開(kāi)展推理教學(xué)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力

［摘? 要］ 推理能力培養(yǎng)應(yīng)貫穿整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。研究者以“3的倍數(shù)特征”為例，讓學(xué)生充分經(jīng)歷推理過(guò)程，感受推理方法和推理原理的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)課堂濃濃的“數(shù)學(xué)味”。

［關(guān)鍵詞］ 推理能力；數(shù)學(xué)理解；真實(shí)發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)是什么？有人這樣說(shuō)：當(dāng)學(xué)生離開(kāi)學(xué)校，把學(xué)校學(xué)的東西忘記之后所剩下的那部分才是真的數(shù)學(xué)教學(xué)。聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)“玄”，但是真正思考之后就會(huì)發(fā)現(xiàn)的確如此。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重學(xué)生推理能力培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)真實(shí)的理解。

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是實(shí)際生活中經(jīng)常使用的思維方式。雖然在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有明確給出推理的定義，但是教材安排了豐富的、有關(guān)推理的教學(xué)內(nèi)容，以突出推理的重要價(jià)值。學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)往往會(huì)經(jīng)歷抽象、推理，最后才形成模型。抽象是學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，推理才是學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解在思維中的發(fā)展，模型是知識(shí)在思維中最終形成的圖式。通過(guò)對(duì)這三階段的分析，可以看出在課堂中開(kāi)展推理教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的真實(shí)發(fā)展，教師應(yīng)重視在推理教學(xué)中學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力？筆者以五年級(jí)“3的倍數(shù)特征”的教學(xué)為例，提出幾點(diǎn)思考。

一、經(jīng)歷推理過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力

在眾多研究中大家一致認(rèn)為：能進(jìn)行推理是理解數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，推理與證明密不可分，數(shù)學(xué)證明則是一種表達(dá)特定推理過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)方法。推理可以分為合情推理和演繹推理，兩者各具優(yōu)點(diǎn)。而合情推理是歸納推理、類比推理等的特稱。每個(gè)學(xué)生的推理能力不同，皮亞杰的兒童發(fā)展理論提到：兒童的發(fā)展是自發(fā)的，而學(xué)習(xí)一定是激發(fā)的。小學(xué)生的推理能力的發(fā)展如果僅僅依靠自然發(fā)展，往往會(huì)處于低層次，部分小學(xué)生甚至不知其用途。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理過(guò)程，這是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的有效方法。所以在小學(xué)階段教師應(yīng)敏銳抓住教學(xué)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷推理過(guò)程。筆者在“3的倍數(shù)特征”一課的教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)，使其成了一堂讓學(xué)生經(jīng)歷推理過(guò)程的經(jīng)典課例。之所以說(shuō)這一節(jié)課經(jīng)典，是因?yàn)橛卸喾N推理匯聚在這節(jié)課。

（一）類比推理

在學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)特征”之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“2、5的倍數(shù)特征”，教師在教學(xué)中可以啟發(fā)學(xué)生：3的倍數(shù)特征是否也是看個(gè)位呢？讓學(xué)生經(jīng)歷猜想和論證猜想，這一過(guò)程既符合學(xué)生的思維，又讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)密性。

課堂實(shí)錄：你能猜一猜“3的倍數(shù)”有什么特征嗎？（學(xué)生自由表達(dá)自己的猜想）

師：根據(jù)“2、5的倍數(shù)特征”去猜測(cè)3的倍數(shù)特征，這是合理的。同學(xué)們能根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)新的知識(shí)進(jìn)行合理的猜想，這是一個(gè)很好的研究方法。哪些同學(xué)覺(jué)得自己寫(xiě)的數(shù)字是3的倍數(shù)？

預(yù)設(shè)：

①16是3的倍數(shù)嗎？可以怎么驗(yàn)證？

②42是不是3的倍數(shù)？請(qǐng)驗(yàn)算一下。

否定猜想：看來(lái)，個(gè)位為3、6、9的數(shù)不一定是3的倍數(shù)，所以我們剛才的猜想不成立。

老師按照找倍數(shù)的方法，找出了這一些3的倍數(shù)（多媒體呈現(xiàn)部分3的倍數(shù)）。請(qǐng)同學(xué)們觀察這些3的倍數(shù)，它們的個(gè)位上分別是什么數(shù)字？（1、2、3……都有）判斷3的倍數(shù)只看個(gè)位不行。

明確：看來(lái)3的倍數(shù)特征比較難找，只看個(gè)數(shù)位上的數(shù)找不到。

（二）歸納推理

通過(guò)對(duì)百數(shù)表中“3的倍數(shù)”的圈找以及借助計(jì)數(shù)器的具體珠子個(gè)數(shù)得出結(jié)論：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。這一過(guò)程是以100以內(nèi)的數(shù)作為研究對(duì)象的，也就是利用推理中的不完全歸納法得出了一個(gè)或然性結(jié)論。那么這個(gè)結(jié)論是否適用于100以外的數(shù)？筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究證明更大的數(shù)是否符合結(jié)論，最終在所舉例子中沒(méi)有一個(gè)反例，在這個(gè)研究過(guò)程中學(xué)生經(jīng)歷了完全歸納推理的過(guò)程。

課堂實(shí)錄：

1. 我們找“3的倍數(shù)特征”一般都從較小的數(shù)開(kāi)始研究。

在計(jì)數(shù)器上撥3的倍數(shù)：3、6、9？（看著計(jì)數(shù)器想幾顆） 12、15、18？（撥12，想15、18）（板書(shū)）

活動(dòng)要求：

（1）判斷數(shù)字是不是3的倍數(shù)，可使用計(jì)算器驗(yàn)算。

（2）如果是3的倍數(shù)，算一算用了幾顆珠子；如果不是，請(qǐng)重新寫(xiě)一個(gè)是3的倍數(shù)的數(shù)字，再計(jì)算用了幾顆珠子。

（3）學(xué)生活動(dòng)，計(jì)算完成的同學(xué)上黑板展示。（全班參與）

（4）挑選兩個(gè)學(xué)生提問(wèn)：寫(xiě)的是幾？用了幾顆珠子？怎么算的？

學(xué)生觀察：這些數(shù)雖不相同，但它們都是3的倍數(shù)。仔細(xì)觀察撥這些數(shù)所用的珠子個(gè)數(shù)，有什么特點(diǎn)？

小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，在計(jì)數(shù)器上撥出的3的倍數(shù)，所用的珠子個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)。

2. 逆向思考，完善認(rèn)知

通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，那么它所用的珠子個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。如果一個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)，它所用的珠子個(gè)數(shù)還會(huì)是3的倍數(shù)嗎？

有些同學(xué)撥出的數(shù)不是3的倍數(shù)，我們來(lái)算一算看要撥出這個(gè)數(shù)，需要用幾顆珠子？

小組合作進(jìn)行計(jì)算，并匯報(bào)：你們算的是幾，用了幾顆珠子？

結(jié)論：如果一個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)，它所用的珠子個(gè)數(shù)也不是3的倍數(shù)。

小結(jié)：通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)數(shù)所用的珠子個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就一定是3的倍數(shù)。要知道它用了幾顆珠子，只要把它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)相加即可。

（三）演繹推理

合情推理是開(kāi)展問(wèn)題研究的好方法，由于其或然性與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性存在一定矛盾，所以學(xué)習(xí)者研究問(wèn)題時(shí)一般要通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等來(lái)提出大膽猜想，然后通過(guò)演繹推理來(lái)證明結(jié)論是否正確。小學(xué)階段學(xué)生經(jīng)歷演繹推理過(guò)程并不多，而經(jīng)歷演繹推理過(guò)程是數(shù)學(xué)研究的必然過(guò)程。在“3的倍數(shù)特征”教學(xué)中教師安排了演繹推理出“3的倍數(shù)特征”的結(jié)論，讓學(xué)生感知了演繹推理的方式方法以及數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的嚴(yán)謹(jǐn)性。

課堂實(shí)錄：

教師提問(wèn)：為什么說(shuō)3的倍數(shù)只要看各個(gè)數(shù)位相加的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)？

1. 數(shù)字16，只看個(gè)位行嗎？為什么？（十位有剩余）

十位1個(gè)十，3根3根地分，分9余1，十位會(huì)余下1根。余下的這一根該怎么辦？（要和個(gè)位的6根合在一起繼續(xù)分）

1+6=7（根），不能分完，說(shuō)明16不是3的倍數(shù)。

2. 數(shù)字26，十位再來(lái)1個(gè)十，就是26。只看個(gè)位行嗎？（十位有剩余）

十位分9余1，再分9余1，十位會(huì)余下幾根？余下的2根怎么辦？（和個(gè)位的6根合在一起繼續(xù)分）

2+6=8（根），不能分完，說(shuō)明26不是3的倍數(shù)。

3. 數(shù)字36，如果十位有3個(gè)十呢？第3個(gè)十會(huì)不會(huì)余下1根，這時(shí)十位會(huì)余下幾根？剩下的小棒和個(gè)位合在一起（3+6=9根）能正好分完，說(shuō)明36是3的倍數(shù)。

4個(gè)十，5個(gè)十……

小結(jié)：每個(gè)十都分成9余1，有幾個(gè)十，十位就會(huì)余下幾根，余下的小棒得和個(gè)位的合在一起繼續(xù)分。

4. 剛才的數(shù)都是兩位數(shù)，如果是三位數(shù)呢？（還要看百位）

百位如果有1個(gè)百，3根3根地分，會(huì)正好分完嗎？應(yīng)該分幾余幾？

2個(gè)百呢？按分99余1的方法，會(huì)余幾？

3個(gè)百呢？按分99余1的方法，會(huì)余幾？

……

小結(jié)：每個(gè)百都分成99余1，有幾個(gè)百，百位就會(huì)余下幾根。

這時(shí)要看幾位？（若是三位數(shù)，則百位、十位、個(gè)位上的數(shù)加起來(lái)）

5. 四位數(shù)要看幾位？五位數(shù)呢？

有幾位數(shù)就要看幾位，把它每個(gè)數(shù)位上的數(shù)都加起來(lái)。

二、注重參與推理過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，他們的參與度決定了教學(xué)的效果，因此教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注重學(xué)生學(xué)習(xí)參與度。由于學(xué)生思維與能力的差異，總有一部分學(xué)生參與度不夠，主要表現(xiàn)為沒(méi)有積極主動(dòng)地參與過(guò)程研究，只重視認(rèn)識(shí)結(jié)論而不是理解結(jié)論。

知識(shí)可以傳授，經(jīng)驗(yàn)卻無(wú)法傳授。推理是一個(gè)過(guò)程性研究，只有參與到這個(gè)過(guò)程中來(lái)，學(xué)生的推理能力才能有效成長(zhǎng)。假如只做一個(gè)旁觀者，學(xué)生最終習(xí)得的也只是一個(gè)知識(shí)性結(jié)論，推理能力和學(xué)習(xí)能力都無(wú)法成長(zhǎng)。那么如何才能有效地確保學(xué)生積極參與，結(jié)合推理過(guò)程本身的特性合理安排數(shù)學(xué)活動(dòng)是確保學(xué)生全員參與的前提，筆者在“3的倍數(shù)特征”教學(xué)中安排了這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)：

1.在類比推理過(guò)程中要求每個(gè)學(xué)生寫(xiě)一個(gè)認(rèn)為是3的倍數(shù)的數(shù)，全班集體參與驗(yàn)證是否個(gè)位是3、6、9的數(shù)字就是3的倍數(shù)，讓學(xué)生親自驗(yàn)證若有反例則結(jié)論不成立。

2.在歸納推理過(guò)程中教師先要求學(xué)生驗(yàn)證自己寫(xiě)的數(shù)需要的珠子個(gè)數(shù)如果是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)是否是3的倍數(shù)；然后要求學(xué)生隨機(jī)舉例數(shù)字來(lái)驗(yàn)證，最終全班學(xué)生驗(yàn)證后無(wú)一反例，讓學(xué)生親自體驗(yàn)用歸納法證明“3的倍數(shù)特征”的結(jié)論。

3.在演繹推理過(guò)程中教師要求學(xué)生用規(guī)定的“一個(gè)十”分成9余1，“一個(gè)百”分成99余1，“一個(gè)千”分成999余1的方法，親自體驗(yàn)演繹推理余下的小棒數(shù)的和就是各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和，再次驗(yàn)證“3的倍數(shù)特征”的結(jié)論。

在這些活動(dòng)中讓每個(gè)學(xué)生感受自己所舉數(shù)字都是驗(yàn)證中的一個(gè)例子，只有在全部符合結(jié)論的前提下，最后結(jié)論才能形成。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)能讓學(xué)生在參與中感受推理方法和推理原理的應(yīng)用。

三、注重培養(yǎng)推理性語(yǔ)言，促成學(xué)生推理能力的應(yīng)用

高學(xué)段學(xué)生的認(rèn)知階段屬于形式運(yùn)算階段，學(xué)生對(duì)于認(rèn)知知識(shí)能夠提出假設(shè)并做出解釋。這個(gè)階段的學(xué)生推理能力較強(qiáng)，除了要經(jīng)歷、參與推理研究過(guò)程，還需要把自己的思維外顯為用語(yǔ)言表達(dá)推理過(guò)程。假如學(xué)生只能停留在感受推理過(guò)程的階段，而不注重語(yǔ)言輸出，學(xué)生的思維發(fā)展就滯后了，因此在類似教學(xué)中教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生用清晰的語(yǔ)言把推理過(guò)程表達(dá)出來(lái)。筆者在“3的倍數(shù)特征”這節(jié)課中讓學(xué)生有這樣的語(yǔ)言表達(dá)：

1.因?yàn)?、5的倍數(shù)只需要看個(gè)位，所以我認(rèn)為3的倍數(shù)也只要看個(gè)位是否是3、6、9就行。

2.因?yàn)?6用的珠子個(gè)數(shù)是9，9是3的倍數(shù)，所以36也是9的倍數(shù)。

3. 因?yàn)?3各個(gè)數(shù)位的數(shù)相加的和是5，不是3的倍數(shù)，所以23不是3的倍數(shù)。

……

教師要引導(dǎo)學(xué)生去表達(dá)，同時(shí)對(duì)于能這樣表達(dá)的學(xué)生要及時(shí)、積極地做出評(píng)價(jià)。數(shù)學(xué)課要讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)味”，像這樣能讓學(xué)生在課堂上不斷地進(jìn)行猜想、驗(yàn)證、推理的課，更能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性。

其實(shí)，不同的教學(xué)內(nèi)容中涵蓋了很多數(shù)學(xué)推理的思想，比如化歸思想、類比思想、極限思想、代換思想、假設(shè)思想等。這些思想常常應(yīng)用于探究知識(shí)、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律、證明結(jié)論等，是數(shù)學(xué)研究的重要思想。這些思想都是滲透在整個(gè)教學(xué)過(guò)程之中的，因此推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿整個(gè)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知知識(shí)、參與驗(yàn)證、學(xué)會(huì)語(yǔ)言表達(dá)等過(guò)程，遵循這樣的教學(xué)過(guò)程能培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。教師應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)，睿智地捕捉教學(xué)素材并進(jìn)行有效的教學(xué)設(shè)計(jì)，這樣才能讓每一位學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到更好的發(fā)展。

作者簡(jiǎn)介：龔麗娜（1983—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲江陰市“第七批教學(xué)新秀”“江陰市優(yōu)秀教育工作者”等榮譽(yù)稱號(hào)。