分布未知情形下基于Burr近似的VSSI EWMA圖多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

王海宇, 王小寧

(鄭州大學(xué) 商學(xué)院, 鄭州 450001)

指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均(exponential weighted moving average,EWMA)控制圖作為統(tǒng)計(jì)過程控制(statistical process control,SPC)的一種重要工具,長(zhǎng)期以來在機(jī)械、化工、電子等制造領(lǐng)域及醫(yī)療、銀行、餐飲等服務(wù)領(lǐng)域的過程質(zhì)量控制中得到廣泛應(yīng)用[1-2]。為提高EWMA圖對(duì)過程中異常中小幅偏移的監(jiān)控效率,Saccucci等[3]引入動(dòng)態(tài)控制思想,構(gòu)造可變抽樣間隔(variable sampling interval,VSI)EWMA)圖,相較固定抽樣間隔EWMA圖能更快監(jiān)測(cè)過程異常偏移;Reynolds和Arnold[4]進(jìn)一步構(gòu)造監(jiān)控效果更好的可變樣本容量和抽樣間隔(variable sample size and sampling interval,VSSI)EWMA圖;Khoo等[5]分析了正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)對(duì)VSI EWMA圖監(jiān)控效率的影響;Tran等[6]研究了測(cè)量誤差對(duì)VSI EWMA圖的影響并提出存在測(cè)量誤差時(shí)控制圖設(shè)計(jì)方法;Haq和Khoo[7]構(gòu)建并比較了VSI、VSS、VSSI等動(dòng)態(tài)策略與MEWMA圖相結(jié)合的多元正態(tài)分布過程質(zhì)量監(jiān)控方法。這些研究都建立在統(tǒng)計(jì)總體服從正態(tài)分布的基礎(chǔ)上,而實(shí)際生產(chǎn)的復(fù)雜性常致此假設(shè)不滿足,在很多快速響應(yīng)多變市場(chǎng)需求的生產(chǎn)過程中,過程分布甚至是未知的,此時(shí)若仍采用傳統(tǒng)控制圖將影響監(jiān)控效果[8-9]。當(dāng)質(zhì)量觀測(cè)值不滿足正態(tài)假設(shè)時(shí),易據(jù)少量歷史數(shù)據(jù)獲得偏峰度信息,由此考慮使用Burr分布近似未知分布進(jìn)行研究[10-11]。

上述對(duì)動(dòng)態(tài)EWMA圖的研究主要考慮監(jiān)控效率,即統(tǒng)計(jì)性,還有些研究從質(zhì)量成本角度對(duì)控制圖進(jìn)行經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)。Sultana等[12]結(jié)合田口損失函數(shù)和預(yù)防維修策略對(duì)VSI EWMA圖進(jìn)行經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì);張艷等[13]分情況討論不同系統(tǒng)更新策略情景,聯(lián)合預(yù)防維修策略建立VSSI EWMA圖的經(jīng)濟(jì)優(yōu)化模型;薛麗和何楨[14]針對(duì)質(zhì)量特性總體服從二項(xiàng)分布的情況研究VSI EWMA圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)等。事實(shí)上,在控制圖優(yōu)化設(shè)計(jì)中,統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)過于注重誤報(bào)漏報(bào)率的降低,往往致更高質(zhì)量成本;經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)過于強(qiáng)調(diào)降低成本,致統(tǒng)計(jì)監(jiān)控效率低下,二者應(yīng)統(tǒng)籌兼顧。因此,本文利用Burr分布近似未知分布構(gòu)造可變抽樣策略EWMA控制圖,將統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)性同作為目標(biāo)函數(shù),構(gòu)造VSSI EWMA圖的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。

1 Burr分布

式中:c和q為不小于1的常數(shù)。若隨機(jī)變量X和Burr分布變量Y的偏度和峰度系數(shù)相等,則兩者可相互轉(zhuǎn)化。根據(jù)變量X的偏峰度系數(shù),通過Burr列表(表1)對(duì)應(yīng)具體c、q值,即為不同的Burr分布函數(shù),通過列表還可以得到不同c、q值下Burr分布的均值M和標(biāo)準(zhǔn)差S。進(jìn)而,變量X和Burr變量Y之間存在轉(zhuǎn)換關(guān)系:

表1 不同(c,q)對(duì)應(yīng)Burr分布的參數(shù)值

即X=59.92Y+4.71,其中Y服從參數(shù)為(c,q)=(10,10)的Burr分布。

受篇幅限制,表1僅列舉6種(c、q)組合的Burr分布,涵蓋了左偏、對(duì)稱和右偏分布,其中(c,q)=(10,10)對(duì)應(yīng)左偏分布;(c,q)=(7,3)和(10,2)對(duì)應(yīng)對(duì)稱分布;(c,q)=(3,6)、(2,4)、(1,11)對(duì)應(yīng)右偏分布,更多Burr分布對(duì)應(yīng)參數(shù)可參考文獻(xiàn)[15]。

2 分布未知情況下VSSI EWMA圖

式中:Z0=μ0;λ為控制圖的平滑系數(shù),0<λ≤1?？刂茍D上下控制限和警戒限為

UCL=μ+kσZ,UWL=μ+wσZ

(7)

LCL=μ-kσZ,LWL=μ-wσZ

(8)

3 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

為了兼顧控制圖的統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)性,分別將平均產(chǎn)品長(zhǎng)度(average product length,APL)和單位產(chǎn)品平均質(zhì)量成本作為性能評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化,二者具體計(jì)算方法如下。

3.1 APL的計(jì)算

APL是指從過程發(fā)生異常偏移到該偏移被控制圖發(fā)現(xiàn)期間內(nèi)過程生產(chǎn)的平均產(chǎn)品數(shù),它能比ARL、ATS等常見動(dòng)態(tài)EWMA圖統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)更精確度量控制圖監(jiān)控效率[17]。下面給出Burr近似未知分布時(shí),利用馬爾可夫鏈計(jì)算控制圖APL的具體做法。

將統(tǒng)計(jì)量Zi作標(biāo)準(zhǔn)化變換之后,控制圖受控域?yàn)閇LCL′,UCL′]=[-k,k],將受控域等分為2m+1個(gè)寬度為d的子區(qū)間,其中

第l個(gè)子區(qū)間的中心位置為

式中:I為單位陣;τ為2m+1維全為1的列向量;R為(2m+1)×(2m+1)矩陣,其元素pjk表示過程從狀態(tài)j到狀態(tài)k的一步轉(zhuǎn)移概率:

(12)

ARL0=pint(I-R)-1τ

(13)

式中:pint為2m+1維初始行向量,過程開始于受控態(tài),第m+1個(gè)元素為1,其余為0。

令向量u=(u1,u2,…,u2m+1),向量v=(v1,v2,…,v2m+1),當(dāng)Z′i落在警戒域I1時(shí),選擇ui=n2,vi=h1;當(dāng)Z′i落在中心域I2時(shí),選擇ui=n1,vi=h2;令向量γ=(u1+v1,v2+u2,…,v2m+1+u2 m+1),受控狀態(tài)下平均產(chǎn)品長(zhǎng)度為

APL0=pint(I-R)-1γ′

(14)

受控狀態(tài)下平均樣本容量E0(n)和平均抽樣間隔E0(h)分別為

按照類似方法[18]可計(jì)算得到失控狀態(tài)下ARL1、APL1、E1(n)、E1(h)。

3.2 單位產(chǎn)品平均質(zhì)量成本的計(jì)算

將單位產(chǎn)品質(zhì)量成本,即一個(gè)質(zhì)量周期內(nèi)的總質(zhì)量成本除以生產(chǎn)的總產(chǎn)品數(shù),作為VSSI EWMA圖經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)。一個(gè)質(zhì)量周期是指從過程生產(chǎn)開始到出現(xiàn)異常波動(dòng),再到發(fā)現(xiàn)并消除生產(chǎn)異常的一個(gè)完整周期,如圖1所示?？刂茍D相關(guān)經(jīng)濟(jì)參數(shù)見表2。

圖1 質(zhì)量周期圖

表2 控制圖經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)相關(guān)參數(shù)含義

一般過程受控時(shí)長(zhǎng)服從均值為1/θ的指數(shù)分布,一個(gè)質(zhì)量周期內(nèi)過程生產(chǎn)的平均總產(chǎn)品數(shù)期望PA為

在田口損失函數(shù)下,受控和失控時(shí)單位時(shí)間產(chǎn)生質(zhì)量成本分別為

C0=Kσ02ρ,C1=K(1+δ2)σ02ρ

(17)

一個(gè)質(zhì)量周期內(nèi)的總質(zhì)量成本主要是指受控和失控時(shí)質(zhì)量成本、錯(cuò)誤報(bào)警成本、抽樣檢測(cè)作圖成本、查找和消除異因成本等,具體為[18]

(18)

控制圖的統(tǒng)計(jì)經(jīng)濟(jì)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)具體是指通過確定決策變量組合Ω=(n1,n2,h1,h2,K,w,λ)取值,使控制圖在受控平均產(chǎn)品長(zhǎng)度APL0不小于一個(gè)足夠大的定值B的前提下,失控平均產(chǎn)品長(zhǎng)度APL1和單位產(chǎn)品質(zhì)量成本C同時(shí)最小化,實(shí)現(xiàn)控制圖監(jiān)控效率和成本控制的最優(yōu)。因此,其多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型可表示為

4 算例分析

假設(shè)煉鋼過程中需要進(jìn)行質(zhì)量控制的某化學(xué)成分服從分布未知,由收集到的穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)段的50個(gè)數(shù)據(jù)觀測(cè)值計(jì)算得到的偏度系數(shù)α3和峰度系數(shù)α4分別為-0.518 7和3.462 1,均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.759 9和0.094 8。通過查表,該未知分布可用c=10,q=10的Burr分布近似,采用VSSIEWMA未知分布圖對(duì)其進(jìn)行監(jiān)控。有關(guān)參數(shù)設(shè)置說明如下:

1)鑒于文獻(xiàn)[19]中對(duì)EWMA圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)的綜合研究,參考文中經(jīng)濟(jì)參數(shù)設(shè)置:K=1,ρ=300個(gè)/h,θ=0.02,D=0.25h,T1=T2=2h,γ1=1,γ2=0,F=300美元,W=900美元,a=5美元,b=0.5美元。

2)考慮生產(chǎn)過程實(shí)際,決策變量組合Ω=(n1,n2,h1,h2,K,w,λ)取值范圍為[10,50;1,50;5,150;1,150;0,4;0,4;0,1],其中樣本容量n表示每次抽取產(chǎn)品的個(gè)數(shù),其直接關(guān)系到抽樣成本的大小,因而不宜過大,均設(shè)置在50以內(nèi)進(jìn)行最優(yōu)解的搜索;抽樣間隔h表示每次抽樣和下一次抽樣之間的間隔期間內(nèi)生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù),根據(jù)生產(chǎn)效率設(shè)置在0.5h以內(nèi)進(jìn)行最優(yōu)解的搜索;控制限系數(shù)k、警戒限系數(shù)一般設(shè)置不大于4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差,平滑系數(shù)λ全域搜索區(qū)間為0～1。

3)在MATLAB(R2016a)環(huán)境下采用NSGA-Ⅱ遺傳算法對(duì)模型求解,具體控制參數(shù)為:種群規(guī)模N=60,交叉概率Pc=0.9,變異概率Pm=0.2,迭代次數(shù)G=500,子區(qū)間分割數(shù)m=20,能夠在保證最優(yōu)解集的同時(shí)以較快的速度進(jìn)行程序運(yùn)行。

4)為保證受控狀態(tài)時(shí)較少出現(xiàn)虛發(fā)報(bào)警,受控狀態(tài)下的平均運(yùn)行長(zhǎng)度要盡可能大,這里取APL0≥B=5 000和10 000,對(duì)偏移程度δ=1、2、3進(jìn)行監(jiān)控,其非劣解解集形成的帕累托前沿如圖2所示。

圖2 不同偏移量對(duì)應(yīng)的帕累托前沿

針對(duì)B值和偏移量δ的不同取值各得到60組非劣解,通過取整和近似解合并,表3展示了不同組合下的各3組非劣解。

表3 (c,q)=(10,10)近似下多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的非劣解解集

由表3,樣本容量n1的取值與單位質(zhì)量成本C成正相關(guān)關(guān)系,與失控APL1成負(fù)相關(guān)關(guān)系,樣本容量越大,抽樣檢測(cè)作圖成本隨之變大,故而單位成本C越大;抽樣間隔h2和h1與單位質(zhì)量成本C成負(fù)相關(guān)關(guān)系,與失控APL1成正相關(guān)關(guān)系,抽樣間隔越大,抽樣比例越小,故而單位成本C越小?？刂葡尴禂?shù)k,警戒限系數(shù)w對(duì)單位質(zhì)量成本和失控APL1的影響不是很大,參數(shù)整體變化都較小,隨抽樣容量和抽樣間隔變化實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)整。對(duì)于同一偏移程度δ,平滑系數(shù)λ在不同優(yōu)化設(shè)計(jì)方案之間的取值波動(dòng)較大,但總體仍隨偏移δ增大而增大,這與EWMA控制圖的設(shè)計(jì)原理相吻合。

5 靈敏度分析

對(duì)控制圖優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的3個(gè)關(guān)鍵參數(shù):損失函數(shù)系數(shù)K、抽樣可變成本b、過程受控時(shí)長(zhǎng)服從指數(shù)分布的參數(shù)θ進(jìn)行靈敏度分析。取B=5 000,δ=1,其他參數(shù)取值不變,將這3個(gè)參數(shù)的取值在其原值上增加20%、50%,進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,得到的帕累托前沿,如圖3所示。

圖3 不同參數(shù)對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響

由圖3(a)可知,K的改變對(duì)控制圖優(yōu)化解有明顯影響,參數(shù)K越大,質(zhì)量損失也就越大,單位產(chǎn)品質(zhì)量成本C隨之增大;由圖3(b)可知,b對(duì)控制圖優(yōu)化解影響顯著,參數(shù)b越大,控制圖抽樣成本越高,單位產(chǎn)品質(zhì)量成本C隨之也越大,而當(dāng)b大到一定程度,優(yōu)化設(shè)計(jì)傾向于減小樣本容量,容易導(dǎo)致APL1也增大;由圖3(c)可知,θ對(duì)控制圖優(yōu)化解影響較為顯著,隨參數(shù)θ增大,過程處于受控狀態(tài)的時(shí)間逐漸減小,質(zhì)量周期平均長(zhǎng)度縮短,單位成本C也逐漸增大。

6 比較分析

圖4 4種優(yōu)化設(shè)計(jì)方案結(jié)果比較

在圖4中,V-MOD曲線始終處于F-MOD曲線的左下側(cè),對(duì)任意F-MOD多目標(biāo)優(yōu)化解總會(huì)在V-MOD曲線中找到相對(duì)更優(yōu)點(diǎn),要么APL1更小,要么C更小,要么兩者都更小,綜合來看,動(dòng)態(tài)多目標(biāo)設(shè)計(jì)在統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)兩方面相較靜態(tài)設(shè)計(jì)都更優(yōu)越。且由圖可知,靜態(tài)EWMA圖多目標(biāo)設(shè)計(jì)的解集較為集中,而VSSIEWMA圖多目標(biāo)設(shè)計(jì)的解集更分散,其解集也更多元化,能夠給質(zhì)量工程師提供更多的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)選擇。

V-SD的單一最優(yōu)解在圖4中始終處在V-MOD曲線右下側(cè),且距離較遠(yuǎn),在同等統(tǒng)計(jì)特性條件下,V-MOD的成本要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于V-SD統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì),且在V-MOD曲線上也存在統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)性能均優(yōu)于V-SD設(shè)計(jì)的點(diǎn),故而在未知分布總體下,利用Burr分布近似法構(gòu)建的動(dòng)態(tài)VSSIEWMA多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)在統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)兩方面都顯著優(yōu)于VSSIEWMA統(tǒng)計(jì)性設(shè)計(jì),且優(yōu)勢(shì)較為明顯。

同樣,在圖4中,V-ED的最優(yōu)解都位于V-MOD帕累托前沿向上延伸的遠(yuǎn)端,V-ED的最優(yōu)解具有較低的質(zhì)量成本,但監(jiān)測(cè)異常偏移的效率卻明顯較差,而在質(zhì)量成本相同條件下,V-MOD非劣解的統(tǒng)計(jì)性能顯著優(yōu)于V-ED的最優(yōu)解。關(guān)于4種控制圖方法的最優(yōu)解的詳細(xì)比較見表4、表5。

表4 動(dòng)態(tài)VSSI EWMA和靜態(tài)EWMA圖多目標(biāo)設(shè)計(jì)的結(jié)果比較

通過4種控制圖方法的詳細(xì)比對(duì)可知,在過程分布未知時(shí),利用Burr近似法提出的優(yōu)化方案在統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)性能上都要顯著優(yōu)于其他3種方案。

7 結(jié)論

針對(duì)過程分布未知的情形,構(gòu)建了基于Burr近似的VSSI EWMA控制圖,為避免控制圖單一統(tǒng)計(jì)性設(shè)計(jì)和單一經(jīng)濟(jì)性設(shè)計(jì)導(dǎo)致的質(zhì)量成本過高或統(tǒng)計(jì)監(jiān)控效率過低等弊端,將失控APL和單位產(chǎn)品質(zhì)量成本同時(shí)作為目標(biāo)函數(shù),對(duì)VSSI EWMA圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)經(jīng)濟(jì)多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì),并通過具體算例分析和靈敏度分析證明了所提出優(yōu)化方案的有效性和穩(wěn)健性。最后通過與幾種EWMA控制圖設(shè)計(jì)方案相比較,證明該設(shè)計(jì)方案在統(tǒng)計(jì)和經(jīng)濟(jì)性能兩方面都具有較好表現(xiàn),能夠?yàn)槲粗植歼^程的監(jiān)控提供一種簡(jiǎn)單有效的方法。