基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的泡沫混凝土應(yīng)力-變形理論分析

孫 浩,楊 浩,王洪澤,宿 廷,秦立達(dá)

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051;2.塔塔電力勘測(cè)設(shè)計(jì)有限公司,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010011;3.內(nèi)蒙古自治區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)廳,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010060)

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)作為力學(xué)學(xué)科重要的理論基礎(chǔ)之一,普遍適用的研究對(duì)象為物質(zhì)四態(tài),即固體、液體、氣體和等離子體[1-3]。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)主要研究的內(nèi)容是外荷載作用下物體內(nèi)的物質(zhì)如何反應(yīng),即確定作為對(duì)外力的響應(yīng)而引起的物體內(nèi)部的情況。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)應(yīng)用的學(xué)科領(lǐng)域包括材料科學(xué)、土木工程、航空航天等多個(gè)領(lǐng)域[4-6]。目前國(guó)內(nèi)應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)做學(xué)科基礎(chǔ)應(yīng)用研究的優(yōu)秀研究團(tuán)隊(duì)及其團(tuán)隊(duì)所進(jìn)行的研究工作主要有:清華大學(xué)水利水電工程系張建紅教授研究團(tuán)隊(duì)在環(huán)境巖土工程領(lǐng)域應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究滑坡從破壞啟動(dòng)、演化發(fā)展至最終沉積的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[7-9];哈爾濱工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所王友善教授研究團(tuán)隊(duì)結(jié)合連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究橡膠表面失穩(wěn)臨界條件和失穩(wěn)形貌演化規(guī)律[10-12];中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)安徽省先進(jìn)功能高分子薄膜工程實(shí)驗(yàn)室主任李良彬教授研究團(tuán)隊(duì)在連續(xù)介質(zhì)理論的框架下運(yùn)用數(shù)值模擬的研究手段揭示脆性材料和軟材料中的高速斷裂不穩(wěn)定和極限裂紋速度的起源[13-15]。

泡沫混凝土是在膠凝材料、水和外加劑組成的復(fù)合料漿中引入泡沫并經(jīng)澆筑及養(yǎng)護(hù)而成的輕質(zhì)混凝土建筑材料[16-18]。泡沫混凝土具有質(zhì)輕、良好的保溫性能、優(yōu)異的防火性和優(yōu)越的抗震抗爆性等優(yōu)勢(shì)[19-21],因此其被廣泛應(yīng)用房屋建筑工程[22]、橋梁路面工程[23]、港口水利工程[24]和軍事等領(lǐng)域[25-26]。目前泡沫混凝土材料的宏觀性能已被研究學(xué)者廣泛研究并且研究方法集中于試驗(yàn)研究,針對(duì)泡沫混凝土材料的力學(xué)理論分析研究較少,尤其是應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論研究分析泡沫混凝土應(yīng)力-變形鮮有報(bào)道。本文以泡沫混凝土作為研究對(duì)象,應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論理論分析研究其應(yīng)力狀態(tài)和變形協(xié)調(diào)條件,為泡沫混凝土的研究應(yīng)用提供力學(xué)理論指導(dǎo)。

1 張量

1.1 求和約定

求和約定指的是一個(gè)指標(biāo)在某項(xiàng)內(nèi)重復(fù)代表該指標(biāo)在某個(gè)特定的范圍內(nèi)遍歷求和。將遍歷求和的指標(biāo)稱(chēng)為啞指標(biāo);沒(méi)有求和的指標(biāo)稱(chēng)為自由指標(biāo)。啞指標(biāo)意味著求和,對(duì)于采用符號(hào)的形式并無(wú)實(shí)際使用要求。

在三維歐幾里德空間中,笛卡兒坐標(biāo)系x,y,z下具有分量dx,dy,dz的線元。線元長(zhǎng)度的平方見(jiàn)式(1)。引入符號(hào)克羅內(nèi)克δij將改寫(xiě)為式(2)的形式。表達(dá)式(2)成立的條件是:指標(biāo)i和j的范圍為1～3。

ds2=(dx)2+(dy)2+(dz)2

(1)

ds2=δijdxidxj

(2)

引入置換符號(hào)εrst,置換符號(hào)εrst和克羅內(nèi)克δ對(duì)于張量表達(dá)來(lái)說(shuō)非常重要,兩者之間存在以下關(guān)系表達(dá)式(3),稱(chēng)為ε-δ恒等式。將求和約定推廣至全微分表達(dá),令f(x1,x2,…,xn)是一個(gè)有n個(gè)自變量x1,x2,…,xn的函數(shù)。其全微分表達(dá)式見(jiàn)式(4)。

εijkεist=δjsδklδ-δksδjt

(3)

(4)

1.2 笛卡兒張量解析定義

笛卡兒張量的解釋定義是基于在一個(gè)笛卡兒直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一個(gè)笛卡兒直角坐標(biāo)系過(guò)程中產(chǎn)生的,它具有特定的規(guī)則表達(dá),矢量場(chǎng)或一階張量場(chǎng)特定規(guī)則表達(dá)見(jiàn)式(5),x1、x2、x3表示變換前坐標(biāo),x1、x2、x3表示變換后坐標(biāo);二階張量場(chǎng)特定規(guī)則表達(dá)見(jiàn)式(6)。

(5)

(6)

1.3 商法則

首先,考慮一組n3個(gè)函數(shù),其簡(jiǎn)寫(xiě)形式為A(i,j,k),每個(gè)指標(biāo)的范圍都是1～n,其次考慮其是否是張量,為避免進(jìn)行直接鑒定交換律的過(guò)程,需要假設(shè)A(i,j,k)與任意張量乘積的性質(zhì)。最后,假設(shè)一個(gè)矢量ξi(x),乘積形式A(i,j,k)ξi(x)(對(duì)i采用求和約定)產(chǎn)生一個(gè)Ajk(x)型的張量,表達(dá)式見(jiàn)式(7),這樣就能證明A(i,j,k)是一個(gè)Aijk(x)型的張量。上述的商法則性質(zhì)不只局限于低階張量,推廣到更高階的張量仍然適用。

A(i,j,k)ξi(x)=Ajk

(7)

1.4 偏導(dǎo)數(shù)

在僅考慮笛卡兒坐標(biāo)時(shí),任何張量場(chǎng)的偏導(dǎo)數(shù)都具有類(lèi)似笛卡兒張量分量的性質(zhì)。考慮兩組笛卡兒坐標(biāo)(x1,x2,x3)和(x1,x2,x3),其中ξi(x1,x2,x3)是一個(gè)張量,求偏導(dǎo)數(shù)后有式(8)的恒等表達(dá)式。在僅限于笛卡兒坐標(biāo)時(shí),倘若Φ,ξ和σij都是張量,則Φ,i,ξi,j,σij,k分別是一階、二階和三階張量,常用逗號(hào)表示偏導(dǎo)數(shù)。

(8)

2 應(yīng)力分析

2.1 應(yīng)力的表示方法

考慮在泡沫混凝土中取直角平行六面體作為連續(xù)介質(zhì),以笛卡兒坐標(biāo)系為參考系,坐標(biāo)軸平行于泡沫混凝土平行六面體單元的各個(gè)棱邊,具體如圖1所示。垂直于x1的面的應(yīng)力分量有τ11,τ12,τ13;垂直于x1的面的應(yīng)力分量有τ21,τ22,τ23;垂直于x1的面的應(yīng)力分量有τ31,τ32,τ33。正應(yīng)力的應(yīng)力分量有:τ11,τ22,τ33;其他分量τ12,τ13等稱(chēng)為剪應(yīng)力。

圖1 泡沫混凝土平行六面體單元應(yīng)力分量標(biāo)記

泡沫混凝土的應(yīng)力是位于面元正側(cè)(外法線正方向的一測(cè))的部分對(duì)位于面元負(fù)測(cè)的部分的單位面積上的作用力。規(guī)定若泡沫混凝土平行六面體單元面元的外法線方向與坐標(biāo)軸的正向一致,則對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為正,具體應(yīng)力分量的正方向如圖2所示。

圖2 泡沫混凝土平行六面體單元應(yīng)力分量的正方向

2.2 運(yùn)動(dòng)方程和柯西公式

2.2.1 運(yùn)動(dòng)方程

牛頓運(yùn)動(dòng)定律是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基礎(chǔ),根據(jù)線動(dòng)量的變化率等于作用在物體上的總外力聯(lián)立方程可以得到表達(dá)式(9),稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)方程。

(9)

2.2.2 柯西公式

從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā),可以導(dǎo)出的結(jié)論:表示面元外部材料對(duì)內(nèi)部材料作用的應(yīng)力矢量T(+)與表示內(nèi)部材料通過(guò)同一面元對(duì)外部材料作用的應(yīng)力矢量T(-)大小相等、方向相反。為證明泡沫混凝土的應(yīng)力狀態(tài)只由τij一組量來(lái)進(jìn)行表征即可,柯西公式應(yīng)用而生,具體表達(dá)式見(jiàn)公式(10) ,柯西公式所表達(dá)的物理意義是確定作用于物體中任意面元上的應(yīng)力矢量的充分必要條件是應(yīng)力τij有九個(gè)應(yīng)力分量,τij稱(chēng)為應(yīng)力張量。

(10)

2.3 平衡方程與邊界條件

2.3.1 平衡方程

為了推導(dǎo)泡沫混凝土的平衡方程,在其內(nèi)部取一個(gè)各面平行于坐標(biāo)平面的微六面體,考察其靜平衡狀態(tài),在不同表面上作用的應(yīng)力如圖3所示。泡沫混凝土微六面體作用的體力是Xidx1dx2dx3,作用的面力是左側(cè)τ11dx2dx3和右側(cè)[τ11+(?x11/?x1)dx1]dx2dx3等。

圖3 泡沫混凝土平行六面體單元應(yīng)力分量的平衡

(11)

平衡方程的表達(dá)式是在滿(mǎn)足應(yīng)力連續(xù)性假設(shè)基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)的,涉及的應(yīng)力場(chǎng)是非均勻的,每個(gè)應(yīng)力分量都是位置函數(shù),根據(jù)物體平衡合力為零的條件,得到泡沫混凝土平衡方程的表達(dá)式見(jiàn)式(11)。微元的平衡還要求合力矩為零,通過(guò)對(duì)微元力矩列平衡方程后發(fā)現(xiàn)應(yīng)力張量是對(duì)稱(chēng)的,即τij=τji。

2.3.2 邊界條件

邊界條件所表達(dá)的是與外部世界相關(guān)的已知事實(shí),根據(jù)邊界條件運(yùn)用微分方程(場(chǎng)方程)求解物體內(nèi)部的應(yīng)力。如果能夠找到所有滿(mǎn)足泡沫混凝土平衡方程和邊界條件的解,就可以清楚地描述其物體內(nèi)部的完整信息。

2.4 平面應(yīng)力狀態(tài)

當(dāng)考慮泡沫混凝土在xy平面內(nèi)處于平面應(yīng)力狀態(tài)的情況時(shí),其應(yīng)力分量σzz,σzy和σzx在表表面上均為零,即滿(mǎn)足式(12)。當(dāng)泡沫混凝土由x-y至x′-y′坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),利用式(13)求解新坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量,泡沫混凝土在平面應(yīng)力狀態(tài)下的坐標(biāo)變化如圖4所示。利用坐標(biāo)變化,假設(shè)x′和y′為主軸,給出特殊θ值相應(yīng)的x′和y′軸的方向稱(chēng)為主方向,得到泡沫混凝土坐標(biāo)變化后的σx′、σy′和τx′y′,具體的表達(dá)式見(jiàn)式(13)和式(14)。

圖4 泡沫混凝土平面應(yīng)力狀態(tài)的坐標(biāo)變化

σzz=σzy=σzx=0

(12)

(13)

(14)

2.5 主應(yīng)力與剪應(yīng)力

2.5.1 主應(yīng)力

當(dāng)泡沫混凝土材料處于一般應(yīng)力狀態(tài)時(shí),在法線為ν的平面上,作用的應(yīng)力矢量與v的方向有關(guān)。在物體內(nèi)的給定點(diǎn)處,應(yīng)力矢量與法線ν夾角與平面的方向有關(guān),隨之發(fā)生變化。在物體內(nèi)部任意一點(diǎn)至少有三個(gè)相互正交的平面滿(mǎn)足應(yīng)力矢量與該平面相互垂直。滿(mǎn)足上述條件的平面稱(chēng)為主平面,其法線為主軸,作用在主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。由式(15)求解系數(shù)行列式為零得到關(guān)于σ的三次方程式(16),根與系數(shù)之間的關(guān)系見(jiàn)式(17)。

(τji-σδji)νj=0 (i=1,2,3)

(15)

(σ-σ1)(σ-σ2)(σ-σ3)

(16)

I1=σ1+σ2+σ3

I2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1

I3=σ1σ2σ3

(17)

2.5.2 剪應(yīng)力

(18)

3 變形分析

3.1 變形

采用與泡沫混凝土應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的方法分析其變形。泡沫混凝土在承受微小的單軸拉伸應(yīng)變時(shí),在一定范圍內(nèi)滿(mǎn)足式(19)的關(guān)系,即胡克定律。泡沫混凝土承受微小剪應(yīng)變的方程關(guān)系見(jiàn)式(20),兩個(gè)關(guān)系式中,E和G均為常數(shù),分別是彈性模量和剪切模量。

σ=Eε

(19)

τ=Gtanα

(20)

圖5 泡沫混凝土位移矢量

3.2 應(yīng)變

分析物體變形的關(guān)鍵是對(duì)于物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的長(zhǎng)度變化進(jìn)行描述,位移本身并不直接與應(yīng)力相關(guān)。圖6表示泡沫混凝土內(nèi)部相鄰三點(diǎn)的變形,點(diǎn)P(a1,a2,a3)和相鄰點(diǎn)P′(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的連接為無(wú)限小線元,初始線元PP′長(zhǎng)度的平方見(jiàn)式(21),變形后的新線元QQ′長(zhǎng)度的平方見(jiàn)式(22),得到兩線元的平方差見(jiàn)式(23)和式(24),Eij稱(chēng)為格林應(yīng)變張量,eij針對(duì)小應(yīng)變情況時(shí)應(yīng)用,稱(chēng)為阿爾曼西應(yīng)變張量。

圖6 泡沫混凝土內(nèi)部相鄰三點(diǎn)的變形

(21)

(22)

(23)

(24)

3.3 用位移表示應(yīng)變分量

當(dāng)引入位移矢量u時(shí),經(jīng)過(guò)推導(dǎo)與簡(jiǎn)化后柯西小應(yīng)變張量的表達(dá)式見(jiàn)式(25)。格林應(yīng)變張量和阿爾曼西應(yīng)變張量在泡沫混凝土內(nèi)部一點(diǎn)位移無(wú)限小情況時(shí)區(qū)別就消失了,因此對(duì)于變形前或變形后的點(diǎn)位求位移導(dǎo)數(shù)是不重要的。

(25)

3.4 小應(yīng)變分量的幾何解釋

設(shè)x,y,z作為一組笛卡兒直角坐標(biāo)系。研究對(duì)象為平行于x軸(dy=dz=0)、長(zhǎng)度為dx的線元。由變形引起的該線元長(zhǎng)度平方的變化見(jiàn)式(26),略去二階小量得到式(27),可以看到exx表示平行于x軸矢量的單位長(zhǎng)度的長(zhǎng)度變化,圖7表示上述討論中體積微元的應(yīng)用。在工程應(yīng)用中,應(yīng)變分量eij的兩倍,即2eij,被稱(chēng)為剪切變形。

圖7 體積微元的應(yīng)用

(26)

(27)

3.5 變形協(xié)調(diào)條件

對(duì)于得到的含有兩個(gè)未知函數(shù)的偏微分方程來(lái)講,想要得到精確解需要滿(mǎn)足可積性條件,即協(xié)調(diào)方程。泡沫混凝土處于平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí),其協(xié)調(diào)方程見(jiàn)式(28),張量表達(dá)式為式(29)。當(dāng)變形為小應(yīng)變情況時(shí),得到的協(xié)調(diào)方程表達(dá)式見(jiàn)式(30),它表示的81個(gè)方程中,有6個(gè)是基本方程。當(dāng)變形是有限情況時(shí),協(xié)調(diào)方程通過(guò)黎曼定理變形后的物體依然保持歐幾里德空間這一依據(jù)推導(dǎo)得到。

(28)

(29)

eij,kl+ekl,ij-eik,jl-ejl,ik=0

(30)

4 結(jié)論

(2)泡沫混凝土在xy平面內(nèi)處于平面應(yīng)力狀態(tài)的情況時(shí),其應(yīng)力分量σzz,σzy和σzx在表面上均為零。

(3)泡沫混凝土在承受微小的單軸拉伸應(yīng)變時(shí),在一定范圍內(nèi)滿(mǎn)足胡克定律;其變形可以用位移場(chǎng)進(jìn)行描述。