為方板垂直于木紋紋理方向的長(zhǎng)度，m；h為方板厚度，m； ρ為氣干密度，kg·m-3；ft為方板一階扭轉(zhuǎn)頻率，Hz； γ為木材自由方板振型系數(shù)，其值取決于與方板動(dòng)能（IT）和應(yīng)變能（I?）相關(guān)的2 個(gè)定積分計(jì)算值；為方板矩形截面因子。

1.3 木材自由方板振型系數(shù)計(jì)算

根據(jù)振型系數(shù) γ的定義，基于木材主向材料常數(shù)的數(shù)值特征，選擇西加云杉、山毛櫸、歐洲赤松和北美黃杉等樹種的自由方板，先應(yīng)用ANSYS 19 Solid185 單元模態(tài)程序塊對(duì)方板進(jìn)行40×40×6 網(wǎng)格劃分，計(jì)算其一階扭轉(zhuǎn)振型，后將在板寬邊x=l/2 上的扭轉(zhuǎn)振型分量Wi代入由優(yōu)化原理決定的A、B、C、D的線性方程組中，求解方程組確定系數(shù)A、B、C、D，進(jìn)而計(jì)算IT、Iφ積分值。

ANSYS 19 Solid 185 單元模態(tài)程序塊輸入?yún)?shù)如表1 所示。

表1 西加云杉、山毛櫸、歐洲赤松和北美黃杉等樹種ANSYS 模態(tài)程序塊計(jì)算的輸入?yún)?shù)（尹思慈，1996）①Tab. 1 Input parameters of ANSYS modal block calculation of Picea sitchensis, Fagus longipetiolata, Pinus sylvestris and Pseudotsuga menziesii

計(jì)算振型系數(shù)時(shí)，取云杉、山毛櫸、歐洲赤松和北美黃杉 4 種樹種，每樹種 3 個(gè)主向面（LT、LR、RT），自由方板寬厚比取 7、10、15、20、25 和30 共6 種，總計(jì)72 種計(jì)算方案。

對(duì)自由方板在1 種寬厚比下計(jì)算的 12 個(gè)振型系數(shù)，按主向?qū)? 種樹種振型系數(shù)取平均值作為該主向在該寬厚比下的木材振型系數(shù)，該寬厚比下的振型系數(shù)個(gè)數(shù)按主向?yàn)?，6 種寬厚比的振型系數(shù)為 18 個(gè)，如表2 所示。

表2 自由方板在不同寬厚比時(shí)計(jì)算的木材主向振型系數(shù)Tab. 2 Main-direction mode shape coefficient of timber free square plate at the different width-thickness ratio

由表2 可知，木材弦向自由方板振型系數(shù)均值為7.671 5，變異系數(shù)為0.77%；木材徑向自由方板振型系數(shù)均值為7.698 0，變異系數(shù)為1.01%；木材橫向自由方板振型系數(shù)均值為8.524 1，變異系數(shù)為0.51%。

根據(jù)式（1），木材弦向剪切模量與其自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率的關(guān)系式為：

木材徑向剪切模量與其自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率的關(guān)系式為：

木材橫向剪切模量與其自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率的關(guān)系式為：

式中：GLT、GLR和GRT分別為木材弦向、徑向和橫向剪切模量；ft為自由方板一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率。

雖然ANSYS 模態(tài)程序塊輸出自由方板一階扭轉(zhuǎn)振型z向位移的同時(shí)還輸出其一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率，但在推導(dǎo)式（1）和與式（2）～（4）相關(guān)的振型系數(shù)計(jì)算中并未用到模態(tài)頻率。從完備性考慮，還需驗(yàn)證將輸出的一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率計(jì)算值代入式（2）～（4）中計(jì)算的G（稱為剪切模量仿真值）是否等于相應(yīng)的主向剪切模量輸入值，即主向剪切模量參考值。

1.4 式（2）～（4）的適用范圍及其修正

驗(yàn)證剪切模量仿真值Gs是否等于相應(yīng)的主向剪切模量參考值Gr，應(yīng)從試驗(yàn)和仿真2 方面進(jìn)行。用于仿真驗(yàn)證的樹種，除上述云杉、山毛櫸、歐洲赤松和北美黃杉4 種樹種外，還增加白臘木（Fraxinus chinensis）、桃花心木（Swietenia mahagoni）和輕木（Ochroma lagopus）3 種樹種。對(duì)7 種樹種應(yīng)用ANSYS 19 Solid 185 單元進(jìn)行40×40×6 網(wǎng)格劃分，計(jì)算長(zhǎng) 140 mm、寬 140 mm，寬厚比 7、10、15、20、25 和30 的自由方板一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率；將其代入式（2）、（3）、（4）中，得到各自主向剪切模量仿真值Gs。同時(shí)計(jì)算出寬厚比7、10、15、20、25 和30 各樹種主向Gs與Gr比值，取各樹種Gs/Gr均值作為木材主向在該寬厚比下的Gs/Gr。木材主向Gs/Gr隨方板厚寬比的變化規(guī)律如圖5所示。

圖5 木材Gs/Gr 隨方板厚寬比的變化規(guī)律Fig. 5 Variation of the Gs/Gr value of wood with the thickness-towidth ratio of the square plate

由圖5 可知，Gs隨方板寬厚比的變化規(guī)律為：1） 對(duì)于木材弦向和徑向，Gs隨方板寬厚比增加而上升，逼近于Gr，且弦向和徑向Gs與其參考值Gr的相對(duì)誤差小于5%的方板寬厚比，分別可取17 和20；2） 對(duì)于木材橫（切）向，Gs隨其方板寬厚比變化平穩(wěn)，且寬厚比在7～30 范圍內(nèi)，橫（切）向Gs與其參考值Gr的相對(duì)誤差均小于5%（約2%）。

對(duì)于Gs與Gr的相對(duì)誤差不超過(guò)5%而言，本研究明確：式（2）適用于寬厚比不小于17 的自由方板測(cè)試木材弦向剪切模量；式（3）適用于寬厚比不小于20的自由方板測(cè)試木材徑向剪切模量；式（4）適用于寬厚比 7～30 的自由方板測(cè)試木材橫向剪切模量。因此，為保證式（2）、（3）測(cè)試木材剪切模量精度，要求木材弦向和徑向的自由方板寬厚比分別不小于 17 和 20作為試件，然而這對(duì)于木材方板試件而言太苛刻。為了放寬這一要求，需對(duì)式（2）、（3）進(jìn)行修正。

將Gs/Gr對(duì)方板厚寬比h/b進(jìn)行回歸分析，可得到相應(yīng)的木材弦向因子kLT、徑向因子kLR和橫（切）向因子kRT依賴于方板厚寬比h/b的表達(dá)式。

木材主向剪切模量與其自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率的關(guān)系式可修正為：

弦向

徑向

橫（切）向

式（5）、（6）和（7）適用于寬厚比7～30 的自由方板測(cè)試木材主向剪切模量，將其稱為式（2）、（3）和（4）的修正關(guān)系式（即測(cè)試木材剪切模量的自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法關(guān)系式）。由自由方板寬厚比適用范圍為7～30的修正關(guān)系式仿真計(jì)算可知，其正確性還需從試驗(yàn)方面加以驗(yàn)證。

2 試驗(yàn)

2.1 材質(zhì)與試件

樹種：紅雪松（Thuja plicata），弦向；鐵杉（Tsuga chinensis），弦向；落葉松（Larix gmelinii），弦向和徑向；西加云杉（Picea sitchenrsis），徑向和橫向；膠合板（plywood）；定向刨花板（OSB）。

試件：方板試件、非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲試件和桿件試件，其參數(shù)和數(shù)量如表3、4 所示。

表3 方板試件和非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲試件基本參數(shù)Tab. 3 Basic parameters of square plate specimens and asymmetric four-point bending specimens

表4 自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法試件的基本參數(shù)（用于驗(yàn)證性試驗(yàn)）Tab. 4 Basic parameters of free-rod torsional vibration method (verification test)

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

選擇鐵杉（弦向）、紅雪松（弦向）、落葉松（弦向和徑向）、西加云杉（徑向和橫向）制作方板試件，其寬厚比為9.2～16.1；選擇膠合板（7 層）和OSB 木質(zhì)復(fù)合板材制作方板試件，其寬厚比分別為26.7 和11.0（表3）。相應(yīng)地制作適用于自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法和非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲梁法測(cè)試木材主向剪切模量的試件（表3、4）。用彈性繩以十字方式懸掛試件，實(shí)現(xiàn)其自由方板。對(duì)每種材質(zhì)的自由方板試件，先測(cè)試其頻譜，從頻譜上讀出自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率；再采用自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法關(guān)系式推算剪切模量。

對(duì)落葉弦向和徑向試件，在其主向面中心處粘貼±45°方向應(yīng)變片，采用全橋接法測(cè)試其主向面中心處剪應(yīng)變，應(yīng)用靜態(tài)非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲梁法測(cè)試其剪切模量（Yoshiharaet al.，2006），以檢驗(yàn)自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試剪切模量的有效性；對(duì)鐵杉弦向、紅雪松弦向、西加云杉徑向和橫向試件，應(yīng)用自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試其剪切模量（動(dòng)態(tài)），以檢驗(yàn)自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試剪切模量的有效性。

2.3 試驗(yàn)儀器與設(shè)備

南京安正軟件公司動(dòng)態(tài)信號(hào)采集與分析系統(tǒng)1 套，包含信號(hào)調(diào)理儀、采集箱、計(jì)算機(jī)、譜分析和模態(tài)分析軟件；KD6005 型八通道動(dòng)態(tài)電阻應(yīng)變計(jì)1 臺(tái)；四點(diǎn)彎曲加載試驗(yàn)臺(tái) 1 套；BX120-5AA 型電阻應(yīng)變片（靈敏系數(shù)2.08）；CA-YD-125 型壓電式加速度計(jì)，聲級(jí)計(jì)；其他儀器及其配套件：HK-30 木材含水率測(cè)試儀1 只、TG328B 電光分析天平（0.001 g）1 臺(tái)、游標(biāo)卡尺（0～150 mm）1 把、尼龍頭小錘 1 把，0.425 、0.85、1.275、2.55 kg 規(guī)格砝碼各3 只。

2.4 自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率識(shí)別

從自由方板頻譜圖上正確識(shí)別出一階扭轉(zhuǎn)頻率是準(zhǔn)確測(cè)試木材剪切模量的關(guān)鍵。對(duì)于木材自由方板，通常在頻譜圖上出現(xiàn)的前二階頻率是一階橫向彎曲頻率或一階扭轉(zhuǎn)頻率，這就存在如何從2 個(gè)頻率中正確識(shí)別出自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率的問(wèn)題。

真正識(shí)別自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率需作模態(tài)試驗(yàn)。圖6 所示為鐵杉135 mm×135 mm×13 mm 自由方板模態(tài)試驗(yàn)的橫向第一階彎曲振型和第一階扭轉(zhuǎn)振型。由圖可知，頻譜第一高峰對(duì)應(yīng)的頻率為鐵杉自由方板的橫向一階彎曲頻率，第二高峰對(duì)應(yīng)的頻率為鐵杉自由方板的一階扭轉(zhuǎn)頻率。由于頻譜上出現(xiàn)的前2 個(gè)高峰對(duì)木材自由方板而言必定是橫向一階彎曲頻率和一階扭轉(zhuǎn)頻率，故可根據(jù)自由方板橫向一階彎曲振型和一階扭轉(zhuǎn)振型的節(jié)線位置特征提出一種簡(jiǎn)易識(shí)別方法，即敲擊自由方板中心，高峰下跌頻率即橫向一階扭轉(zhuǎn)頻率，另一頻率即橫向一階彎曲頻率。自由方板橫向一階彎曲頻率和一階扭轉(zhuǎn)頻率在頻譜上出現(xiàn)的前后順序與木材主向面和方板寬厚比有關(guān)，如云杉弦向自由方板，當(dāng)其寬厚比為10 時(shí)，先橫向一階彎曲，后一階扭轉(zhuǎn)，其徑向自由方板，先一階扭轉(zhuǎn)，后橫向一階彎曲；當(dāng)云杉自由方板寬厚比為7 時(shí)，弦向和徑向自由方板頻譜皆為前一高峰對(duì)應(yīng)扭轉(zhuǎn)頻率，后一高峰對(duì)應(yīng)橫向彎曲頻率。無(wú)論是哪種情況，可用上述簡(jiǎn)易識(shí)別方法從自由方板頻譜前2 個(gè)高峰頻率中識(shí)別出橫向一階彎曲頻率和一階扭轉(zhuǎn)頻率。

圖6 鐵杉135 mm×135 mm×13 mm 自由方板模態(tài)試驗(yàn)的橫向一階彎曲和一階扭轉(zhuǎn)振型（x 軸取順木紋方向）Fig. 6 The transverse first-order bending and first-order torsional mode shapes of Tsuga chinensis 135 mm×135 mm×13 mm free square plate modal test (x-axis is taken along the direction of wood grain)

從圖6 自由方板模態(tài)試驗(yàn)的一階扭轉(zhuǎn)振型可知，其板邊y=b/2 的z向位移沿x方向呈直線變化，x=l/2的z向位移沿y方向呈曲線變化，與圖2 計(jì)算模態(tài)的一階扭轉(zhuǎn)振型變化規(guī)律一致。

2.5 木材自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率測(cè)試

為得到自由方板較為精確的一階扭轉(zhuǎn)頻率測(cè)試值，自身質(zhì)量小、測(cè)試傳感器選用及其安裝位置尤為重要，本研究推薦聲級(jí)計(jì)或質(zhì)量不大于1.5 g 的加速度計(jì)作為測(cè)試自由方板頻譜傳感器。根據(jù)試驗(yàn)摸索，自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率的傳感器最佳位置為：若使用聲級(jí)計(jì)，將聲級(jí)頭置于下板面長(zhǎng)邊下方x=l/8 處，且距下板面 2～3 cm，敲擊點(diǎn)位于方板寬邊y=b/8 處；若使用加速度計(jì)，將其安裝于上板面長(zhǎng)邊x=l/8 處，敲擊點(diǎn)位于方板寬邊y = b/8 處（圖7）。如此測(cè)試的自由方板一階扭轉(zhuǎn)頻率推算出的剪切模量與其他試驗(yàn)方法測(cè)試值相當(dāng)吻合。

圖7 測(cè)試自由方板(l=b)頻譜Fig. 7 Test block diagram for testing the frequency spectrum of a free square plate (l=b)

紅雪松自由方板測(cè)試頻譜如圖8 所示。應(yīng)用上述簡(jiǎn)易識(shí)別方法，可從頻譜圖上識(shí)別出紅雪松弦向自由方板的一階橫向彎曲頻率和一階扭轉(zhuǎn)頻率。

圖8 紅雪松2 號(hào)自由方板(147 mm×147 mm×13.96 mm)頻譜Fig. 8 Thuja plicata No.2 free square board (147 mm×147 mm×13.96 mm) spectrum

3 結(jié)果與分析

3.1 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試木材剪切模量及其有效性的試驗(yàn)驗(yàn)證

自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試木材弦向、徑向和橫向剪切模量源自于木材自由方板特有的一階扭轉(zhuǎn)振型特征、能量法原理和一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率測(cè)試值，該方法除具有可靠的理論基礎(chǔ)外，還考慮方板寬厚比和材質(zhì)類別對(duì)剪切模量測(cè)試值的影響。

為驗(yàn)證自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試木材剪切模量的有效性，采用自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法、非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲法進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。首先，驗(yàn)證弦向kLT因子和徑向kLR因子的有效性，采用155 mm×155 mm×9.60 mm 落葉松弦向自由方板，測(cè)試其一階扭轉(zhuǎn)頻率后，采用式（2）、（5）計(jì)算剪切模量測(cè)試值；然后，依次鋸切邊長(zhǎng)為115、90 和70 mm 的方板，實(shí)現(xiàn)其不同寬厚比，并測(cè)試其一階扭轉(zhuǎn)頻率；最后采用式（2）、（5）計(jì)算剪切模量測(cè)試值（表5，括號(hào)中百分?jǐn)?shù)為變異系數(shù)）。

表5 落葉松弦向 155、115、 90 和70 mm 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試的剪切模量Tab. 5 Shear modulus of Larix gmelinii chordwise 155, 115, 90 and 70 mm free square plate torsional modal method

由表5 可知，落葉松弦向方板寬厚比從7.2 變至16.1 時(shí)，應(yīng)用僅根據(jù)自由方板特有一階扭轉(zhuǎn)振型導(dǎo)出的式（2）測(cè)試的弦向剪切模量值從765 MPa 上升為880 MPa，變化幅度為115 MPa（占880 MPa 的13%）；而應(yīng)用自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法式（5），當(dāng)方板寬厚比從9.3 變至16.1 時(shí)，弦向剪切模量基本上為 917 MPa，僅在寬厚比為7.2 時(shí)，弦向剪切模量測(cè)試值才比917 MPa大27 MPa（占917 MPa 的2.9%）。因此，可以說(shuō)自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法（式5）用于測(cè)試木材弦向剪切模量，采用寬厚比不小于7 的方板具有足夠精度。

由表6 可知，落葉松徑向方板寬厚比為10.3 和14.8 時(shí)，應(yīng)用僅根據(jù)自由方板特有一階扭轉(zhuǎn)振型導(dǎo)出的式（3）測(cè)試的徑向剪切模量分別為1 232 和1 317 MPa，變化幅度為 85 MPa（占1 317 MPa 的6.5%）；而應(yīng)用自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法式（6）測(cè)試的徑向剪切模量分別為1 444 和1 426 MPa，變化幅度僅為18 MPa（僅占1 426 MPa 的1.3%）。因此，可以說(shuō)自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法用于測(cè)試木材徑向剪切模量具有足夠精度。

表6 落葉松徑向 118 mm×118 mm 自由方板在寬厚比10.3 和14.8 時(shí)測(cè)試的剪切模量Tab. 6 Shear modulus of radial Larix gmelinii 118 mm×118 mm free square plate at width-thickness ratios of 10.3 and 14.8

此外，本研究還采用非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲法（靜態(tài)）測(cè)試落葉松方板弦向和徑向剪切模量，結(jié)果分別為910 MPa（11.6%)和 1 321 MPa（7.6%)，與自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試結(jié)果的相對(duì)誤差分別為0.77%和7.9%。因此，自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法用于測(cè)試木材弦向和徑向剪切模量的有效性得到非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲法的試驗(yàn)驗(yàn)證。

自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法（本研究）、自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試的鐵杉弦向、紅雪松弦向、西加云杉徑向、西加云杉橫向等主向剪切模量測(cè)試結(jié)果如表7 所示，表7 列出測(cè)試數(shù)據(jù)為應(yīng)用自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法式（5）、（6）、（7）所得。

表7 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試木材主向剪切模量及其試驗(yàn)驗(yàn)證Tab. 7 Principal shear modulus of wood measured by free square plate torsional modal method and its experimental verification

由表7 可知，采用自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試鐵杉、紅雪松和西加云杉剪切模量，相較于自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試剪切模量的相對(duì)誤差在-5.2%～7.7%范圍內(nèi)，自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試木材剪切模量的有效性得到自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法的試驗(yàn)驗(yàn)證。

3.2 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法用于測(cè)試木質(zhì)復(fù)合材料剪切模量的可行性分析

對(duì)于各向同性材料，程可等（2015）給出測(cè)試剪切模量的振型系數(shù)為：

該振型系數(shù)依賴于自由板長(zhǎng)寬比，適用于長(zhǎng)寬比1～8 的自由板。

需要指出的是，程可等（2015）給出的振型系數(shù)適用于方板（l/b=1）的有效性未進(jìn)行試驗(yàn)檢驗(yàn)。為此，本研究用 80 mm×80.2 mm×3.45 mm、密度 7 771 kg·m-3和200 mm×199.8 mm×4.48 mm、密度 7 771 kg·m-3的低碳鋼自由方板（各3 塊），根據(jù)式（8）給出的振型系數(shù)測(cè)試剪切模量，其結(jié)果分別為 81.3 GPa（2.6%）和79.3 GPa（1.3%）。剪切模量測(cè)試值皆落在低碳鋼剪切模量規(guī)范值79.2～82 GPa 范圍內(nèi)，因此式（8）給出的自由方板振型系數(shù)8.118 9 用于測(cè)試低碳鋼剪切模量的有效性得到檢驗(yàn)。

若將各向同性材料自由板的一階扭轉(zhuǎn)頻率與剪切模量關(guān)系式用于l/b=1 的自由方板，可得：

現(xiàn)將式（9）用于OSB 測(cè)試剪切模量的依據(jù)說(shuō)明如下：根據(jù)OSB 縱向和橫向自由板在長(zhǎng)寬比為1.25、1.5、2、3、4、5、6、8 計(jì)算的振型系數(shù)擬合式（Wanget al.，2019b），將其外推到板長(zhǎng)寬比為1 的振型系數(shù)，可分別得到OSB 縱向和橫向自由方板的振型系數(shù)分別為8.167 9 和8.058 6，之間相差1.4%，同時(shí)考慮這2 個(gè)振型系數(shù)與各向同性自由方板振型系數(shù)(γ=8.118 9)只差±0.7%，故可認(rèn)為式（9）也適用于OSB自由方板測(cè)試其剪切模量。

考慮到方板寬厚比對(duì)測(cè)試木質(zhì)復(fù)合材剪切模量的影響，取低碳鋼方板長(zhǎng) 140 mm、寬 140 mm，寬厚比7、10、15、20、25 和 30，采用ANSYS 計(jì)算其一階扭轉(zhuǎn)頻率。ANSYS 計(jì)算輸入的低碳鋼方板材料常數(shù)為彈性模量206 GPa、泊松比0.3，密度7 850 kg·m-3。將ANSYS 輸出的一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率代入式（10）得到 6種寬厚比下低碳鋼剪切模量仿真值。該仿真值除以低碳鋼剪切模量參考值（取79.2 GPa）對(duì)方板厚寬比進(jìn)行回歸，得到對(duì)式（10）的修正因子kS。式（9）的修正公式可表示為：

將式（10）用于測(cè)試OSB 和膠合板剪切模量，其測(cè)試值與自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試的剪切模量相對(duì)誤差分別為-0.1%和9.2%，如表8 所示。

表8 OSB、膠合板剪切模量測(cè)試值Tab. 8 OSB, plywood shear modulus test values

自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法用于測(cè)試OSB 和膠合板剪切模量的有效性得到驗(yàn)證。

需特別說(shuō)明的是，式（10）用于測(cè)試木質(zhì)復(fù)合板材剪切模量要作具體分析。就木質(zhì)復(fù)合板材OSB 和MDF來(lái)說(shuō)，根據(jù)前期測(cè)試結(jié)果，OSB 縱向彈性模量與橫向彈性模量之比為 2.63，而MDF 橫向彈性模量略大于縱向，縱向彈性模量與橫向彈性模量之比約0.96，即式（10）用于測(cè)試OSB 和MDF 剪切模量是可行的，但這并不意味著對(duì)其他木質(zhì)復(fù)合板材均適用，如LVL 縱向彈性模量與橫向彈性模量之比為21.3，其量級(jí)同于木材的EL/ET或EL/ER。因此，考慮到LVL 板材制造由木材旋切膠粘壓制成型，測(cè)試其剪切模量時(shí)，采用的不是式（10），而是木材弦向的式（5），測(cè)試結(jié)果表明是正確的。

3.3 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法和自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試剪切模量結(jié)果對(duì)比

自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法推算各向同性材料和木質(zhì)膠合板剪切模量的公式（Nakaoet al.，1987）為：

式中：G為剪切模量，Pa；a為方板長(zhǎng)，m；b為方板寬，m；h為方板厚，m； ρ為密度，kg·m-3；ft為方板一階扭轉(zhuǎn)頻率，Hz。其中，方板長(zhǎng)a對(duì)應(yīng)于式（5）、（6）、（7）中的方板長(zhǎng)l。

自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法和自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試木材和木質(zhì)復(fù)合材料的剪切模量如表9 所示。

表9 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法和自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試木材和木質(zhì)復(fù)合材的剪切模量Tab. 9 Free-square-plate torsional modal method and freesquare-plate torsional vibration method for the determination of shear modulus of wood and wood composites

由表9 可知，自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試木材和木質(zhì)復(fù)合材料的剪切模量皆小于自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法，其程度與試件寬厚比和材質(zhì)有關(guān)，對(duì)于所測(cè)4 種樹種木材3 個(gè)主向剪切模量測(cè)試值小22.2%～37.1%，對(duì)于所測(cè)膠合板和OSB 剪切模量分別小3.7%和16.8%。分析其原因，自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試剪切模量時(shí)未計(jì)入方板寬厚比的影響，也未考慮材料類別，其公式采用統(tǒng)一系數(shù)0.9，故從測(cè)試精度考慮，自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法不適宜測(cè)試木材主向剪切模量。

4 討論

如前文所述，自由狀態(tài)下測(cè)試剪切模量的動(dòng)態(tài)方法主要有自由板扭轉(zhuǎn)振型法、自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法、Timoshenko-Hearmon 梁迭代法和自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法，并對(duì)各方法適用的限定條件作了闡述，如自由板扭轉(zhuǎn)振型法僅能滿足木材自由板試件長(zhǎng)寬比l/b≥3的條件要求；自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法從測(cè)試精度考慮，也存在對(duì)試件長(zhǎng)寬比的限制要求；Timoshenko-Hearmon梁迭代法受限于梁尺寸，出現(xiàn)迭代發(fā)散，計(jì)算不出剪切模量值等問(wèn)題。

為定量說(shuō)明上述方法限定條件對(duì)剪切模量的影響以及本研究的貢獻(xiàn)，選用LVL 整板沿其縱向下料制作320 mm×100 mm×10.8 mm、 220 mm×100 mm×10.8 mm、100 mm×100 mm×10.8 mm 各3 塊方板，采用自由板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試其縱向剪切模量，結(jié)果如表10 所示。

表10 自由板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試的LVL 縱向剪切模量①Tab. 10 LVL longitudinal shear modulus tested by free plate torsional vibration method and free rod torsional vibration method

對(duì)于100 mm×100 mm×10.8 mm 各3 塊方板，采用自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法（本研究）、自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法和方板靜態(tài)扭轉(zhuǎn)應(yīng)變法測(cè)試縱向剪切模量分別為 865 MPa（1.4%）、659 MPa（1.4%）和 860 MPa（1.0%）。

從以上數(shù)據(jù)可以定量得到：

1） 隨試件長(zhǎng)寬比減少，自由方板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試的LVL 縱向剪切模量減小，特別對(duì)方板試件的測(cè)試值顯著減??；

2） 傳統(tǒng)自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試的LVL 縱向剪切模量分別小于自由板扭轉(zhuǎn)振型法、自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法和自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法12.9%、17.0%和23.8%，即從測(cè)試精度考慮，傳統(tǒng)自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法不可用于測(cè)試木材剪切模量；

3） 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法測(cè)試的LVL 縱向剪切模量與方板靜態(tài)扭轉(zhuǎn)應(yīng)變法測(cè)試值相當(dāng)吻合，相對(duì)誤差僅 0.6%；而自由板扭轉(zhuǎn)振型法和自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法，若以方板為試件測(cè)試的LVL 縱向剪切模量與方板靜態(tài)扭轉(zhuǎn)應(yīng)變法測(cè)試值的相對(duì)誤差分別為-12.0%和-7.7%。

自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法基于自由方板特有的一階扭轉(zhuǎn)振型特征和一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率，不僅理論基礎(chǔ)可靠，而且具有測(cè)試剪切模量精度高、試驗(yàn)操作方便等優(yōu)點(diǎn)，是一種測(cè)試木材剪切模量值得推薦的好方法。

5 結(jié)論

1） 木材自由板一階扭轉(zhuǎn)振型特征與其長(zhǎng)寬比l/b有關(guān)。對(duì)于l/b=1 的木材自由方板，其一階扭轉(zhuǎn)振型特征為：在其長(zhǎng)邊y=b/2上呈直線變化，在其寬邊x=l/2上呈曲線變化，可用y的無(wú)常數(shù)項(xiàng)四次多項(xiàng)式擬合；對(duì)于長(zhǎng)寬比l/b≥3 的木材自由板，其一階扭轉(zhuǎn)振型特征為：在其寬邊x=l/2上呈直線變化，在其長(zhǎng)邊y=b/2上呈曲線變化，可用x的無(wú)常數(shù)項(xiàng)四次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。

2） 木材剪切模量與其一階扭轉(zhuǎn)頻率的關(guān)系式（2）、（3）、（4）用于推算木材主向剪切模量適用的方板寬厚比為：對(duì)于木材弦向和徑向方板寬厚比分別不得小于17 和20；對(duì)于木材橫向方板寬厚比則從7 到30。

3） 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法，即木材剪切模量與其一階扭轉(zhuǎn)頻率的修正關(guān)系式（6）、（7）、（8）用于測(cè)試木材主向剪切模量適用的方板寬厚比，對(duì)于木材弦向、徑向和橫向方板均在7～30 范圍內(nèi)。

4） 自由方板扭轉(zhuǎn)模態(tài)法既適用于測(cè)試木材主向剪切模量，又適用于測(cè)試木質(zhì)復(fù)合板材和各向同性材料剪切模量，其有效性得到自由桿件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法和非對(duì)稱四點(diǎn)彎曲法試驗(yàn)驗(yàn)證。

5） 理論分析和試驗(yàn)結(jié)果表明，傳統(tǒng)自由方板扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法測(cè)試木質(zhì)復(fù)合材和木材剪切模量偏低，其偏低程度與材料類別和方板寬厚比有關(guān)。