生產(chǎn)場景下回焊爐核心溫度數(shù)值計(jì)算方法

朱調(diào)娟

(惠州經(jīng)濟(jì)職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院,廣東 惠州 516057)

0 引言

由于電路板厚度相比于電路板長度和寬度相差較大,電路板的加熱過程主要是上下表面到中心的傳熱過程.如果以電路板作為參照系,電路板在回焊爐中運(yùn)動加熱的過程可簡化為電路板上下表面溫度隨時(shí)間變化的一維傳熱過程[1-2].在加熱過程中箱體內(nèi)空氣與電路板表面對流換熱、電路板內(nèi)熱傳導(dǎo)、加熱器件與電路板之間熱輻射三種熱量傳遞方式都有發(fā)生,是一個(gè)復(fù)雜的過程(圖1).

圖1 加熱過程中各種熱量傳遞方式示意圖

可靠的傳熱方程是進(jìn)行控制優(yōu)化的基礎(chǔ),然而方程中諸如熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、輻射吸收強(qiáng)度等在不同的生產(chǎn)條件下都不盡相同,如果依賴于實(shí)驗(yàn)測定,一方面增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度,另一方面不能與生產(chǎn)實(shí)際靈活匹配[3-4].簡便可行的方式是利用在電路板中心部署的測溫傳感器獲得的數(shù)據(jù),擬合出一組適用于當(dāng)前生產(chǎn)條件的參數(shù).

加熱及風(fēng)冷裝置上下對稱布置,因此可以認(rèn)為電路板沿縱向的溫度分布具有對稱性,取電路板厚度方向上的中心剖面作為絕熱面建立熱能傳遞方程[5-7].熱輻射和對流熱量都是從表面進(jìn)入電路板的,適合采用第三類邊界條件:

(1)

1 建立差分方程

核心溫度的時(shí)間導(dǎo)數(shù)采用向前差商.對于二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),考慮到只有核心的溫度數(shù)據(jù),缺少沿著板厚方向的數(shù)據(jù),因此不便插入其他分層,只能依賴邊界熱流做向前差商.

(2)

(3)

如果直接采用這樣的離散方式是難以進(jìn)行良好的擬合和估計(jì)的.

聯(lián)立邊界的向后差商和熱流邊界條件:

還可以推出,邊界溫度是熱源和核心溫度之間的一種線性組合.

其中的組合系數(shù)只依賴于表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)b和板的厚度h,顯然這樣的常系數(shù)對邊界溫度復(fù)雜的非線性變化的描述不夠.采取在前后兩時(shí)間步使用不同組合系數(shù)的方式,增加在數(shù)值計(jì)算和擬合時(shí)非線性的程度.修正后的邊界溫度表示為

(4)

該時(shí)間步傳熱開始時(shí)邊界溫度表示為熱源和核心溫度線性組合的組合系數(shù)β,傳熱結(jié)束時(shí)組合系數(shù)變?yōu)棣?從而在每一個(gè)時(shí)間步內(nèi)邊界溫度的變化是非線性的,這兩個(gè)系數(shù)僅在每個(gè)單獨(dú)的時(shí)間步上有效,將α和β分別代入(2)式.

(5)

由于沿厚度方向缺少劃分點(diǎn),依賴邊界條件得出的離散公式實(shí)際上很難直接用于擬合和估計(jì).而沿時(shí)間方向有豐富的分點(diǎn)及測量數(shù)據(jù),因此要想提高計(jì)算精度和計(jì)算穩(wěn)定性,需要充分利用時(shí)間維度上的離散化.

(6)

將溫度對時(shí)間導(dǎo)數(shù)的泰勒公式作為出發(fā)點(diǎn),將溫度對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用向前差商進(jìn)行離散,并利用熱傳導(dǎo)方程將時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為對空間的二階導(dǎo)數(shù).

再利用(4)式可得到

(7)

將(6)式代入(5)式,對其中的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)采用向后差商進(jìn)行離散,整理可得到

u(0,ti+1)-u(0,ti)=(1-τA)(u(0,ti)-u(0,ti-1))+τAf(vti)-τBf(vti-1)+τCu(0,ti-1)+o(τρ).

由此得出回歸基本方程:

(8)

以及溫度演化關(guān)系:

(9)

2 擬合生產(chǎn)場景參數(shù)

回焊爐內(nèi)的爐溫為一分段函數(shù)f(z),在第i個(gè)溫區(qū)[l2i-1,l2i]內(nèi)溫度為Ti,在相鄰溫區(qū)間隔[l2i,l2i+1]上溫度為線性變化.

(10)

對核心溫度測量數(shù)據(jù)與f(z)在采樣點(diǎn)的取值,按(7)式進(jìn)行多元線性回歸.

在圖2中,u為核心溫度的一系列采樣點(diǎn),u*為按照擬合系數(shù)進(jìn)行差分計(jì)算得到的核心溫度仿真結(jié)果,

f為爐溫函數(shù).

將得到的系數(shù)按照(8)式進(jìn)行仿真模擬,由圖2可以看出,仿真模擬數(shù)據(jù)與實(shí)際測得的核心溫度之間有明顯的偏差.實(shí)際上這是因?yàn)樵诓煌瑺t溫下輻射換熱強(qiáng)度不同,并且在回焊爐尾段其換熱的主要方式變?yōu)椴扇?qiáng)對流的方式散熱,這些在熱傳遞方程中都?xì)w結(jié)為表面?zhèn)鳠嵯禂?shù).因此在不同工況下的熱傳導(dǎo)系數(shù)a和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)b應(yīng)取不同的值,進(jìn)而采取分段回歸及仿真方式,按爐溫函數(shù)的分段設(shè)定為5個(gè)對應(yīng)階段,分別計(jì)算回歸系數(shù)并進(jìn)行仿真,分段回歸系數(shù)見表1,仿真結(jié)果如圖3所示.仿真結(jié)果所反映出的溫度變化與實(shí)測核心溫度曲線吻合得很好.在圖4中,res表示分段擬合后按照差分計(jì)算仿真得到的殘差,res始終保持在-1.5℃～+1.5℃范圍內(nèi),說明采用(8)式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)的累積誤差不明顯.

圖2 整體擬合時(shí)得到的溫度曲線

圖3 分段擬合時(shí)的仿真結(jié)果與采樣點(diǎn)測量值之間的關(guān)系

表1 分段回歸系數(shù)

圖4 仿真結(jié)果和實(shí)測值之間的殘差圖

圖5 修正后的仿真殘差正態(tài)概率圖

Δu(0,ti+1)=kΔu(0,ti)+o(τh)+o(τ2).

(11)

3 進(jìn)一步修正

從圖4所示的殘差res曲線可以看出,當(dāng)前仿真結(jié)果仍存在一定的系統(tǒng)誤差,這是因?yàn)樵谟?jì)算時(shí)將爐溫函數(shù)處理成了簡單的分段函數(shù),尤其是在溫區(qū)間隔上假定為線性變化,這在大范圍恒溫和溫差較大的地方產(chǎn)生明顯的誤差.考慮對爐溫函數(shù)進(jìn)行修正,仍采用分段線性函數(shù),但是通過擴(kuò)大相鄰溫區(qū)間隔這種最簡單的方式來強(qiáng)化溫區(qū)間的相互影響,修正后重新擬合誤差降至-0.5℃～+0.5℃范圍內(nèi),殘差曲線如圖4中的res_fix曲線所示.殘差正態(tài)概率如圖5所示,在圖5中絕大多數(shù)點(diǎn)在一條直線上,偏離較大的地方主要是冷卻段爐溫變化較大的地方,這些地方除了爐溫函數(shù)用分段線性可能不足以描述其變化的非線性性,還受到累積誤差的影響,這類模型計(jì)算時(shí)的累計(jì)誤差基本無法避免,從誤差的范圍來看,采用(9)式計(jì)算的累積誤差控制效果較好.

4 結(jié)語

擬合及仿真計(jì)算結(jié)果表明,本文建立的回歸方程(8)和相應(yīng)的差分方法(9),既有理論依據(jù),又與實(shí)際觀測數(shù)據(jù)有良好的吻合,不需要更多的外部數(shù)據(jù)和其他假設(shè),是一種可靠的僅利用核心溫度觀測數(shù)據(jù)就可以對回焊爐加熱過程進(jìn)行估計(jì)和仿真的方法,可以進(jìn)一步對加熱過程進(jìn)行控制和優(yōu)化.