高等數(shù)學(xué)混合式教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐
——以離散型第二個(gè)重要極限為例

王鋒葉，黃元元，李靈曉

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南 洛陽(yáng) 471000）

高等數(shù)學(xué)是非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)理工科學(xué)生的一門(mén)必修基礎(chǔ)課，它是學(xué)生后繼專(zhuān)業(yè)課的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生的邏輯思維、演繹思維、歸納思維等數(shù)學(xué)思維方法的培養(yǎng)以及研究問(wèn)題能力的提高非常重要?；旌鲜浇虒W(xué)是一種將傳統(tǒng)教學(xué)與網(wǎng)絡(luò)化教學(xué)結(jié)合的教學(xué)模式，在學(xué)習(xí)過(guò)程中凸顯學(xué)生的主體性與教師的引導(dǎo)性。第二個(gè)重要極限是高等數(shù)學(xué)中函數(shù)、極限和連續(xù)這一章非常有用的極限之一[1]，利用它可計(jì)算一些特殊未定式的極限，它在實(shí)際生活中也有相應(yīng)的應(yīng)用，比如銀行復(fù)利模型、設(shè)備折舊問(wèn)題、元素衰變模型等等。文章以離散型第二個(gè)重要極限的講授為例，結(jié)合銀行復(fù)利模型，給出在高等數(shù)學(xué)中實(shí)施混合式教學(xué)的課程設(shè)計(jì)思路。

1 教學(xué)目標(biāo)和設(shè)計(jì)思路

教育部印發(fā)了《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，要求通過(guò)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)、價(jià)值塑造三位一體的教學(xué)目標(biāo)[2]。我們針對(duì)第二個(gè)重要極限的主要內(nèi)容制訂了如下教學(xué)目標(biāo)：在知識(shí)目標(biāo)上，讓學(xué)生掌握第二個(gè)重要極限的理論推導(dǎo)，知道第二個(gè)重要極限的極限結(jié)構(gòu)，會(huì)利用第二個(gè)重要極限求解一些具有相同結(jié)構(gòu)的數(shù)列極限；在能力目標(biāo)上，通過(guò)案例式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的知識(shí)遷移能力；在思政目標(biāo)上，結(jié)合數(shù)學(xué)文化中數(shù)學(xué)家的事例和教學(xué)中的案例，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀。

根據(jù)《教育部關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見(jiàn)》，課程設(shè)計(jì)要求具有高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度[3]。針對(duì)具體教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)設(shè)計(jì)思路為：采用混合式教學(xué)方式，通過(guò)課前、課中和課后的多元教學(xué)活動(dòng)，調(diào)動(dòng)師生、生生互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生為學(xué)習(xí)的主體；在教學(xué)方法上，采用案例式和啟發(fā)式教學(xué)，融合信息化技術(shù)，從易到難，從直觀到理論，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)；在案例選擇上，采用與學(xué)生生活息息相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，通過(guò)解決問(wèn)題增強(qiáng)學(xué)生的成就感；在內(nèi)容設(shè)計(jì)上，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的高階性和挑戰(zhàn)度，通過(guò)課后環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)課堂內(nèi)容的創(chuàng)新性遷移。教學(xué)設(shè)計(jì)思路大致概況見(jiàn)圖1。

圖1 教學(xué)設(shè)計(jì)思路圖

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 課前

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)課前任務(wù)單，目標(biāo)是讓學(xué)生具備學(xué)習(xí)新知識(shí)的理論基礎(chǔ)，對(duì)新知識(shí)有大致了解，明確重難點(diǎn)，讓學(xué)生做到有的放矢。課前任務(wù)單為：復(fù)習(xí)單調(diào)有界準(zhǔn)則，預(yù)習(xí)第二個(gè)重要極限，觀看證明其極限存在的視頻；查找資料，了解何為銀行單利和復(fù)利；結(jié)合數(shù)學(xué)史，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)家歐拉的認(rèn)識(shí)。為了讓學(xué)生對(duì)新知識(shí)有初步的了解，課前指出課程的重難點(diǎn)：重點(diǎn)是第二個(gè)重要極限及其應(yīng)用，難點(diǎn)是第二個(gè)重要極限的應(yīng)用。

教師通過(guò)主題討論的教學(xué)活動(dòng)檢查學(xué)生的預(yù)習(xí)情況。利用學(xué)習(xí)通后臺(tái)的學(xué)情統(tǒng)計(jì)，實(shí)時(shí)有效地掌握學(xué)生課前任務(wù)單的完成情況，并通過(guò)平臺(tái)督促提醒學(xué)生按時(shí)完成課前任務(wù)。

2.2 課中

2.2.1 問(wèn)題引入

首先，教師結(jié)合課前關(guān)于銀行復(fù)利的主題討論，讓學(xué)生展示個(gè)性化學(xué)習(xí)結(jié)果，調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)的自信心。提出問(wèn)題：何為銀行復(fù)利？銀行復(fù)利如何計(jì)算？教師通過(guò)隨機(jī)選人，讓學(xué)生總結(jié)出復(fù)利是一種計(jì)息方式，就是把利息計(jì)入本金中重復(fù)計(jì)息，即“錢(qián)生錢(qián)”“利滾利”。學(xué)生具備了理論基礎(chǔ)，給出生活實(shí)例中的一個(gè)簡(jiǎn)單貸款問(wèn)題，具體問(wèn)題為：向借貸公司借了1 萬(wàn)元，年利率是100%，1 年后要還的本息和是多少？拋出問(wèn)題，讓學(xué)生覺(jué)得所學(xué)知識(shí)是有用且是有趣，激發(fā)其學(xué)習(xí)欲望。

2.2.2 分析問(wèn)題，建立模型

利用復(fù)利分析以下問(wèn)題，如借貸公司1 年后結(jié)息，1 年后要還的本息和是多少？如借貸公司一年結(jié)2 次息，1 年后要還的本息和是多少？如果借貸公司1 年結(jié)3 次息，1年后要還的本息和又是多少？如果1 年結(jié)4 次、5 次，甚至n 次息，要還的本息和是多少？

教師通過(guò)隨機(jī)選人、學(xué)生搶答等方式，讓學(xué)生從簡(jiǎn)單到一般、循序漸進(jìn)地接受以下兩點(diǎn)：實(shí)例中本息和的表示形式，復(fù)利產(chǎn)生的真實(shí)效應(yīng)。比如，如果借貸公司1 年結(jié)兩次息，1 年后的本息和公式是什么？其中前半年的利息是多少？后半年的利息是多少？讓學(xué)生能總結(jié)出，隨著結(jié)息次數(shù)增多，要還的本息和增多。讓學(xué)生發(fā)問(wèn)，如果結(jié)息次數(shù)無(wú)限增多，本息和是否也無(wú)限增多？

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，討論n 趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列{xn}的極限是否存在，其中xn=(1+1/n)n，引出第二個(gè)重要極限。

2.2.3 解決問(wèn)題

首先，借助可視化軟件呈現(xiàn)隨著n 的增大，本息和的數(shù)值變化情況。讓學(xué)生從直觀觀察到理論推導(dǎo)的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探究式學(xué)習(xí)。通過(guò)學(xué)生搶答或隨機(jī)選人等教學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生總結(jié)出，數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增的，且增長(zhǎng)速度前快后慢。分析出實(shí)例中要還的錢(qián)不會(huì)無(wú)限增大。

然后，利用可視化軟件呈現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的變化趨勢(shì)，通過(guò)搶答或隨機(jī)選人的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，動(dòng)點(diǎn)在向一個(gè)常數(shù)無(wú)限逼近，且動(dòng)點(diǎn)都在直線y=3 的下方，說(shuō)明數(shù)列{xn}有上界，從而分析出實(shí)例中要還的錢(qián)永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)3萬(wàn)元。引導(dǎo)學(xué)生利用復(fù)習(xí)的單調(diào)有界準(zhǔn)則，分析并得出數(shù)列{xn}的極限存在，從而提高學(xué)生的邏輯推理能力。

當(dāng)學(xué)生以為問(wèn)題已經(jīng)解決時(shí)，教師及時(shí)提出，觀察不能代替證明，要具有說(shuō)服力，必須證明。讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性。

2.2.4 核心知識(shí)講解

首先，結(jié)合預(yù)習(xí)單中視頻的觀看，通過(guò)分組討論的教學(xué)活動(dòng)完成數(shù)列{xn}極限存在的證明。具體討論的主題是，總結(jié)預(yù)習(xí)單視頻中數(shù)列{xn}極限存在的證明過(guò)程，其中單調(diào)性的證明你還有其他方法嗎？目的是讓學(xué)生能理解極限存在性的證明思路。

由于學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)在目前只能解決第二個(gè)重要極限是存在的，還解決不了其極限值就是無(wú)理數(shù)e，所以，教師結(jié)合數(shù)學(xué)家歐拉的研究介紹該極限值，并將歐拉孜孜不倦、勤奮探索的科學(xué)精神融入課程教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的人生觀和價(jià)值觀。

然后，分析第二重要極限的極限結(jié)構(gòu)。教師通過(guò)課堂搶答或隨機(jī)選人的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生分析出第二個(gè)重要極限是一個(gè)什么形式的未定式？在底上出現(xiàn)的無(wú)窮小1/n與指數(shù)的無(wú)窮大n 形式上有什么聯(lián)系？通過(guò)觀察，讓學(xué)生總結(jié)出第二個(gè)重要極限是1∞型的未定式，無(wú)窮小1/n 與無(wú)窮大n 互為倒數(shù)。

進(jìn)一步，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，如果a也是無(wú)窮大，那么，數(shù)列(1+1/a)a的極限是多少？教師通過(guò)變量代換推導(dǎo)出與數(shù)列{xn}的極限相等，也等于無(wú)理數(shù)e。

最后，教師詳細(xì)解釋?xiě)?yīng)用第二個(gè)重要極限如何求1∞型的數(shù)列極限，并通過(guò)隨堂練習(xí)提高學(xué)生對(duì)第二個(gè)重要極限的應(yīng)用能力。

2.2.5 學(xué)以致用

應(yīng)用第二個(gè)重要極限解決一般貸款問(wèn)題。教師將引例由易到難，啟發(fā)學(xué)生分析復(fù)雜問(wèn)題。

基于引例中1 年后要還的本息和不會(huì)無(wú)限增多，教師讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際思考，是否可以任意貸款，不管貸多少錢(qián)，多少年。通過(guò)以下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)式探討，如果貸款額為A0元，年利率為r，1 年結(jié)n 次息，1 年后要還的本息和是多少？如果其他條件不變，問(wèn)k年后要還的本息和是多少？如果每時(shí)每刻都結(jié)息，問(wèn)k年后要還的本息和是多少？最終問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列A0(1+r/n)nk的極限，通過(guò)變量代換a=n/r，利用第二個(gè)重要極限可知結(jié)果為A0erk。

教師總結(jié)分析：①k年后連續(xù)復(fù)利的本息和與n無(wú)關(guān)，這就說(shuō)明本息和不會(huì)隨著計(jì)息次數(shù)的增多而無(wú)限增大，但是它和貸款額、利率和時(shí)間都是有關(guān)系的。

②當(dāng)貸款額和利率不變時(shí)，利用可視化軟件呈現(xiàn)本息和隨著時(shí)間k 的變化趨勢(shì)。引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，本息和剛開(kāi)始增長(zhǎng)緩慢，但后面本息和呈爆炸式指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。這就是“利滾利”生成的復(fù)利效應(yīng)，這個(gè)模型就是指數(shù)增長(zhǎng)模型。該模型還可用于細(xì)菌繁殖、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問(wèn)題。

③通過(guò)模型分析可知，切勿隨意貸款。切入課程思政，提醒學(xué)生遠(yuǎn)離網(wǎng)絡(luò)貸和校園貸。短期貸款好像還的錢(qián)不多，但長(zhǎng)期積累特別是還不了利息后，要還的錢(qián)是指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，教育學(xué)生警惕貸款背后的可怕陷阱，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的消費(fèi)觀。

2.2.6 小結(jié)和討論

教師總結(jié)課堂教學(xué)思路，讓學(xué)生從宏觀上掌握課程脈絡(luò)，并提示學(xué)生短期貸款和長(zhǎng)期貸款問(wèn)題都是銀行復(fù)利問(wèn)題，再次強(qiáng)調(diào)課程的重、難點(diǎn)。

為培養(yǎng)學(xué)生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)并感悟數(shù)學(xué)的能力，教師課下通過(guò)主題討論的教學(xué)形式引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際繼續(xù)探討連續(xù)復(fù)利問(wèn)題。具體討論主題為：觀察復(fù)利公式（1+0.01）365≈37.78，1365=1，（1-0.01）365≈0.00255，從每天進(jìn)步或退步一點(diǎn)的角度，結(jié)合生活與學(xué)習(xí)，談?wù)勔陨鲜阶訉?duì)你的啟發(fā)。

2.3 課后

課堂教學(xué)結(jié)束后，教師利用學(xué)習(xí)通平臺(tái)發(fā)布教學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生總結(jié)與提高。通過(guò)主題討論幫助學(xué)生自我總結(jié)課堂內(nèi)容，具體內(nèi)容為，這節(jié)課學(xué)到了什么？關(guān)于這節(jié)課學(xué)到的極限都知道些什么？怎么應(yīng)用這節(jié)課學(xué)到的極限？

為了鞏固課堂效果，教師通過(guò)題庫(kù)進(jìn)行在線測(cè)試，提高學(xué)生利用第二個(gè)重要極限的解題能力，強(qiáng)化學(xué)生的解題技巧。

課后拓展指數(shù)增長(zhǎng)模型，如果r<0，稱(chēng)之為指數(shù)衰減模型，該模型可用于元素衰變、設(shè)備折舊等問(wèn)題。討論區(qū)教師引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題：已知一種放射性物質(zhì)，其每年的連續(xù)復(fù)合衰變率是100%，求10kg 的該物質(zhì)經(jīng)過(guò)一年衰變后還剩多少？[4]

3 教學(xué)總結(jié)

本課程采用混合式的教學(xué)模式，通過(guò)學(xué)習(xí)通平臺(tái)的多元化教學(xué)活動(dòng)，師生充分互動(dòng)，教師時(shí)時(shí)有效地掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，從而發(fā)揮混合式教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)課程中的優(yōu)勢(shì)。教師通過(guò)有趣、有用的數(shù)學(xué)應(yīng)用案例吸引學(xué)生的注意力，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題并解決問(wèn)題，將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，培養(yǎng)了學(xué)生知識(shí)遷移的建模能力，從而讓學(xué)生通過(guò)課程學(xué)習(xí)感受到能力與素質(zhì)提高的成就感。在分析問(wèn)題中，教師借助可視化軟件輔助教學(xué)，通過(guò)直觀圖形幫助學(xué)生分析問(wèn)題，將現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合。另外，在教學(xué)中，教師引入數(shù)學(xué)文化，鹽融于水式地開(kāi)展課程思政，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，并結(jié)合案例提醒學(xué)生遠(yuǎn)離網(wǎng)絡(luò)貸款，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的價(jià)值觀和消費(fèi)觀，將知識(shí)傳授與價(jià)值引領(lǐng)相統(tǒng)一。