經(jīng)歷表征過(guò)程 關(guān)注意義理解

黃琴 史貝貝

【摘? ?要】數(shù)與運(yùn)算是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一。數(shù)概念與數(shù)運(yùn)算的核心是計(jì)數(shù)單位和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。其中，計(jì)數(shù)單位是數(shù)建構(gòu)的基礎(chǔ)，十進(jìn)制計(jì)數(shù)法是計(jì)數(shù)的規(guī)則。教學(xué)“小數(shù)意義”時(shí)，用計(jì)數(shù)單位和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，不僅能解釋數(shù)的意義，打通整數(shù)與小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的“隔斷墻”，還能打通數(shù)概念與數(shù)運(yùn)算的藩籬，讓碎片化的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，助力學(xué)生類(lèi)比遷移、互融共通等能力的提升。

【關(guān)鍵詞】核心概念；計(jì)數(shù)單位；類(lèi)比；遷移；一致性

數(shù)與運(yùn)算是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)“數(shù)與運(yùn)算”的學(xué)習(xí)提出要求：“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)?！睌?shù)概念與數(shù)運(yùn)算的核心是計(jì)數(shù)單位和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。其中，計(jì)數(shù)單位是數(shù)建構(gòu)的基礎(chǔ)，十進(jìn)制計(jì)數(shù)法是計(jì)數(shù)的規(guī)則。在“小數(shù)意義”的教學(xué)中，用計(jì)數(shù)單位和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，可幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識(shí)與數(shù)的運(yùn)算的互融互通、共生共長(zhǎng)。

一、探尋認(rèn)知基礎(chǔ)，確定教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生對(duì)小數(shù)的意義有怎樣的認(rèn)知基礎(chǔ)呢？筆者對(duì)某校四年級(jí)200名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，請(qǐng)他們畫(huà)圖表示1.3、0.23、0.354。前測(cè)發(fā)現(xiàn)，能用圖將三個(gè)小數(shù)意義表示得清晰準(zhǔn)確的學(xué)生分別占被測(cè)學(xué)生總數(shù)的64%、40%和7.5%。可見(jiàn)，有了三年級(jí)一位小數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，多數(shù)學(xué)生能夠畫(huà)圖表征一位小數(shù)，但表征三位小數(shù)仍存在困難。因此，把學(xué)生原有的對(duì)一位小數(shù)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移和擴(kuò)展，得到更多、更小的計(jì)數(shù)單位，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)他們理解計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系，是教學(xué)的重點(diǎn)所在。

基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，結(jié)合用計(jì)數(shù)單位與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)的教學(xué)思路，確定本課的教學(xué)目標(biāo)有以下三點(diǎn)。

1.從整數(shù)的表征切入，關(guān)聯(lián)小數(shù)的意義，學(xué)習(xí)小數(shù)的表征方式。

2.結(jié)合畫(huà)圖，體驗(yàn)小數(shù)計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生過(guò)程，在數(shù)位討論中，體驗(yàn)“十進(jìn)制”擴(kuò)展的必然性。

3.結(jié)合在數(shù)位順序表上擺方塊圖的活動(dòng)，溝通整數(shù)與小數(shù)，理解計(jì)數(shù)規(guī)則。

二、聚焦意義理解，展開(kāi)教學(xué)實(shí)踐

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。教師要結(jié)合學(xué)生的原有認(rèn)知展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行意義上的自主遷移。本節(jié)課中，學(xué)生要經(jīng)歷畫(huà)圖表征的過(guò)程，在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)整數(shù)、小數(shù)的聯(lián)系，厘清十進(jìn)制計(jì)數(shù)法中計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生的原理，體會(huì)數(shù)意義上的一致性。教學(xué)時(shí)還可以通過(guò)鏈接運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合計(jì)數(shù)單位與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，感受數(shù)意義的一致性在計(jì)算過(guò)程中的體現(xiàn)。

（一）自主遷移，初步理解小數(shù)的意義

1.經(jīng)驗(yàn)喚醒，說(shuō)整數(shù)的意義。

師：122這個(gè)數(shù)表示什么意義？

生：1個(gè)百、2個(gè)十、2個(gè)一。

生：122個(gè)一。

生：12個(gè)十、2個(gè)一。

師：他們?cè)谡f(shuō)意義的時(shí)候，有什么相同點(diǎn)？

教師根據(jù)學(xué)生的說(shuō)法小結(jié)：描述整數(shù)的意義時(shí)，要說(shuō)清楚計(jì)數(shù)單位和單位的個(gè)數(shù)。

2.自主遷移，說(shuō)小數(shù)的意義。

師：1.22又表示什么意義呢？你能像說(shuō)整數(shù)意義一樣說(shuō)說(shuō)它的意義嗎？

生：122個(gè)0.01。

生：1個(gè)1、2個(gè)0.1、2個(gè)0.01。

教師根據(jù)學(xué)生表述把1、0.1和0.01圈出并板書(shū)“計(jì)數(shù)單位”和“個(gè)數(shù)”。

（二）畫(huà)圖表征，體驗(yàn)小數(shù)計(jì)數(shù)單位的產(chǎn)生

1.教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)，請(qǐng)學(xué)生畫(huà)圖表示1.22的意義。

學(xué)生獨(dú)立完成后，教師呈現(xiàn)部分學(xué)生的作品。（如圖1）

2.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流反饋，理解兩位小數(shù)的意義。

（1）明確計(jì)數(shù)單位的作用。

師：幾號(hào)作品讓人一眼就能看出1.22的意義？

生：①號(hào)和③號(hào)都能看出1.22表示1個(gè)1、2個(gè)0.1、2個(gè)0.01。

生：②號(hào)沒(méi)有標(biāo)計(jì)數(shù)單位，這幅圖也可以看成122。

師：要表示清楚數(shù)的意義，一定要先確定計(jì)數(shù)單位。

（2）借助“方格圖”體會(huì)計(jì)數(shù)單位0.01是怎么來(lái)的。

師：0.01這個(gè)計(jì)數(shù)單位是怎么來(lái)的呢？

生：把1平均分成10份，1份是0.1；把0.1再平均分成10份，1份就是0.01。

生：比如表示1.22，如果用1個(gè)正方形表示1，那么把1平均分成十份，每份是1個(gè)小長(zhǎng)方形，其中2個(gè)小長(zhǎng)方形就是0.2。把每個(gè)小長(zhǎng)方形再平均分成10份，每份是1個(gè)小正方形，那么2個(gè)小正方形就是0.02。1、0.2和0.02合起來(lái)就是1.22。

學(xué)生一邊說(shuō)，教師一邊結(jié)合作品③，用課件展示計(jì)數(shù)單位細(xì)分的過(guò)程。（如圖2）

3.結(jié)合對(duì)比、交流，引導(dǎo)學(xué)生感悟整數(shù)與小數(shù)意義表征的一致性。

教師先引導(dǎo)學(xué)生討論：整數(shù)與小數(shù)在表示數(shù)意義的時(shí)候有什么相同點(diǎn)？然后歸納小結(jié)：1.22還可以表示122個(gè)0.01或者12個(gè)0.1和2個(gè)0.01，同樣一個(gè)小數(shù)，用不同的計(jì)數(shù)單位表示，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)也會(huì)不同。同整數(shù)一樣，小數(shù)也可以用“個(gè)數(shù)+計(jì)數(shù)單位”來(lái)表示。

（三）關(guān)聯(lián)求同，厘清計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生的原理

1.借助計(jì)數(shù)器，推算更小的計(jì)數(shù)單位。

教師呈現(xiàn)計(jì)數(shù)器，請(qǐng)學(xué)生借助計(jì)數(shù)器，說(shuō)一說(shuō)0.1、0.01在計(jì)數(shù)器上分別在哪里，是怎么來(lái)的，并思考，還有更小的計(jì)數(shù)單位嗎？

生：十分位上的一顆珠子表示0.1，它可以看作是將個(gè)位上的1平均分成10份得來(lái)的。

教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)結(jié)合計(jì)數(shù)器說(shuō)0.01（百分位）、0.001（千分位）……的意義。

2.厘清、感知計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生原理的一致性。

師：小數(shù)的計(jì)數(shù)單位也是按照“十進(jìn)制”的規(guī)則產(chǎn)生的嗎？

生：整數(shù)里相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間有滿十進(jìn)一、退一作十的關(guān)系，小數(shù)里面也有這樣的關(guān)系。

生：一個(gè)計(jì)數(shù)器不能有兩套計(jì)數(shù)規(guī)則，所以小數(shù)肯定也和整數(shù)一樣，是按“十進(jìn)制”的規(guī)則來(lái)計(jì)數(shù)的。

教師結(jié)合學(xué)生的描述，利用課件和板書(shū)進(jìn)行梳理。（如圖3）

（四）鏈接運(yùn)算，感受數(shù)意義在計(jì)算中的體現(xiàn)

教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)，請(qǐng)學(xué)生嘗試獨(dú)立計(jì)算1.22與7.8的和。學(xué)生嘗試計(jì)算后出現(xiàn)了三種答案：9.02、2、8.3。

師：上面三種答案哪種是正確的？第二個(gè)加數(shù)中的8應(yīng)該跟第一個(gè)加數(shù)中的幾相加？為什么？

生：因?yàn)?表示8個(gè)0.1，所以第二個(gè)加數(shù)中的8應(yīng)該跟第一個(gè)加數(shù)中十分位上的2相加。

師：為什么不與百分位上的2相加？

生：因?yàn)橛?jì)數(shù)單位不一樣。

教師用課件演示十分位上的“8”累加的過(guò)程。（如圖4）

教師小結(jié)：小數(shù)的加減法計(jì)算就是將小數(shù)中相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)進(jìn)行加減，小數(shù)加減法同樣滿足滿十進(jìn)一、退一作十的規(guī)則。

三、回顧與反思

當(dāng)前教材中，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義在呈現(xiàn)時(shí)各具特色，而以“計(jì)數(shù)單位”這一核心觀念統(tǒng)領(lǐng)，可以鏈接所有數(shù)的意義教學(xué)，并以此形成運(yùn)算教學(xué)的支架。在“小數(shù)意義”的教學(xué)實(shí)踐中，教師設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生將表征整數(shù)122意義的經(jīng)驗(yàn)自主遷移至表征小數(shù)1.22的意義上來(lái)。學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探索的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，表征整數(shù)與小數(shù)時(shí)都是用“數(shù)字+計(jì)數(shù)單位”的方式，產(chǎn)生的新的計(jì)數(shù)單位都與十進(jìn)制有關(guān)（或者是十倍十倍地?cái)U(kuò)大，或者是十分之一十分之一地縮小）。他們的學(xué)習(xí)遷移能力應(yīng)運(yùn)而生，認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到優(yōu)化與完善。

小數(shù)雖然與十進(jìn)分?jǐn)?shù)息息相關(guān)，但其所蘊(yùn)含的分?jǐn)?shù)意義卻是非常弱的。在理解小數(shù)意義時(shí)，十進(jìn)、十分是教學(xué)的重點(diǎn)。從“計(jì)數(shù)單位”入手，借助形的直觀性和計(jì)數(shù)規(guī)則的一致性，能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)抽象的數(shù)的理解。如本課中，學(xué)生在認(rèn)識(shí)小數(shù)1.22時(shí)，教師借助兩大直觀模型幫助他們厘清小數(shù)的意義。一是用面積模型表示1.22，通過(guò)把正方形“1”平均分成10份，每份是0.1，再把0.1平均分成10份，每份是0.01，直觀感受小數(shù)計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生的過(guò)程。二是在用計(jì)數(shù)器模型表示1.22時(shí)，通過(guò)兩個(gè)核心問(wèn)題“繼續(xù)細(xì)分下去，會(huì)產(chǎn)生怎樣的小數(shù)單位？”“為什么還是以‘十進(jìn)制的規(guī)則細(xì)分？”，讓學(xué)生在“不斷累加、不斷細(xì)分”的體驗(yàn)中，深刻感悟小數(shù)和整數(shù)在計(jì)數(shù)規(guī)則上的一致性。

所有數(shù)運(yùn)算的算理，都離不開(kāi)數(shù)意義的支撐。在加減法中，無(wú)論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都是將相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)進(jìn)行累加或消減。所以在教學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”之前，首先得弄清楚一個(gè)數(shù)分別是由怎樣的計(jì)數(shù)單位組成的，然后才能做到把兩個(gè)或多個(gè)相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)進(jìn)行相加或相減。計(jì)數(shù)單位這個(gè)“承重墻”能夠讓學(xué)生真正感受到數(shù)意義與數(shù)運(yùn)算本身所具有的“一致性”，幫助學(xué)生完善數(shù)概念和數(shù)運(yùn)算的認(rèn)知體系，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階。

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（1.浙江省湖州市安吉縣教育科學(xué)研究中心

2.浙江省湖州市安吉縣紫梅小學(xué)）