“數(shù)的運算”教學思考

路葉娜

摘 要：小學階段“數(shù)的運算”相關內容具有高度的一致性，彼此間聯(lián)系緊密。在對其進行整體分析的基礎上，提出教學策略：在情境與實例中感悟運算的意義，在算法融通中理解算理，在板塊遞進中感悟運算的本質。教學架構如下：分為“整數(shù)運算”“小數(shù)運算”“分數(shù)運算”這三個板塊以及加減法、乘法、除法等子板塊；對每個板塊立足數(shù)學核心素養(yǎng)，整合目標、任務、情境與內容，劃分出關鍵的教學單元，進一步形成教學活動鏈。

關鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)的運算；整體；結構化；單元教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在“課程理念”中指出：課程內容組織的“重點是對內容進行結構化整合，探索發(fā)展學生核心素養(yǎng)的路徑”［1］。又在“教學建議”中指出：“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數(shù)學知識體系……通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發(fā)展核心素養(yǎng)?！保?］

小學階段“數(shù)的運算”相關內容具有高度的一致性，彼此間聯(lián)系緊密。本文嘗試對其進行整體分析，進而提出教學策略，并進行教學架構。

一、“數(shù)的運算”的整體分析

首先，從現(xiàn)實意義來看，人們通常根據(jù)數(shù)量之間的關系，運用數(shù)的運算的算理與算法來解決現(xiàn)實生活中的問題。從在現(xiàn)實生活中產生數(shù)的概念，到建立數(shù)的運算體系，再到運用數(shù)的運算解決現(xiàn)實生活中的問題，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活又廣泛

運用于生活的循環(huán)過程。

其次，從數(shù)學基礎來看，數(shù)的運算是基于數(shù)的概念以及十進位值制記數(shù)法形成和發(fā)展的。根據(jù)數(shù)的實際意義、計數(shù)單位和數(shù)的組成，數(shù)與數(shù)之間可以定義運算，并形成算理和算法。例如，蘇教版小學數(shù)學一年級下冊第六單元《100以內的加法和減法（二）》的例3（如圖1所示），便引導學生從現(xiàn)實情境出發(fā)，結合計數(shù)單位和數(shù)的組成（及其實物、圖像、符號等多種表征），抽象建立相應的運算法則。此過程中，便蘊含著算理。

再次，從內部體系來看，數(shù)的運算分為整數(shù)運算、小數(shù)運算、分數(shù)運算三個板塊；小數(shù)運算、分數(shù)運算以整數(shù)運算為基礎，與整數(shù)運算既有聯(lián)系又有區(qū)別；隨著數(shù)的范圍的不斷擴大，運算法則在原有的整數(shù)運算法則的基礎上不斷擴容、貫通，最終形成數(shù)的運算的整體結構。

此外，學生在“數(shù)的運算”各個板塊的學習過程中，都要經歷一步運算、組合運算（混合運算）、運算規(guī)律探究和運用這三個層次的認識深化過程。

最后，整體來看，小學階段“數(shù)的運算”的教學目標可梳理如下：（1）知道各種運算的意義，掌握各種運算的一般法則，形成基本計算技能；（2）感悟同種運算不同方法、不同運算之間的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學思考；（3）根據(jù)不同的情境靈活選擇合適的算法（估算、巧算等）解決問題，在規(guī)律探究中進一步完善能力建構，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

二、“數(shù)的運算”的教學策略

（一）在情境與實例中感悟運算的意義

加法是把兩個或兩個以上的數(shù)、量合起來，變成一個數(shù)、量的運算。減法是從一個數(shù)量中去掉另一個數(shù)量的運算，或者已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。乘法是將相同的數(shù)、量加起來的快捷方式。除法是減去相同的數(shù)、量的快捷方式，或者已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

加減乘除的意義對于小學生來說，過于抽象。要讓學生形成清晰的概念，需要聯(lián)系學生的生活經驗：一方面，通過具體情境得到算式例子，歸納提煉相同的本質屬性，進而形成運算概念；另一方面，針對算式例子聯(lián)想具體情境，從而豐富對運算意義的認識。

在建構運算意義的過程中，要結合與學生生活經驗密切聯(lián)系的實際問題，有機滲透數(shù)量關系；同時，在抽象與演繹的過程中，發(fā)展學生的抽象和推理等關鍵能力。

（二）在算法融通中理解算理

理解運算意義，是具體探究算法、深入理解算理的前提。蘇教版小學數(shù)學教材中運算教學的設計，都是從實際問題引入，將問題的解決轉化成相應算式的計算，在尋求計算結果的過程中，組織學生經歷學具操作（擺小棒、撥計數(shù)器等）、符號記錄以及口頭言說計算思考的活動，生成不同形式的算法；各種算法之間異中有同，通過溝通關聯(lián)，學生建立算法之間的內在聯(lián)系，進而深入理解算理，由此讓思維不斷從直觀向抽象發(fā)展。

此外，還有從一道算式（例題）的解決到同類一組算式的感悟，最終抽象形成一類計算的一般方法（口算方法、筆算方法）。同時，在數(shù)的運算的不同學習階段，逐步滲透、落實估算、簡算等靈活方法，發(fā)展和提升學生的運算能力。

（三）在板塊遞進中感悟運算的本質

結合四則運算的意義，我們不難發(fā)現(xiàn)，乘法就是相同加數(shù)相加的簡寫，而除法也可以理解為不斷減去同一個數(shù)（不完全除）；同時，加法與減法互為逆運算，乘法與除法亦然。其內在關聯(lián)如圖2和圖3所示。

此外，我們還可以結合整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加減乘除的一般算法進一步剖析：加減法為什么要數(shù)位對齊？為什么要通分？多位數(shù)的乘法為什么乘完還要相加？除法除到某一位不夠商1時怎么辦？……最終發(fā)現(xiàn)，其實又回到了數(shù)的運算發(fā)展的起點——計數(shù)單位。計數(shù)單位與相應的計數(shù)本質上是相乘的關系（乘法的意義是相同的東西合起來），所以，加減法本質上是相同的計數(shù)單位不變，相應的計數(shù)相加減（分配律的運用，或者說合并同類項）；乘除法本質上是計數(shù)單位相乘除得到新的計數(shù)單位，相應的計數(shù)相乘除得到新的計數(shù)（冪的運算法則的運用）；加減乘除中蘊含著計數(shù)單位的合成和分解?？梢姡\算的本質在計數(shù)單位中（或者說，算術的本質在代數(shù)中）。

因此，教學要引導學生在“整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)”的板塊遞進（以及“加、減、乘、除”的子板塊遞進）中，經歷從最初的“看山是山”（經驗之談）到中期的“看山不是山”（分解學習），到最后的“看山還是山”（認知的整合）的過程，實現(xiàn)從“雙基”到“素養(yǎng)”的進階，同時，實現(xiàn)從算術到代數(shù)的進階。

三、“數(shù)的運算”的教學架構

我們嘗試把“數(shù)的運算”分為“整數(shù)運算”“小數(shù)運算”“分數(shù)運算”這三個板塊來進行教學架構。三個板塊都是先學習加法和減法，再學習乘法和除法。

以整數(shù)運算為例，我們嘗試將其分為加減法、乘法、除法這三個子板塊：對每個子板塊，由表及里地提煉出關鍵的教學單元（如下頁圖4所示）和教學活動鏈。

圖4中的教學單元與教材中的單元有所不同：不只是依據(jù)內容劃分的，而是立足數(shù)學學科核心素養(yǎng)，整合目標、任務、情境與內容劃分的。或者說，一個單元就是一個指向素養(yǎng)的、相對獨立的、體現(xiàn)完整教學過程的課程細胞。

以加減法子板塊的第一單元為例。為了幫助小學起始年段的學生加深對數(shù)的理解，更好地理解加法和減法，在10以內的加減法中培養(yǎng)數(shù)感，發(fā)展數(shù)學思考，我們將教材中《分與合》《10以內的加法和減法》兩個單元進行整合，穿插教學，進一步形成教學活動鏈（如圖5所示）。

在小學階段“數(shù)的運算”知識體系中，10以內數(shù)的分與合是十分重要的基礎知識，直接關系到10以內數(shù)的概念的形成，以及10以內加減法的計算。教材將2—10各數(shù)的分與合集中編排，希望學生能較好地感悟“分”與“合”的思想，為以后理解四則運算的意義打下基礎。但集中學習10以內數(shù)的分與合，不利于學生體會分與合的價值，較難激發(fā)學生學習的主動性；同時，使得學生接受學習的容量較大，增加了學生的記憶難度。

10以內數(shù)的分與合的意義正是加法和減法的支撐，因此，將教材內容重組，把10以內數(shù)的分與合與其對應的加減法的學習有機結合，以幫助學生體會學以致用的重要意義，并在掌握知識與技能的基礎上了解學習方法結構，逐步培養(yǎng)序列化探究、自主遷移學習等能力，促進教學過程中教學目標與教學評價指向核心素養(yǎng)，實現(xiàn)進階。相應地，學習內容也在緩沖下逐步增加，便于一年級學生逐步適應學習過程。其活動鏈中各個活動的目標設計如下頁表1所示。

從表1中不難發(fā)現(xiàn)各個活動之間教學側重的轉變和要求的遞進。在這一單元的活動鏈中，概念整體進入和對方法的循環(huán)遞進使用，體現(xiàn)結構的靈活；從分合到加減法再到簡單“部總”問題，由淺入深，體現(xiàn)結構的遞進。這一設計重在學習成果的內化和思維品質的培養(yǎng)，實現(xiàn)素養(yǎng)本位單元整體設計的價值追求。

總之，整個“數(shù)的運算”的教學過程，都要注意橫向的豐富與打開，縱向的遞進與靈活，用結構化的教學使學生的思維走向靈動與清晰，從“帶著學生學”走向“學生獨立學”，從點狀的探索認知走向鏈狀的有序研究和深入感悟。

參考文獻：

［1］［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：3，85.