巧借數(shù)學(xué)知識(shí) 解答物理難題

摘 要：數(shù)學(xué)是一門典型的工具性學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)、思想與方法幾乎貫穿于所有理科課程的學(xué)習(xí)與研究，為學(xué)生邏輯思維與抽象思維的發(fā)展提供助力與支持.在初中物理解題中，教師可指導(dǎo)學(xué)生巧借數(shù)學(xué)知識(shí)來解答，幫助他們突出難題的障礙，文章通過列舉實(shí)例，分析如何巧借數(shù)學(xué)知識(shí)解答初中物理難題，以助學(xué)生提高解答物理難題的效率.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)知識(shí)；物理；難題

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）20-0083-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：許錚（1982.10-），男，福建省福州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中物理教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：2021年度福州市教育信息技術(shù)研究立項(xiàng)課題“教育信息化背景下初中跨學(xué)科協(xié)同教學(xué)模式研究”成果之一（課題編號(hào)：FZDJ2021A36）[FQ）]

數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)一切理科知識(shí)的基礎(chǔ)，主要研究常見的空間與數(shù)量關(guān)系，是解決理科類題目的一個(gè)不可或缺的有力工具［1］.

1 巧借平面幾何知識(shí)，順利解答物理難題

基于整體視角來看，數(shù)學(xué)知識(shí)包括幾何和代數(shù)兩個(gè)部分，初中時(shí)期以學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)為主，主要研究各種圖形的位置關(guān)系和空間形式，雖然較為淺顯，但是幾何圖形十分直觀和形象，能夠清晰明了地呈現(xiàn)信息.針對(duì)初中物理解題教學(xué)而言，當(dāng)碰到一些光學(xué)、力學(xué)方面的難題時(shí)，往往會(huì)涉及到分析圖形，這時(shí)教師可提示學(xué)生巧借平面幾何知識(shí)進(jìn)行分析和研究，使其在較短的時(shí)間內(nèi)就能夠找到準(zhǔn)確的解題思路，從而幫助他們順利處理掉難題［2］.

例1 結(jié)合透鏡成像規(guī)律能夠通過畫光路圖的方式來理解，已知在圖1中，光心位于O點(diǎn)位置，焦點(diǎn)是F，在圖2中，B′A′是物體AB經(jīng)過透鏡產(chǎn)生的像.（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中把兩條入射光線的出射光線畫出來，將整個(gè)凸透鏡成像光路圖完成；（2）在圖2中，假如物距u是BO，像距v是B′O，焦距f與OF相等，請(qǐng)結(jié)合幾何知識(shí)求證1f＝1u＋1v.

解析 針對(duì)第（1）問，學(xué)生在畫光路圖的時(shí)候要同時(shí)用到光學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)中的平面幾何知識(shí)；針對(duì)第（2）問，題目中已經(jīng)提示要運(yùn)用幾何相關(guān)知識(shí)證明等式成立，要用到平行和相似三角形等數(shù)學(xué)知識(shí).

具體解題方式如下：（1）結(jié)合光學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)平面幾何知識(shí)畫出如圖3所示的光路圖，即為凸透鏡成像的光路圖；（2）在三角形AA′C中，因?yàn)镺F∥AC，所以O(shè)FAC＝OA′A′A，結(jié)合合分比性質(zhì)可以得到OFAC－OF＝OA′A′A－OA′，即為OFAC－OF＝OA′A′A，依據(jù)RtΔABO∽R(shí)tΔA′B′O′得到OA′A′A＝OB′A′B′，則OFAC－OF＝OB′A′B′，結(jié)合物距u＝BO，像距v＝B′O，焦距f＝OF，代入后可以得到fu－f＝vu，則1f＝1u＋1v.

2 巧妙借用比例知識(shí)，高效解答物理難題

在初中物理教學(xué)中，不少物理量與公式都成比例形式，當(dāng)碰到部分難題時(shí)，教師可指導(dǎo)學(xué)生巧妙借用比值、比例知識(shí)進(jìn)行解析，找到自變量且?guī)氲焦街校Y(jié)合因變量存在的比例關(guān)系解決問題［3］.

例2 如圖4所示，如果該電路中電源電壓始終不變，當(dāng)開關(guān)S接通a時(shí)，電流表A1與A2的示數(shù)比為5：7，當(dāng)開關(guān)S接通b時(shí)，它們的示數(shù)比是3：4，請(qǐng)問電阻R2與R3的比是多少？

解析 當(dāng)開關(guān)S接不同的位置時(shí)兩個(gè)電流表示數(shù)的比值不一樣，根據(jù)題目中提供的條件，學(xué)生可以利用比例相關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算和轉(zhuǎn)化.

具體解題方式如下：當(dāng)開關(guān)S連接到a位置時(shí)，設(shè)電阻R1與R2的電流分別為I1和I2，結(jié)合題意可以得到I1I1+I2＝57，結(jié)合數(shù)學(xué)中的合分比性質(zhì)能夠得到I1I2＝52，即為R1R2＝25；當(dāng)開關(guān)S連接到b位置時(shí)，設(shè)電阻R1與R3的電流分別為I1和I3，同樣結(jié)合題意可以得到I1I1+I3＝34，同理得到I1I3＝31，即為R1R3＝13；根據(jù)比例的原理及性質(zhì)最終得出R2R3＝56.

3 巧妙使用方程知識(shí)，輕松解答物理難題

初中階段，教師可引領(lǐng)學(xué)生巧妙使用方程知識(shí)解答難題，先找出題目中存在的等量關(guān)系，再結(jié)合題意列出相應(yīng)的方程或方程組，使其通過對(duì)方程或方程組的求解得出未知參數(shù)，從而得到答案［4］.

例3 假如把兩個(gè)定值電阻R1與R2采用某種特殊方式接入到同一個(gè)電路當(dāng)中，電阻R1的電功率是12 W，然后改變方式繼續(xù)連接起來，仍然接入到之前電路中，此時(shí)電路中的總電流為9 A，電阻R1的電功率是108 W，請(qǐng)求出R1與R2的阻值大小.

解析 題干中給出兩種不同的定值電阻連接方式，學(xué)生可以分別找出其中的等量關(guān)系，據(jù)此建立出相應(yīng)的方程組，從而獲取未知數(shù)的值.

具體解題方式如下：結(jié)合題目信息知道定值電阻R1第一次的電功率是12 W，與第二次的108 W相比小很多，由此判斷出這兩個(gè)定值電阻第一次是串聯(lián)電路，第二次為并聯(lián)電路，在第一次連接中，結(jié)合串聯(lián)電路公式I＝UR1+R2，由此得到第一個(gè)方程（UR1+R2）2×R1＝12；在第二次連接中，由于電路之中總電流是9 A，根據(jù)歐姆定律可以列出方程U＝9R1R2R1+R2，且結(jié)合并聯(lián)電路列出方程U2R1＝108，聯(lián)立方程組，解方程組即可求出R1與R2的阻值大小.

4 巧借數(shù)形結(jié)合思想，科學(xué)解答物理難題

數(shù)形結(jié)合是一種極為重要的思想方法，不僅可以用來解答數(shù)學(xué)試題，還能夠應(yīng)用至物理

試題之中，揭示“數(shù)”與“圖形”之間的關(guān)系，將數(shù)量與圖形之間建立好對(duì)應(yīng)關(guān)系，從中找到解題的切入點(diǎn)［5］.

例4 如圖5，在這一電路中，電源兩端電壓是一個(gè)恒定值，閉合開關(guān)S后對(duì)滑動(dòng)變阻器進(jìn)行調(diào)節(jié)，從電流表與電壓表上獲得多組數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)軸上畫出U-I圖像，如圖6所示.

（1）結(jié)合圖像變化規(guī)律可知，在圖6中電壓表V2的讀數(shù)變化圖像應(yīng)是_______（A或B）；

（2）結(jié)合題中信息能夠求出電源兩端的電壓大小是_______V；

（3）請(qǐng)求出電阻R1的阻值大小是_______Ω；當(dāng)移動(dòng)滑動(dòng)變阻器時(shí)，當(dāng)它的阻值是_______Ω時(shí)，電流表的讀數(shù)是0.2 A.

解析 教師可提示學(xué)生基于數(shù)形結(jié)合思想切入，將題干中的文字描述同圖像相對(duì)照，讓他們找到解題的突破口.

具體解題方式如下：結(jié)合圖5可知，兩個(gè)電阻是串聯(lián)關(guān)系，電壓表V1、V2分別測(cè)量的是電阻R1與R2兩端的電壓，串聯(lián)電阻會(huì)把電源電壓分走，當(dāng)往左移動(dòng)滑動(dòng)變阻器的滑片時(shí)，電阻R2阻值變小，兩端電壓變大，電阻R1兩端電壓變小，電流表V1的示數(shù)增大，V2的示數(shù)減小，整個(gè)電路的電阻變小，電流增大；圖6中A表示電壓表V1的示數(shù)，B表示電壓表V2的示數(shù)，當(dāng)電流I＝0.1 A時(shí)，電壓表V1與V2的示數(shù)分別是2 V與4 V，則電源電壓是6 V；當(dāng)電流I=0.2 A時(shí)，電壓表V1和V2示數(shù)分別為4 V和2 V，根據(jù)歐姆定律得知滑動(dòng)變阻器接入電路部分的阻值R＝UI＝2 V0.2 A＝10Ω.

5 巧妙應(yīng)用逆向思維，合理解答物理難題

一些初中物理題目相對(duì)繁瑣復(fù)雜，通過常規(guī)的正向思考很難快速找到解題的關(guān)鍵線索，以致于陷入到困境之中，這時(shí)，初中物理教師可引導(dǎo)學(xué)生巧妙應(yīng)用逆向思維，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)變角度，使其從問題的反方向或者結(jié)論視角展開逆向思考，另辟蹊徑，迅速、準(zhǔn)確找到解題突破口，物理難題自然也就迎刃而解［7］.

例6 已知一輛裝滿貨物的大卡車總重量為35 000 N，它以10 m/s的速度勻速行駛在水平路面上，行駛10分鐘以后，這輛大卡車受到的阻力是3 000 N，那么在大卡車行駛的這10分鐘內(nèi)，發(fā)動(dòng)機(jī)所產(chǎn)生的牽引力對(duì)車的作用是多少？大卡車的功率是多大？

解析 處理這一難題時(shí)，教師提醒學(xué)生基于逆向視角切入，先使用距離公式S＝vt計(jì)算出這輛大卡車所行駛的總路程，再結(jié)合力的作用是相互的這一物理原理分析與計(jì)算，即可求出準(zhǔn)確結(jié)果.

具體解答方式如下：這輛大卡車在10分鐘內(nèi)行駛的路程為S＝vt＝10 m/s×600 s＝6 000 m，在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)根據(jù)“力的作用是相互的”可知大卡車受到的牽引力和阻力大小一樣，即為F＝f＝3 000 N，牽引力對(duì)大卡車所做的功W＝Fs＝3 000 N×6 000 m＝1.8×107J，則大卡車的功率P＝Wt＝30 000 W.

綜上所述，數(shù)學(xué)知識(shí)可應(yīng)用至初中物理解題中，教師需把握好數(shù)學(xué)知識(shí)與物理解題之間的密切關(guān)系與銜接之處.在平常解題教學(xué)中，要求學(xué)生除利用物理學(xué)科知識(shí)以外，還需考慮怎么巧借數(shù)學(xué)知識(shí)展開解題，使其靈活使用數(shù)學(xué)思維解答物理難題，逐步提高他們的物理解題能力.

參考文獻(xiàn)：［1］ 吳建春.數(shù)學(xué)定理在初中物理解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2022（11）：107-109.

［2］ 劉鵬.摭談數(shù)學(xué)知識(shí)在初中物理解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（04）：45-47.

［3］ 張傳啟.數(shù)學(xué)思維在初中物理解題中的運(yùn)用［J］.理科愛好者（教育教學(xué)），2021（06）：64-65.

［4］ 徐璇璇.數(shù)學(xué)思維在初中物理解題中的方法探析［J］.數(shù)理化解題研究，2021（26）：86-87.

［5］ 柏兆明.數(shù)學(xué)知識(shí)在初中物理解題中的運(yùn)用［J］.科普童話，2020（01）：20.

［6］ 肖會(huì)清.淺談數(shù)學(xué)知識(shí)在初中物理解題中運(yùn)用［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師通訊），2020（01）：69.

［責(zé)任編輯：李 璟］