強化學生的數(shù)感

◇陳 永（江蘇：沭陽縣耿圩中心小學）

2022 年版《義務教育數(shù)學課程標準》的最大變化就是讓立德樹人這一教育根本任務得以落地，課程目標以學生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導向，進一步強調(diào)學生獲得數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），發(fā)展運用數(shù)學知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。

新課標指出：義務教育數(shù)學課程應使學生通過數(shù)學的學習，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習過程中逐漸形成和發(fā)展的，不同學段發(fā)展水平不同。小學階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應用意識、創(chuàng)新意識。

由此看來，新課標把小學生數(shù)感的培養(yǎng)擺在了首位。數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系及運算結(jié)果的直觀感悟。能夠在真實情境中理解數(shù)的意義，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序；能在簡單的真實情境中進行合理估算，做出合理判斷；能初步體會并表達事物蘊含的簡單數(shù)量規(guī)律。數(shù)感是形成抽象能力的經(jīng)驗基礎。建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關系，初步感受數(shù)學表達的簡潔與精確，增強好奇心，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣。

那么在日常課堂教學中，如何根據(jù)教材的內(nèi)容強化小學生的數(shù)感呢？

一、在數(shù)數(shù)中培養(yǎng)數(shù)感

小學生數(shù)感的培養(yǎng)是1～3 年級數(shù)學的重點，在小學生日常生活中通過有意無意的數(shù)數(shù)活動，讓學生知道用數(shù)可以表示多少，這樣在數(shù)數(shù)的過程中潛移默化，就會逐漸對數(shù)有一個直觀感悟。小學生數(shù)數(shù)的難點是滿十進一的進位數(shù)，來看這樣的例子，十十……，站在孩子角度分析一下為什么會出現(xiàn)十十呢？兒童數(shù)數(shù)不僅僅是數(shù)，還蘊含著簡單的推理，所以數(shù)數(shù)的過程也是數(shù)感發(fā)展的過程。這是了不起的感覺，來自簡單地數(shù)數(shù)，而且是自我體悟的過程，遇到這樣的孩子，教師一定要在第一時間理解孩子的想法，即便你沒想到，也應給孩子解釋的機會。

再看一萬一萬地數(shù)。四年級數(shù)學就有這樣一節(jié)課，課中教師讓孩子自己數(shù)，結(jié)束后有個孩子站起來說：老師，九萬之后為什么是十萬?。慨敃r教室哄堂大笑，覺得這個問題太簡單，老師也有點莫名其妙，因為這是個學優(yōu)生，老師沒有忽略他的感受，就讓他說出自己的想法，結(jié)果他說：根據(jù)我們以前學的滿十進一的方法，只要滿十都要換一個新的計數(shù)單位，滿十萬了該換成什么了呢？你看這個孩子的思考多么深入？他用類推的方法想到要有新的計數(shù)單位產(chǎn)生，這就是小學生對數(shù)的內(nèi)心深刻體驗。

小學生在學習分數(shù)、小數(shù)之前，大致經(jīng)歷了三個階段數(shù)的認識：20 以內(nèi)數(shù)的認識、百千數(shù)的認識、較大數(shù)的認識，這三個階段對數(shù)感的培養(yǎng)各有側(cè)重，20 以內(nèi)側(cè)重數(shù)字，百千數(shù)重點是位值，較大數(shù)主要是數(shù)級。教材中對“位值”的物化主要有兩種：一種是小棒，用捆表示十，用根表示一；第二種是點、線、面、體的方格圖，借助直觀認識數(shù)的組成，然后用半抽象的計數(shù)器幫助學生建立“位值”的感知、模型；而較大數(shù)的認識，主要是建立“數(shù)級”的概念，讓學生體會“數(shù)級”本質(zhì)是前一階段的延伸。我們可以借助個級的幾千幾百幾十幾推出萬級的幾千幾百幾十幾萬和億級的幾千幾百幾十幾億，這樣的教學，以個級的幾千幾百幾十幾個為支撐，逐步升級，讓學生在四位一級的不斷提升中，獲得大數(shù)的表象。學生經(jīng)歷三個階段的學習后，從數(shù)字到位值再到數(shù)級，數(shù)感逐漸豐富起來。

二、在讀數(shù)中滲透數(shù)感

比如233，可表達的就是讀寫，先從直觀的小方塊開始，理解它的組成，再抽象成直觀到半直觀的模型，學生在理解這個數(shù)的意義、讀出這個數(shù)時，經(jīng)歷了對位值的體驗，它是從“滿十進一”的計數(shù)過程的物化開始的。也許有的教師會說，讀數(shù)也能讀出數(shù)的感覺嗎？請看例題。

5678讀作（）千（）百（）十（）；

一個數(shù)由5 個千，6 個百，7 個十，8 個一組成；這個數(shù)是：（ ）

5678=（ ）×1000+（ ）×100+（ ）×10+（）。

第1 題，會讀數(shù)的學生都能正確填寫；第2題，部分學生就要對照數(shù)位順序表慢慢寫了；第3 題，有的學生就不知如何是好了。這樣的題目，從許多學生的角度認為是一題比一題抽象形式化?，F(xiàn)在將三題放在一起對比，不難發(fā)現(xiàn)它們原來是一回事，只要會讀數(shù)，就應該都能正確回答。那么，為什么卻感覺一題比一題難，難度從何而來？就是因為一部分學生雖能正確讀出五千六百七十八，卻就像小和尚念經(jīng)，有口無心，并沒有意識到五千就是5 個千，就是5×1000……有的學生總在想讀數(shù)法則，注意力都在想我怎么能把數(shù)讀正確，而不是邊讀邊理解這個數(shù)的組成。

不僅是整數(shù)，其實分數(shù)也能讀出數(shù)感。我們來看2/3 怎么寫的：先寫分數(shù)線，再平均分成3份，也就是三分天下的意思，表示其中的2 份，讀作三分之二，三份之中的兩份，慢慢體會一下，其實讀寫的過程也就是理解分數(shù)意義的過程，反過來說，在讀的過程中已經(jīng)體現(xiàn)了2/3 的意義，即讀出了數(shù)感的功能。因此我們在教學分數(shù)時候，不僅要強調(diào)單位1 的等份，更要重視分數(shù)和書寫順序，書寫過程與分數(shù)的生成過程一致，就是確保讀與寫的一致性。作為數(shù)學教師，我們要有意識地設計一些讀數(shù)活動，幫助學生獲得關于分數(shù)的感覺，增進對分數(shù)意義的理解。

還有分數(shù)乘除法的教學，我們來看這樣的例子：36×3/4，我們在讀算式的過程中就能體會到就是求36的3/4是多少，那計算的時候就很自然地把36 平均分成4 份，再求其中的3 份。分數(shù)乘整數(shù)的算法就被你讀出來了；再看36÷3/4，我們知道除法是乘法的逆運算，這算式就可以理解為已知一個數(shù)的3/4 是36，求這個數(shù)。根據(jù)對3/4 意義的理解，也就是一個數(shù)被平均分成4 份，3 份是36，那4 份是多少？學生就能想到先用36除以3求出一份，再乘4份。

三、在比較中發(fā)展數(shù)感

“比較是一切理解和思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切。”數(shù)的大小比較，不僅能讓學生理解數(shù)，更能加深學生對數(shù)的實際意義的理解，學生在比較中有了多、少、多一些、少一些、相當于這樣的幾倍的認識，使數(shù)感得到進一步發(fā)展?？此坪唵?，其實包含許多數(shù)學思想與數(shù)學思考在里面。

讓我們先來看4 大于6 的數(shù)學故事。6＞4的插圖是6 只小鵝與4 只母鵝，盡管畫了四條一一對應的虛線，通過實驗，發(fā)現(xiàn)不少學生還是認為“4 大于6”。他們的理由是1 只母鵝都可能比6 只小鵝大，何況4 只母鵝呢，他們認為4 只母鵝又大又重，怎么可能比6 只又輕又小的小鵝小呢。通過前面我們對抽象的理解，我們應該知道，這就是孩子們沒有具備從具體的實物中抽象出數(shù)這一能力，因為抽象本身就是比較難的數(shù)學素養(yǎng)，就一年級小學生而言，他們還難以徹底擺脫量（特別是質(zhì)量）對抽象出數(shù)的干擾。通過幾輪實驗下來，最后教師把4 只母鵝改成了4 只小鴨，回避了不同量的干擾。許多年過去了，這個故事之所以會出現(xiàn)在許多場合，我覺得是因為它能給我們很多提醒與思考，更需要教師持續(xù)的教學努力。

四、在計算中強化數(shù)感

我們的孩子遇到9÷12.5 %，4÷25%這些口算題，一口就能說出它的得數(shù)，沒有哪個孩子還在進行計算，這都得益于我們對這些0.125，25%這些數(shù)的敏感程度；再有就是簡便計算125×32，孩子們都能靈活地利用乘法結(jié)合律進行巧算，提高計算速度與正確率，有了數(shù)感就能靈活地計算，反過來，在計算中進一步強化數(shù)感，它是相輔相成的。再看看42 除以3，小棒圖先分捆，再分根，也就是從高位除起的道理，幫助學生理解第一次除后，剩下的1 個十和2 個一合起來繼續(xù)除的算理。在這個過程中，小棒圖起到兩個作用，首先是將抽象的算式變得直觀，將計算法則變得生動；其次，幫助不同層次的學生在認知上找到“齊點”，明白這樣計算的道理，較好地掌握除法計算的基本法則。

五、在推理中激活數(shù)感

先來看，我們認數(shù)都是通過計數(shù)單位開始，個、十、百、千、萬，那較大的數(shù)呢？即使是借助直觀的模型學生也很難感受到它的多少，也就是說對于萬以上數(shù)，依靠幾何直觀來感受大小效果甚微。那如何建立大數(shù)的表象呢？

讓我們看《一億有多大》案例，先復習說說，關于一億你知道多少？然后讓學生先數(shù)出100本練習本大約用了90 秒，然后推算：數(shù)1 萬本大約要用100×90＝9000（秒），數(shù)1億本大約要用9000×10000＝90000000（秒），最后用計算器完成“秒”換算成“年”的運算：90000000÷60÷60÷24÷365≈2.85（年）。

活動結(jié)束后問執(zhí)教者“一億有多大？”，說不出所以然，最后只能用課本的舉例來回答。如：一億本練習本要數(shù)三年。那關于一億有多大，并沒有建立一定的表象。讓我們反思這節(jié)課，建立一億有多大的概念主要靠什么？對，推算，就素養(yǎng)而言，你要對一億有感覺，那只能靠推算獲得的一10000 個10000 是一億，也就是說大數(shù)的理解要靠概念、靠推理而不是聯(lián)系情境了，因為現(xiàn)實情境太大，難以構(gòu)成數(shù)量。

所以教學這節(jié)課，我們的立足點不能停留在通過活動培養(yǎng)數(shù)感，而是讓學生感受真正的數(shù)學，數(shù)學不靠實驗，而是靠推理獲得，這才是數(shù)學真正的精髓，也是數(shù)學最本質(zhì)的特征。這也是認證推理是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要方面的典型課例，在數(shù)學學習上，如果我們的學生只相信眼見為實，缺少抽象的推理能力，那他在數(shù)學這條道路上就很難走得遠。

生活是知識的源泉。小學生數(shù)感的習得不是一蹴而就的，而是一個長期的過程，這就需要我們抓住生活中的一切機會，引導學生觀察生活，發(fā)現(xiàn)問題，在生活的探究中尋求解決問題的有效方法。也只有當他們將所學知識與現(xiàn)實生活聯(lián)系起來，他們才能更好地理解知識、運用知識。小學數(shù)學新教材創(chuàng)設了很多生活情境，我們要善于引導學生體會數(shù)學知識就存在于每個人的生活中，學會用數(shù)學的眼光看待和理解日常生活中的問題，習慣于用數(shù)學的知識來感受生活、解決問題，數(shù)感才能不斷得到提升和培養(yǎng)。讓我們在數(shù)的世界里徜徉，讓小學生的數(shù)感培養(yǎng)根植于日常的學習和生活中。