基于改進(jìn)GM估計(jì)的電力系統(tǒng)支路阻抗參數(shù)魯棒估計(jì)方法

任千儀

（三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院，湖北宜昌 443000）

0 引言

狀態(tài)估計(jì)（State Estimation，SE）技術(shù)對(duì)于電力系統(tǒng)濾除量測(cè)噪聲、檢測(cè)和辨識(shí)壞數(shù)據(jù)、還原系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)方面具有舉足輕重的作用，是現(xiàn)代智能電網(wǎng)精確態(tài)勢(shì)感知的基礎(chǔ)[1-3]。而在電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)中，魯棒估計(jì)器的作用又至關(guān)重要[4-6]。在估計(jì)模型中，估計(jì)器對(duì)底層參數(shù)的精確程度具有較高的要求，否則將嚴(yán)重影響整體的估計(jì)結(jié)果。然而，由于在非標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行環(huán)境和人工參數(shù)輸入錯(cuò)誤下，線路和變壓器參數(shù)將偏離出廠時(shí)的正常標(biāo)準(zhǔn)值，產(chǎn)生錯(cuò)誤的參數(shù)數(shù)據(jù)[7-9]。參數(shù)錯(cuò)誤將會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)的加權(quán)最小二乘（Weighted Least Square，WLS）算法殘差發(fā)生殘差淹沒(méi)現(xiàn)象，基于標(biāo)準(zhǔn)化殘差的假設(shè)檢驗(yàn)方法將無(wú)法有效地進(jìn)行壞數(shù)據(jù)辨識(shí)，對(duì)智能電網(wǎng)精確態(tài)勢(shì)感知造成困擾[10-12]。

傳統(tǒng)的基于標(biāo)準(zhǔn)化殘差假設(shè)檢驗(yàn)方法可用于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量測(cè)量和參數(shù)中的誤差，卻無(wú)法區(qū)分是由參數(shù)還是量測(cè)引起[13-15]。為有效地進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，基于標(biāo)準(zhǔn)化的Lagrange 乘子法可在高效計(jì)算的同時(shí)有效檢測(cè)和校正參數(shù)。該方法的主要思想是將錯(cuò)誤參數(shù)作為等式約束處理，并加入算法模型中，但該方法依然無(wú)法檢測(cè)和抑制與杠桿點(diǎn)相關(guān)的量測(cè)和參數(shù)誤差[16-20]。

本文提出了一種基于極大似然（Generalized Maximum，GM）估計(jì)的電力系統(tǒng)支路阻抗參數(shù)魯棒估計(jì)方法。該方法的主要?jiǎng)?chuàng)新在于利用投影統(tǒng)計(jì)和耦合關(guān)系檢測(cè)方法，檢測(cè)得到與影響系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果相關(guān)性最大的杠桿點(diǎn)有關(guān)的支路阻抗參數(shù)，并將其視作可疑參數(shù)作為增廣狀態(tài)變量加入SE；基于GM 估計(jì)和原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法采用松弛變量將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，優(yōu)化求解模型并在IEEE-39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)，對(duì)所提方法進(jìn)行仿真分析。

1 電力系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)

為了檢測(cè)和識(shí)別可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，一般將可疑參數(shù)視為未知狀態(tài)變量，加入原始狀態(tài)變量集中作為增廣狀態(tài)變量。因此，狀態(tài)變量的分量可分為兩組：一組是各節(jié)點(diǎn)的電壓幅值Vt和相角θt（下標(biāo)t表示t時(shí)間的斷面）；另一組是網(wǎng)絡(luò)可疑參數(shù)p。

假設(shè)系統(tǒng)有k個(gè)斷面，在第t個(gè)斷面的量測(cè)量為zt，每個(gè)斷面量測(cè)數(shù)為m，在斷面t第i個(gè)量測(cè)為zt,i，則包含網(wǎng)絡(luò)參數(shù)作為狀態(tài)變量的系統(tǒng)量測(cè)方程為[16]：

式中：ht,i(Vt,θt,p)為關(guān)于狀態(tài)變量Vt，θt和p的非線性量測(cè)方程；et,i為量測(cè)誤差，假設(shè)服從0 均值方差為的高斯分布。

采用傳統(tǒng)WLS 估計(jì)方法，建立狀態(tài)估計(jì)模型為：

式中：rt,i為斷面t第i個(gè)量測(cè)的殘差；pl為待估計(jì)的可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)；為可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的給定值；為可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的加權(quán)平方函數(shù)；M為可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的誤差方差陣，并作為可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)權(quán)重。

將式（2）模型用于可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估計(jì)時(shí)，由于WLS 不具有魯棒性，容易受到壞數(shù)據(jù)和與杠桿點(diǎn)有關(guān)的量測(cè)誤差的侵蝕和影響，且式（2）模型還需要獲取與可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)有關(guān)的誤差方差陣，因而在實(shí)際中較難實(shí)施[21-24]。

2 基于改進(jìn)GM估計(jì)的魯棒參數(shù)估計(jì)模型

2.1 可疑杠桿支路參數(shù)的選擇

令z和pa分別表示量測(cè)量和可疑參數(shù)近似值，則含網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估計(jì)的量測(cè)方程表達(dá)式可進(jìn)一步寫(xiě)為：

式中：[h(V,θ,p)-h(V,θ,pa)]為由于參數(shù)不準(zhǔn)確引起的誤差。

由于量測(cè)與參數(shù)之間的相互耦合影響，當(dāng)某一參數(shù)錯(cuò)誤時(shí)，與該參數(shù)相關(guān)的量測(cè)都將發(fā)生偏移。在電力系統(tǒng)中，與杠桿點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)錯(cuò)誤對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果的影響最為嚴(yán)重。如果不良杠桿量測(cè)或參數(shù)引起的殘差存在淹沒(méi)現(xiàn)象，最大的歸一化殘差檢測(cè)將無(wú)法有效檢測(cè)錯(cuò)誤參數(shù)和量測(cè)量，為此本文利用投影統(tǒng)計(jì)算法以檢測(cè)錯(cuò)誤參數(shù)和量測(cè)。

令x=[V,θ]T表示電壓狀態(tài)量，對(duì)量測(cè)方程h(x,p)在初值x0附近泰勒展開(kāi)，可得：

式中：Δz為泰勒展開(kāi)差值，且Δz=z-h(x0,p)；Δx為初值x與真值x0之間的差值，且Δx=x-x0。

將式（4）左右兩端同乘R-1/2（R為誤差e均方差陣），可得：

式中：Δzw，Hw和ew為式（4）乘R-1/2后的得到相應(yīng)修正量。

在雅可比矩陣Hw中，每一行都表示向量回歸空間中的的一個(gè)因子點(diǎn)。杠桿量測(cè)點(diǎn)就是指其在Hw中對(duì)應(yīng)的行向量在空間上的投影遠(yuǎn)離大部分其它量測(cè)的投影。投影統(tǒng)計(jì)（Project Statistic，PS）指標(biāo)可用式（6）進(jìn)行計(jì)算：

式中：i,j,k=1,2,...,m；li為Hw的第i行向量，T 為轉(zhuǎn)置；PSi為第i個(gè)量測(cè)的投影統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。

當(dāng)計(jì)算出PSi指標(biāo)后，將其與閾值d進(jìn)行比較，以判定該量測(cè)是否杠桿量測(cè)。閾值d取為97.5%信任度下的卡方檢測(cè)值：

式中：d為檢測(cè)閾值；為卡方檢測(cè)；η為對(duì)應(yīng)行l(wèi)i中的非零元素的個(gè)數(shù)。

由于與杠桿點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)誤差對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響比其他因素大得多，而且它們很難用現(xiàn)有方法例如基于歸一化殘差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法來(lái)處理，因此對(duì)與杠桿點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)進(jìn)行檢測(cè)和校正至關(guān)重要。本文采用PSi指標(biāo)對(duì)與杠桿點(diǎn)相關(guān)的參數(shù)進(jìn)行檢測(cè)，如果與某一支路或變壓器相關(guān)的所有量測(cè)都被標(biāo)記為杠桿量測(cè)，則該支路或變壓器對(duì)應(yīng)的參數(shù)納入可疑參數(shù)，并作為增廣狀態(tài)變量參與狀態(tài)估計(jì)。由于支路和變壓器阻抗參數(shù)可視為恒定，為保證狀態(tài)估計(jì)的可觀察性以及足夠的量測(cè)冗余度，本文采用多斷面的量測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

2.2 基于改進(jìn)GM估計(jì)的魯棒參數(shù)估計(jì)模型

為同時(shí)有效應(yīng)對(duì)量測(cè)壞數(shù)據(jù)和錯(cuò)誤參數(shù)的影響，本文提出基于改進(jìn)GM 估計(jì)的魯棒參數(shù)估計(jì)方法，利用PS 和耦合關(guān)系檢測(cè)確定可疑網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，并將其作為不等式約束，得到改進(jìn)GM 魯棒參數(shù)估計(jì)模型為：

式中：rsi=ri/(σiwi)為標(biāo)準(zhǔn)化殘差；c為常數(shù)，取值一般在1.5～3 之間。

基于魯棒估計(jì)可處理各種量測(cè)壞數(shù)據(jù)和參數(shù)錯(cuò)誤問(wèn)題，然而不等式約束的存在將使得傳統(tǒng)的牛頓法和梯度法無(wú)法有效求解。由于Huber 函數(shù)不可二階連續(xù)求導(dǎo)，故而采用原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法也無(wú)法直接求解。為此，本文對(duì)原始模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，假設(shè)存在2 個(gè)松弛變量，則模型（3）可松弛轉(zhuǎn)換為：

式中：ut,i為與rt,i等價(jià)的轉(zhuǎn)換變量；為將函數(shù)模型線性化的松弛變量。

經(jīng)松弛轉(zhuǎn)換后，函數(shù)模型（10）平滑且二階連續(xù)可導(dǎo)，便于采用原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解。

3 基于改進(jìn)GM估計(jì)的魯棒參數(shù)估計(jì)算法

對(duì)式（10）模型使用松弛變量消去等式約束可得：

通過(guò)引入松弛變量將不等約束變?yōu)榈仁郊s束后，采用拉格朗日乘子法將優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為式（13）無(wú)約束的拉格朗日增廣函數(shù)：

式中：λ，γ，s1，s2，s3，s4，φp1，φp2，φv+和φv-為拉格朗日乘子。

對(duì)式（13）增廣拉格朗日函數(shù)求其一階和二階偏導(dǎo)，并采用原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)迭代算法[17]進(jìn)行求解。基于改進(jìn)GM 估計(jì)的魯棒參數(shù)估計(jì)計(jì)算流程圖如圖1所示。

圖1 基于改進(jìn)GM估計(jì)的魯棒參數(shù)估計(jì)流程圖Fig.1 Flow chart of robust parameter estimation based on improved GM estimation

4 算例仿真與分析

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)與仿真條件

基于IEEE-39 節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)，驗(yàn)證本文所提基于改進(jìn)GM 估計(jì)的魯棒參數(shù)估計(jì)方法的有效性，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 IEEE-39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 IEEE-39 buses standard system structure diagram

圖中G 為發(fā)電機(jī)的在構(gòu)造多斷面量測(cè)數(shù)據(jù)過(guò)程中，為保證參數(shù)估計(jì)的可觀察性以及足夠的量測(cè)冗余度，本文采用典型日的夜間非高峰時(shí)段的多個(gè)斷面，原因在于夜間非高峰時(shí)段負(fù)載水平最低，負(fù)荷波動(dòng)較小，電壓水平較高。在恒定的電流和溫度水平下，支路阻抗參數(shù)可認(rèn)為恒定。如圖3 所示是本文為構(gòu)造多斷面的量測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)采用的某實(shí)際電網(wǎng)典型日負(fù)荷有功曲線，并假定功率因素為0.98 且恒定。

圖3 某實(shí)際電網(wǎng)288斷面日負(fù)荷曲線Fig.3 Daily load curve of 288 snapshots of an actual power grid

在Matlab 仿真平臺(tái)，將潮流計(jì)算值作為真值，并疊加高斯噪聲以模擬實(shí)際量測(cè)[17]。系統(tǒng)基準(zhǔn)功率選為100 MVA，高斯噪聲服從0 均值，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯分布。對(duì)電壓量測(cè)σ=0.004，對(duì)注入功率量測(cè)σ=0.01，對(duì)支路功率量測(cè)σ=0.008。在每一量測(cè)斷面中，選擇121 個(gè)SCADA 測(cè)量值，其中包括28 對(duì)有功和無(wú)功注入功率、32 對(duì)有功和有功支路功率以及1 號(hào)節(jié)點(diǎn)的電壓幅值，每次參數(shù)估計(jì)中選取夜間60 個(gè)斷面的低負(fù)荷數(shù)據(jù)，并連續(xù)進(jìn)行100 次Monte Carlo 模擬實(shí)驗(yàn)，將所得狀態(tài)估計(jì)結(jié)果的平均值作為最終結(jié)果。

設(shè)置以下2 個(gè)仿真場(chǎng)景：（1）對(duì)支路3-18 阻抗參數(shù)設(shè)置20%的誤差，此時(shí)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)注入有功P3和P8、節(jié)點(diǎn)注入無(wú)功Q3和Q8以及支路功率P3-18和Q3-18為對(duì)應(yīng)的桿桿量測(cè)；（2）在場(chǎng)景（1）的基礎(chǔ)上，將節(jié)點(diǎn)注入有功P3和支路功率P3-18設(shè)置為壞數(shù)據(jù)。

4.2 仿真結(jié)果與分析

4.2.1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果準(zhǔn)確性分析

針對(duì)IEEE-39 節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)，對(duì)2 個(gè)仿真場(chǎng)景，分別采用基于傳統(tǒng)WLS 方法和本文所提基于改進(jìn)GM 估計(jì)的電力系統(tǒng)支路阻抗參數(shù)魯棒估計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算，在100 次Monte Carlo 模擬計(jì)算后統(tǒng)計(jì)所得結(jié)果的均值，其所得結(jié)果如表1 所示（本文中電阻、電抗均為標(biāo)幺值）。

表1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 1 Parameter estimation results

在場(chǎng)景（1）中，對(duì)于量測(cè)P3和P8、Q3和Q8以及P3-18和Q3-18，在計(jì)算其投影統(tǒng)計(jì)指標(biāo)時(shí)，可確定其均為杠桿量測(cè)，通過(guò)使用量測(cè)和參數(shù)之間的耦合關(guān)系可知，支3-18 阻抗將被視為可疑參數(shù)，并作為增廣狀態(tài)變量納入估計(jì)。同時(shí)，基于傳統(tǒng)的WLS 估計(jì)的歸一化殘差統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，也表明支路3-18 阻抗參數(shù)可疑，然后基于多時(shí)間斷面數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)計(jì)算。

由此可知，傳統(tǒng)的WLS 估計(jì)器在處理?xiàng)U桿量測(cè)和相應(yīng)的參數(shù)錯(cuò)誤方面，估計(jì)性能較差。同時(shí)，若與參數(shù)錯(cuò)誤相關(guān)的桿桿量測(cè)存在壞數(shù)據(jù)發(fā)生殘差淹沒(méi)時(shí)，其估計(jì)結(jié)果將變得更差。相比之下，本文所提方法在桿桿量測(cè)存在壞數(shù)據(jù)時(shí)仍能獲得良好的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，魯棒性較強(qiáng)。

4.2.2 狀態(tài)估計(jì)結(jié)果準(zhǔn)確性分析

表2 和表3 所示為在場(chǎng)景（1）和場(chǎng)景（2）中，基于傳統(tǒng)WLS 方法和本文所提基于改進(jìn)GM 估計(jì)的電力系統(tǒng)支路阻抗參數(shù)魯棒估計(jì)方法的3 號(hào)和18 號(hào)節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角的估計(jì)結(jié)果。

表2 3號(hào)節(jié)點(diǎn)電壓估計(jì)結(jié)果Table 2 Voltage estimation results of bus 3

表3 18號(hào)節(jié)點(diǎn)電壓估計(jì)結(jié)果Table 3 Voltage estimation results of bus 18

由此可知，相比于傳統(tǒng)的WLS 估計(jì)器，本文所提方法在場(chǎng)景（1）參數(shù)錯(cuò)誤情況下和場(chǎng)景（2）參數(shù)錯(cuò)誤疊加量測(cè)錯(cuò)誤情況下，仍能獲得良好的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，具有優(yōu)良的魯棒性能。

4.2.3 計(jì)算效率和收斂性分析

表4 所示為在場(chǎng)景（1）和場(chǎng)景（2）中，基于傳統(tǒng)WLS 方法和本文所提基于改進(jìn)GM 估計(jì)的電力系統(tǒng)支路阻抗參數(shù)魯棒估計(jì)方法的計(jì)算時(shí)間和迭代次數(shù)。

表4 計(jì)算時(shí)間和迭代次數(shù)Table 4 Calculation time and number of iterations

由表4 可知，基于傳統(tǒng)的WLS 方法迭代次數(shù)較少收斂性較好，且計(jì)算時(shí)間少效率更高，而本文所提方法迭代次數(shù)更多耗時(shí)更長(zhǎng)，在收斂性和計(jì)算效率方面都不如傳統(tǒng)WLS 方法，其主要原因在于本文所提方法在算法處理過(guò)程中包含等式和不等式約束，模型復(fù)雜度更高。盡管如此，但本文參數(shù)估計(jì)結(jié)果更穩(wěn)健也更準(zhǔn)確，由于參數(shù)估計(jì)通常是離線應(yīng)用并且僅涉及較小的本地網(wǎng)絡(luò)，參數(shù)更新周期為每隔幾分鐘或幾小時(shí)甚至幾周。因此，為獲得更準(zhǔn)確和更加具有魯棒性的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，計(jì)算時(shí)間和迭代次數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中影響微乎其微。

5 結(jié)論

針對(duì)電力系統(tǒng)與杠桿點(diǎn)相關(guān)的支路阻抗參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，本文提出了一種基于改進(jìn)GM 估計(jì)的電力系統(tǒng)支路阻抗參數(shù)魯棒估計(jì)方法。該方法具有以下特點(diǎn)：

1）利用投影統(tǒng)計(jì)和耦合關(guān)系檢測(cè)，得到與杠桿點(diǎn)有關(guān)的支路阻抗參數(shù)，并將其視作可疑參數(shù)作為增廣狀態(tài)變量加入狀態(tài)估計(jì)，建立魯棒參數(shù)估計(jì)模型。

2）采用松弛變量將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，優(yōu)化求解模型并基于原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解，在IEEE-39 節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)，對(duì)該方法進(jìn)行仿真分析。

基于IEEE-39 節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)的仿真結(jié)果表明，本文所提方法參數(shù)估計(jì)結(jié)果更穩(wěn)健也更準(zhǔn)確，能夠有效的估計(jì)網(wǎng)絡(luò)可疑支路阻抗參數(shù)，提高系統(tǒng)的精確態(tài)勢(shì)感知能力，雖然在收斂性和計(jì)算效率方面不如傳統(tǒng)WLS 方法，但可適用離線應(yīng)用的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)估計(jì)。