◇陳 永(江蘇:沭陽(yáng)縣耿圩中心小學(xué))
2022 年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的最大變化就是讓立德樹(shù)人這一教育根本任務(wù)得以落地,課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本,以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱“四基”),發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力(簡(jiǎn)稱“四能”),形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。
新課標(biāo)指出:義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),形成和發(fā)展面向未來(lái)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成和發(fā)展的,不同學(xué)段發(fā)展水平不同。小學(xué)階段,核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為:數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、模型意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。
由此看來(lái),新課標(biāo)把小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)擺在了首位。數(shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟。能夠在真實(shí)情境中理解數(shù)的意義,能用數(shù)表示物體的個(gè)數(shù)或事物的順序;能在簡(jiǎn)單的真實(shí)情境中進(jìn)行合理估算,做出合理判斷;能初步體會(huì)并表達(dá)事物蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單數(shù)量規(guī)律。數(shù)感是形成抽象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系,初步感受數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔與精確,增強(qiáng)好奇心,培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
那么在日常課堂教學(xué)中,如何根據(jù)教材的內(nèi)容強(qiáng)化小學(xué)生的數(shù)感呢?
小學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)是1~3 年級(jí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn),在小學(xué)生日常生活中通過(guò)有意無(wú)意的數(shù)數(shù)活動(dòng),讓學(xué)生知道用數(shù)可以表示多少,這樣在數(shù)數(shù)的過(guò)程中潛移默化,就會(huì)逐漸對(duì)數(shù)有一個(gè)直觀感悟。小學(xué)生數(shù)數(shù)的難點(diǎn)是滿十進(jìn)一的進(jìn)位數(shù),來(lái)看這樣的例子,十十……,站在孩子角度分析一下為什么會(huì)出現(xiàn)十十呢??jī)和瘮?shù)數(shù)不僅僅是數(shù),還蘊(yùn)含著簡(jiǎn)單的推理,所以數(shù)數(shù)的過(guò)程也是數(shù)感發(fā)展的過(guò)程。這是了不起的感覺(jué),來(lái)自簡(jiǎn)單地?cái)?shù)數(shù),而且是自我體悟的過(guò)程,遇到這樣的孩子,教師一定要在第一時(shí)間理解孩子的想法,即便你沒(méi)想到,也應(yīng)給孩子解釋的機(jī)會(huì)。
再看一萬(wàn)一萬(wàn)地?cái)?shù)。四年級(jí)數(shù)學(xué)就有這樣一節(jié)課,課中教師讓孩子自己數(shù),結(jié)束后有個(gè)孩子站起來(lái)說(shuō):老師,九萬(wàn)之后為什么是十萬(wàn)???當(dāng)時(shí)教室哄堂大笑,覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題太簡(jiǎn)單,老師也有點(diǎn)莫名其妙,因?yàn)檫@是個(gè)學(xué)優(yōu)生,老師沒(méi)有忽略他的感受,就讓他說(shuō)出自己的想法,結(jié)果他說(shuō):根據(jù)我們以前學(xué)的滿十進(jìn)一的方法,只要滿十都要換一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位,滿十萬(wàn)了該換成什么了呢?你看這個(gè)孩子的思考多么深入?他用類推的方法想到要有新的計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生,這就是小學(xué)生對(duì)數(shù)的內(nèi)心深刻體驗(yàn)。
小學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)之前,大致經(jīng)歷了三個(gè)階段數(shù)的認(rèn)識(shí):20 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、百千數(shù)的認(rèn)識(shí)、較大數(shù)的認(rèn)識(shí),這三個(gè)階段對(duì)數(shù)感的培養(yǎng)各有側(cè)重,20 以內(nèi)側(cè)重?cái)?shù)字,百千數(shù)重點(diǎn)是位值,較大數(shù)主要是數(shù)級(jí)。教材中對(duì)“位值”的物化主要有兩種:一種是小棒,用捆表示十,用根表示一;第二種是點(diǎn)、線、面、體的方格圖,借助直觀認(rèn)識(shí)數(shù)的組成,然后用半抽象的計(jì)數(shù)器幫助學(xué)生建立“位值”的感知、模型;而較大數(shù)的認(rèn)識(shí),主要是建立“數(shù)級(jí)”的概念,讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)級(jí)”本質(zhì)是前一階段的延伸。我們可以借助個(gè)級(jí)的幾千幾百幾十幾推出萬(wàn)級(jí)的幾千幾百幾十幾萬(wàn)和億級(jí)的幾千幾百幾十幾億,這樣的教學(xué),以個(gè)級(jí)的幾千幾百幾十幾個(gè)為支撐,逐步升級(jí),讓學(xué)生在四位一級(jí)的不斷提升中,獲得大數(shù)的表象。學(xué)生經(jīng)歷三個(gè)階段的學(xué)習(xí)后,從數(shù)字到位值再到數(shù)級(jí),數(shù)感逐漸豐富起來(lái)。
比如233,可表達(dá)的就是讀寫(xiě),先從直觀的小方塊開(kāi)始,理解它的組成,再抽象成直觀到半直觀的模型,學(xué)生在理解這個(gè)數(shù)的意義、讀出這個(gè)數(shù)時(shí),經(jīng)歷了對(duì)位值的體驗(yàn),它是從“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)過(guò)程的物化開(kāi)始的。也許有的教師會(huì)說(shuō),讀數(shù)也能讀出數(shù)的感覺(jué)嗎?請(qǐng)看例題。
5678讀作()千()百()十();
一個(gè)數(shù)由5 個(gè)千,6 個(gè)百,7 個(gè)十,8 個(gè)一組成;這個(gè)數(shù)是:( )
5678=( )×1000+( )×100+( )×10+()。
第1 題,會(huì)讀數(shù)的學(xué)生都能正確填寫(xiě);第2題,部分學(xué)生就要對(duì)照數(shù)位順序表慢慢寫(xiě)了;第3 題,有的學(xué)生就不知如何是好了。這樣的題目,從許多學(xué)生的角度認(rèn)為是一題比一題抽象形式化?,F(xiàn)在將三題放在一起對(duì)比,不難發(fā)現(xiàn)它們?cè)瓉?lái)是一回事,只要會(huì)讀數(shù),就應(yīng)該都能正確回答。那么,為什么卻感覺(jué)一題比一題難,難度從何而來(lái)?就是因?yàn)橐徊糠謱W(xué)生雖能正確讀出五千六百七十八,卻就像小和尚念經(jīng),有口無(wú)心,并沒(méi)有意識(shí)到五千就是5 個(gè)千,就是5×1000……有的學(xué)生總在想讀數(shù)法則,注意力都在想我怎么能把數(shù)讀正確,而不是邊讀邊理解這個(gè)數(shù)的組成。
不僅是整數(shù),其實(shí)分?jǐn)?shù)也能讀出數(shù)感。我們來(lái)看2/3 怎么寫(xiě)的:先寫(xiě)分?jǐn)?shù)線,再平均分成3份,也就是三分天下的意思,表示其中的2 份,讀作三分之二,三份之中的兩份,慢慢體會(huì)一下,其實(shí)讀寫(xiě)的過(guò)程也就是理解分?jǐn)?shù)意義的過(guò)程,反過(guò)來(lái)說(shuō),在讀的過(guò)程中已經(jīng)體現(xiàn)了2/3 的意義,即讀出了數(shù)感的功能。因此我們?cè)诮虒W(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)候,不僅要強(qiáng)調(diào)單位1 的等份,更要重視分?jǐn)?shù)和書(shū)寫(xiě)順序,書(shū)寫(xiě)過(guò)程與分?jǐn)?shù)的生成過(guò)程一致,就是確保讀與寫(xiě)的一致性。作為數(shù)學(xué)教師,我們要有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些讀數(shù)活動(dòng),幫助學(xué)生獲得關(guān)于分?jǐn)?shù)的感覺(jué),增進(jìn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。
還有分?jǐn)?shù)乘除法的教學(xué),我們來(lái)看這樣的例子:36×3/4,我們?cè)谧x算式的過(guò)程中就能體會(huì)到就是求36的3/4是多少,那計(jì)算的時(shí)候就很自然地把36 平均分成4 份,再求其中的3 份。分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法就被你讀出來(lái)了;再看36÷3/4,我們知道除法是乘法的逆運(yùn)算,這算式就可以理解為已知一個(gè)數(shù)的3/4 是36,求這個(gè)數(shù)。根據(jù)對(duì)3/4 意義的理解,也就是一個(gè)數(shù)被平均分成4 份,3 份是36,那4 份是多少?學(xué)生就能想到先用36除以3求出一份,再乘4份。
“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ),我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切。”數(shù)的大小比較,不僅能讓學(xué)生理解數(shù),更能加深學(xué)生對(duì)數(shù)的實(shí)際意義的理解,學(xué)生在比較中有了多、少、多一些、少一些、相當(dāng)于這樣的幾倍的認(rèn)識(shí),使數(shù)感得到進(jìn)一步發(fā)展??此坪?jiǎn)單,其實(shí)包含許多數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思考在里面。
讓我們先來(lái)看4 大于6 的數(shù)學(xué)故事。6>4的插圖是6 只小鵝與4 只母鵝,盡管畫(huà)了四條一一對(duì)應(yīng)的虛線,通過(guò)實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生還是認(rèn)為“4 大于6”。他們的理由是1 只母鵝都可能比6 只小鵝大,何況4 只母鵝呢,他們認(rèn)為4 只母鵝又大又重,怎么可能比6 只又輕又小的小鵝小呢。通過(guò)前面我們對(duì)抽象的理解,我們應(yīng)該知道,這就是孩子們沒(méi)有具備從具體的實(shí)物中抽象出數(shù)這一能力,因?yàn)槌橄蟊旧砭褪潜容^難的數(shù)學(xué)素養(yǎng),就一年級(jí)小學(xué)生而言,他們還難以徹底擺脫量(特別是質(zhì)量)對(duì)抽象出數(shù)的干擾。通過(guò)幾輪實(shí)驗(yàn)下來(lái),最后教師把4 只母鵝改成了4 只小鴨,回避了不同量的干擾。許多年過(guò)去了,這個(gè)故事之所以會(huì)出現(xiàn)在許多場(chǎng)合,我覺(jué)得是因?yàn)樗芙o我們很多提醒與思考,更需要教師持續(xù)的教學(xué)努力。
我們的孩子遇到9÷12.5 %,4÷25%這些口算題,一口就能說(shuō)出它的得數(shù),沒(méi)有哪個(gè)孩子還在進(jìn)行計(jì)算,這都得益于我們對(duì)這些0.125,25%這些數(shù)的敏感程度;再有就是簡(jiǎn)便計(jì)算125×32,孩子們都能靈活地利用乘法結(jié)合律進(jìn)行巧算,提高計(jì)算速度與正確率,有了數(shù)感就能靈活地計(jì)算,反過(guò)來(lái),在計(jì)算中進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)感,它是相輔相成的。再看看42 除以3,小棒圖先分捆,再分根,也就是從高位除起的道理,幫助學(xué)生理解第一次除后,剩下的1 個(gè)十和2 個(gè)一合起來(lái)繼續(xù)除的算理。在這個(gè)過(guò)程中,小棒圖起到兩個(gè)作用,首先是將抽象的算式變得直觀,將計(jì)算法則變得生動(dòng);其次,幫助不同層次的學(xué)生在認(rèn)知上找到“齊點(diǎn)”,明白這樣計(jì)算的道理,較好地掌握除法計(jì)算的基本法則。
先來(lái)看,我們認(rèn)數(shù)都是通過(guò)計(jì)數(shù)單位開(kāi)始,個(gè)、十、百、千、萬(wàn),那較大的數(shù)呢?即使是借助直觀的模型學(xué)生也很難感受到它的多少,也就是說(shuō)對(duì)于萬(wàn)以上數(shù),依靠幾何直觀來(lái)感受大小效果甚微。那如何建立大數(shù)的表象呢?
讓我們看《一億有多大》案例,先復(fù)習(xí)說(shuō)說(shuō),關(guān)于一億你知道多少?然后讓學(xué)生先數(shù)出100本練習(xí)本大約用了90 秒,然后推算:數(shù)1 萬(wàn)本大約要用100×90=9000(秒),數(shù)1億本大約要用9000×10000=90000000(秒),最后用計(jì)算器完成“秒”換算成“年”的運(yùn)算:90000000÷60÷60÷24÷365≈2.85(年)。
活動(dòng)結(jié)束后問(wèn)執(zhí)教者“一億有多大?”,說(shuō)不出所以然,最后只能用課本的舉例來(lái)回答。如:一億本練習(xí)本要數(shù)三年。那關(guān)于一億有多大,并沒(méi)有建立一定的表象。讓我們反思這節(jié)課,建立一億有多大的概念主要靠什么?對(duì),推算,就素養(yǎng)而言,你要對(duì)一億有感覺(jué),那只能靠推算獲得的一10000 個(gè)10000 是一億,也就是說(shuō)大數(shù)的理解要靠概念、靠推理而不是聯(lián)系情境了,因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)情境太大,難以構(gòu)成數(shù)量。
所以教學(xué)這節(jié)課,我們的立足點(diǎn)不能停留在通過(guò)活動(dòng)培養(yǎng)數(shù)感,而是讓學(xué)生感受真正的數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)不靠實(shí)驗(yàn),而是靠推理獲得,這才是數(shù)學(xué)真正的精髓,也是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征。這也是認(rèn)證推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面的典型課例,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上,如果我們的學(xué)生只相信眼見(jiàn)為實(shí),缺少抽象的推理能力,那他在數(shù)學(xué)這條道路上就很難走得遠(yuǎn)。
生活是知識(shí)的源泉。小學(xué)生數(shù)感的習(xí)得不是一蹴而就的,而是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程,這就需要我們抓住生活中的一切機(jī)會(huì),引導(dǎo)學(xué)生觀察生活,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,在生活的探究中尋求解決問(wèn)題的有效方法。也只有當(dāng)他們將所學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái),他們才能更好地理解知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)新教材創(chuàng)設(shè)了很多生活情境,我們要善于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)就存在于每個(gè)人的生活中,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待和理解日常生活中的問(wèn)題,習(xí)慣于用數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)感受生活、解決問(wèn)題,數(shù)感才能不斷得到提升和培養(yǎng)。讓我們?cè)跀?shù)的世界里徜徉,讓小學(xué)生的數(shù)感培養(yǎng)根植于日常的學(xué)習(xí)和生活中。