提升演繹推理能力的教學(xué)策略

孫保華

【摘? ?要】演繹推理是一種從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性、嚴(yán)密性和一貫性有著不可替代的作用。教學(xué)中，教師要充分挖掘教學(xué)資源，以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以直觀為橋梁，以規(guī)范為引領(lǐng)，以訓(xùn)練為抓手，讓學(xué)生經(jīng)歷演繹推理的過程，提升他們的推理能力，促進(jìn)其思維能力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】演繹推理；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

演繹推理是一種從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性、嚴(yán)密性和一貫性有著不可替代的作用。數(shù)學(xué)家彭加勒認(rèn)為，演繹推理應(yīng)是數(shù)學(xué)推理能力的核心，是數(shù)學(xué)推理的根本特征。教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從一些已有的判斷推出新的判斷，進(jìn)而揭示許多無法直接感知的真理。那么，針對(duì)以直覺思維為主、嚴(yán)謹(jǐn)性較弱的小學(xué)生，如何更好地實(shí)施演繹推理的教學(xué)呢？

一、以經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)——直覺性

演繹推理同樣依賴于小學(xué)生的直覺思維。直覺思維源自學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與直觀感悟等內(nèi)因感知。嚴(yán)密的演繹推理對(duì)小學(xué)生來說比較困難，需要輔以直覺思維的支撐。因此，教師要致力于在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)，充分利用學(xué)生的直覺思維展開演繹推理，促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展。

例如，在蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”內(nèi)容的教學(xué)中，可以利用長方形的特征（如圖1），通過演繹推理證明三角形的內(nèi)角和是180°。

師：把一個(gè)長方形沿著對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形完全相同嗎？

（學(xué)生獨(dú)立動(dòng)手操作）

生：完全相同。因?yàn)榘堰@兩個(gè)直角三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)它們完全重合。

師：通過重疊可以驗(yàn)證這兩個(gè)直角三角形完全相同。那∠1與∠4，∠2與∠3相等嗎？

生：把這兩個(gè)直角三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)∠1與∠4完全重合，所以∠1=∠4；同樣，∠2與∠3也完全重合，所以∠2=∠3。

師：說得真好。你們能說出每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是多少度嗎？請(qǐng)大家互相討論一下。

生：因?yàn)殚L方形的內(nèi)角和是360°，把它分成了兩個(gè)直角三角形，所以每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是360°÷2=180°。

師：同學(xué)們，你們認(rèn)同他的想法嗎？如何證明這兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°呢？

生：我是這樣想的。因?yàn)椤?+∠4=90°，∠1=∠4，所以∠1+∠3=90°。90°（直角）+∠1+∠3=180°，所以這個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°。

生：我是這樣想的。因?yàn)椤?+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠4=90°。90°（直角）+∠2+∠4=180°，所以這個(gè)直角三角形的內(nèi)角和也是180°。

師：這兩個(gè)同學(xué)都通過推理證明了這兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和是180°。

把一個(gè)長方形沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)直角三角形。學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)把兩個(gè)直角三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)它們重疊后完全重合，說明這兩個(gè)三角形完全相同，兩個(gè)三角形中的角也分別相等。在正確前提條件的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說一說每個(gè)三角形的內(nèi)角和是多少度。學(xué)生通過兩種思路推理得到兩個(gè)直角三角形的內(nèi)角和都是180°。整個(gè)學(xué)習(xí)過程充分利用了學(xué)生的直覺思維，學(xué)生自覺進(jìn)行演繹推理，有效地促進(jìn)了推理能力的提升。

二、以直觀為橋梁——形象性

學(xué)生的思維按照“直觀形象—表象—抽象”的過程發(fā)展。在小學(xué)低段，學(xué)生需要利用直觀動(dòng)作思維和形象思維來理解知識(shí)；到了高段，學(xué)生的抽象邏輯思維有了一定的發(fā)展，但還需要依賴一定的具體形象思維。因此，小學(xué)生演繹推理能力的發(fā)展，應(yīng)盡量以直觀動(dòng)作思維和具體形象思維為橋梁，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理的過程、體驗(yàn)推理的價(jià)值。

例如，在蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)“三角形的內(nèi)角和”內(nèi)容的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用直角三角形的內(nèi)角和是180°，探究銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和（如圖2）。

師：圖2是分別用兩個(gè)直角三角形拼成的銳角三角形和鈍角三角形。銳角三角形的內(nèi)角包括哪幾個(gè)角？鈍角三角形呢？

生：拼成的銳角三角形和鈍角三角形不包括其中的兩個(gè)直角，所以銳角三角形的內(nèi)角是∠1、∠2、∠3和∠4，鈍角三角形的內(nèi)角也是∠1、∠2、∠3和∠4。

師：你們能分別推導(dǎo)出銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和是多少嗎？

（學(xué)生先獨(dú)立探究，再在小組內(nèi)交流想法）

師：誰來說一說你的想法？

生：我推導(dǎo)的是銳角三角形。這個(gè)銳角三角形的左邊是一個(gè)直角三角形，所以∠1+∠2=90°。右邊也是一個(gè)直角三角形，所以∠3+∠4=90°。又因?yàn)檫@個(gè)銳角三角形的內(nèi)角和是∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°，所以這個(gè)銳角三角形的內(nèi)角和是180°。

師：你用推理的方法推導(dǎo)出了這個(gè)銳角三角形的內(nèi)角和是180°，真了不起。誰再來說一說這個(gè)鈍角三角形的推理過程？

生：這個(gè)鈍角三角形的左邊是一個(gè)直角三角形，所以∠1+∠2=90°。右邊也是一個(gè)直角三角形，所以∠3+∠4=90°。又因?yàn)檫@個(gè)鈍角三角形的內(nèi)角和是∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°，所以這個(gè)鈍角三角形的內(nèi)角和是180°。

這里利用兩個(gè)直角三角形分別拼成一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形，讓學(xué)生探究它們的內(nèi)角和。學(xué)生已經(jīng)證明過直角三角形的內(nèi)角和是180°，也通過演繹推理證明了銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。整個(gè)教學(xué)過程中，教師充分利用了幾何圖形的直觀形象，引導(dǎo)學(xué)生借助直覺思維進(jìn)行思考，通過推理獲得新知，滲透了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程。

三、以規(guī)范為引領(lǐng)——有序性

發(fā)展推理意識(shí)可以讓學(xué)生養(yǎng)成有條理地進(jìn)行表達(dá)的思維習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)交流的能力。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，更多的是學(xué)生根據(jù)自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合情推理。推理過程中，學(xué)生的表達(dá)缺乏規(guī)范性、嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。因此，在教學(xué)中，教師要利用數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生用規(guī)范的語言表達(dá)推理過程，努力做到言之有據(jù)、言之有序、言之有理，幫助學(xué)生掌握演繹推理的基本形式，提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性。

例如，在蘇教版教材四年級(jí)上冊(cè)“商不變的規(guī)律”內(nèi)容的教學(xué)中，可以利用商不變規(guī)律，探索其他運(yùn)算中的不變規(guī)律。

師：在之前的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了“商不變的規(guī)律”。請(qǐng)大家想一想，我們還能用什么方法來證明這一規(guī)律的正確性。

生：可以用舉例來證明。如27÷9=3，如果被除數(shù)和除數(shù)都乘4，可以寫成（27×4）÷（9×4）=108÷36=3，商不變，還是3。

生：我用的也是舉例的方法。如ɑ÷b=6，如果被除數(shù)和除數(shù)都乘7，就可以寫成（ɑ×7）÷（b×7）= ɑ×7÷b÷7=ɑ÷b=6，商不變，還是6。

生：我是這樣想的，可以把乘7改成乘任意不為零的數(shù)c。那么ɑ÷b就可以寫成（ɑ×c）÷（b×c）=ɑ×c÷b÷c=ɑ÷b，也能證明商不變。

師：剛才大家用舉例的方法來說明商不變的規(guī)律，真的很棒。除法中有商不變規(guī)律，那么其他運(yùn)算中有沒有不變的規(guī)律呢？

生：我發(fā)現(xiàn)減法中也有差不變的規(guī)律，如ɑ-b=7，（ɑ+8）-（b+8）=ɑ+8-b-8=ɑ-b=7，那ɑ-b也可以寫成（ɑ+c）-（b+c）=ɑ+c-b-c=ɑ-b。

生：我覺得乘法中沒有積不變的規(guī)律，如（ɑ×7）×（b×7）=ɑ×7×b×7=ɑ×b×49，積擴(kuò)大了49倍。

生：我覺得乘法中有積不變的規(guī)律，據(jù)我觀察，只要把（ɑ×7）×（b×7）這一式子中的ɑ×7改成ɑ÷7 ，那么（ɑ÷7）×（b×7）= ɑ÷7×b×7=ɑ×b，這樣就積不變了。不是把兩個(gè)因數(shù)同時(shí)乘一個(gè)相同的數(shù)（0除外），而是一個(gè)因數(shù)乘一個(gè)數(shù)，另一個(gè)因數(shù)除以相同的數(shù)，積不變。

生：也可以用更簡潔的算式來表示積不變的規(guī)律，即（ɑ×c）×（b÷c）= ɑ×c×b÷c=ɑ×b（c≠0）。

生：我發(fā)現(xiàn)加法中也有和不變的規(guī)律，如ɑ+b=16，（ɑ+9）+（b-9）=ɑ+9+b-9=ɑ+b=16，和不變。

教師通過提問，引導(dǎo)學(xué)生探索其他運(yùn)算中的不變規(guī)律。學(xué)生通過觀察、比較、計(jì)算等活動(dòng)，由商不變的規(guī)律類比推理出其他三種運(yùn)算的不變規(guī)律。在這一過程中，學(xué)生既運(yùn)用了演繹推理，又運(yùn)用了類比推理，做到了言之有理、推之有據(jù)，進(jìn)行了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表達(dá)。該教學(xué)過程既培養(yǎng)了學(xué)生的推理意識(shí)，又提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

四、以訓(xùn)練為抓手——針對(duì)性

學(xué)生推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程。除了平時(shí)根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的差異，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)耐评碣Y源，讓學(xué)生體驗(yàn)推理的過程和掌握推理的方法，教師還應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)一些推理練習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生在螺旋上升、循環(huán)往復(fù)的學(xué)習(xí)過程中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，有根有據(jù)地由已知判斷推出新的判斷，從而有的放矢地開展推理能力的訓(xùn)練，使推理成為學(xué)生的自覺需要。

例如，在蘇教版教材六年級(jí)上冊(cè)“長方體和正方體的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容的教學(xué)中，可以通過對(duì)長方體的棱長特征的演繹推理，建立長方體與6個(gè)長方形之間的關(guān)系（如圖3）。

師：長方體的棱長有什么特征？

生：長方體一共有12條棱，可以分成3組，每組相對(duì)的4條棱都相等。

師：你們是用什么方法得到每組4條棱都相等的？

生：我們是用學(xué)具盒里的小棒拼搭成一個(gè)長方體，在拼搭的過程中發(fā)現(xiàn)每組相對(duì)的4條棱都相等，并通過測(cè)量確認(rèn)4條棱都相等。

師：這是實(shí)驗(yàn)的方法，這種方法一般用于提出猜想，不能作為獲得結(jié)論的依據(jù)，但我們可以通過推理來證明這一結(jié)論。長方體的每個(gè)面都是長方形，長方形的對(duì)邊有什么特征？

生：長方形的對(duì)邊相等且平行。

師：請(qǐng)大家嘗試根據(jù)長方形的特征進(jìn)行推理，從而證明長方體每組相對(duì)的4條棱都相等。

（學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立探究，全班交流匯報(bào)）

生：圖3中，因?yàn)樵陂L方形ABCD中，AB=DC，在長方形DCFE中，DC=EF，在長方形EFGH中，EF=HG，所以AB＝DC＝EF＝HG，即長方體這一組中相對(duì)的4條棱都相等。

師：這個(gè)同學(xué)說得有理有據(jù)，條理清晰。

生：其他兩組也可以用這樣的方法來證明。

……

學(xué)生起初認(rèn)識(shí)長方體相對(duì)的4條棱長度相等是根據(jù)測(cè)量得到的，這種用實(shí)驗(yàn)方法得出的結(jié)論具有或然性。因此，教師根據(jù)教材內(nèi)容設(shè)計(jì)了專門的練習(xí)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生探索相對(duì)的4條棱長度相等。這樣的演繹推理過程，既有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，也有助于發(fā)展他們的推理能力。

又如，在蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)“圓的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容的教學(xué)中，可以結(jié)合數(shù)學(xué)問題的解決發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。

圖4中，從點(diǎn)A出發(fā)，可以沿大弧線到點(diǎn)B，也可以沿兩條小弧線到點(diǎn)C，再到點(diǎn)B。這兩條線路哪條更短一些？

師：請(qǐng)大家小組合作來解決問題。

（學(xué)生小組合作探究，全班交流匯報(bào)）

生：我們組把各條弧對(duì)應(yīng)的直徑長度假設(shè)為具體長度，大圓弧的直徑假設(shè)為12 cm，兩個(gè)小圓弧的直徑分別假設(shè)為8 cm和4 cm，那么大弧線的長度為[12π2]=6π cm，兩條小弧線的長度和為[8π2]+ [4π2]=6π cm。通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩條路線一樣長。

師：運(yùn)用假設(shè)法來解決問題是一種好方法。如果不假設(shè)具體的數(shù)，假設(shè)兩個(gè)小圓弧的直徑分別為d1、d2，請(qǐng)大家通過符號(hào)的運(yùn)算進(jìn)行推理。

生：我發(fā)現(xiàn)兩條小弧線的長度和為[πd12]+[πd22]=

[π（d1+d2）2]。

生：我發(fā)現(xiàn)大弧線的長度為[π（d1+d2）2]。

生：我發(fā)現(xiàn)兩條小弧線長度的和=大弧線的長度=[π（d1+d2）2]。

通過假設(shè)具體的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算得到的結(jié)果是特例，利用符號(hào)（變量）進(jìn)行運(yùn)算和推理得到的結(jié)論才具有一般性。整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生通過假設(shè)各條弧為具體長度（具體的數(shù)）進(jìn)行運(yùn)算解決問題，教師相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生通過假設(shè)把具體數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為符號(hào)的運(yùn)算，這樣既能讓學(xué)生體會(huì)得到的結(jié)論具有一般性，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，又有利于學(xué)生的思維從具體形象思維向邏輯思維過渡。

學(xué)生演繹推理能力的形成和發(fā)展是一個(gè)隱性的、緩慢的過程。教師要順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展的需要，為學(xué)生提供充分的推理空間，放手讓學(xué)生經(jīng)歷推理的過程，有效發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。

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（江蘇省常州市金壇華城實(shí)驗(yàn)小學(xué)）