用“正方體模型”貫通立體幾何教學(xué)

【摘 要】正方體模型是學(xué)生最早接觸的模型，是涉及各種角、距離、位置關(guān)系的經(jīng)典模型。如果正方體模型研究透徹了，立體幾何的學(xué)習(xí)就完成了一半。在教學(xué)時(shí)設(shè)計(jì)五個(gè)教學(xué)順序合理安排的微專(zhuān)題，對(duì)正方體模型進(jìn)行由表及里、由具體到抽象的探究，提高了學(xué)生的空間想象能力，體現(xiàn)了立體幾何教學(xué)的連續(xù)性和整體性。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；正方體模型；立體幾何教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）24-0047-05

【作者簡(jiǎn)介】顧亞?wèn)|，江蘇省徐州市運(yùn)河中學(xué)（江蘇徐州，221300）教師，高級(jí)教師，徐州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版 2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）要求教師要明晰數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在內(nèi)容體系形成中表現(xiàn)出的連續(xù)性和階段性，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，要求教師整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施教學(xué)?；谝陨侠砟睿P者嘗試?yán)谜襟w模型來(lái)貫通立體幾何的教學(xué)。正方體模型是立體幾何教學(xué)中最重要的模型。筆者認(rèn)為，在立體幾何教學(xué)中按照知識(shí)的生成過(guò)程及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，應(yīng)該選擇恰當(dāng)?shù)那腥肟冢瑥牟煌木S度，運(yùn)用不同手段引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地研究正方體模型。

一、正方體模型在立體幾何教學(xué)中的意義

為什么選擇正方體模型，而不選擇更為常見(jiàn)的長(zhǎng)方體模型？筆者認(rèn)為，首先，長(zhǎng)方體有的性質(zhì)正方體都具有，正方體還具有一般長(zhǎng)方體沒(méi)有的性質(zhì)，例如內(nèi)切球、特殊的角度、線段長(zhǎng)度的特殊比值等；正方體退一步可以到長(zhǎng)方體、正四面體，進(jìn)一步可以到正八面體等，它在立體幾何里比長(zhǎng)方體更靠近核心位置，因此選擇正方體效果更好。其次，正方體模型里包含點(diǎn)、 線、面三要素；線線、線面、面面三種角；線線平行、線面垂直、面面平行、面面垂直四種關(guān)系；點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面六種距離；以及表面積、體積、內(nèi)切球、棱切球、外接球等重要問(wèn)題。各種知識(shí)交匯糅合在一起，信息量大，蘊(yùn)含的思想方法豐富，正方體既是各種多面體的交匯點(diǎn)，又是它們共性的代表。再者，正方體是特殊的長(zhǎng)方體，先弄清楚正方體再研究長(zhǎng)方體符合從特殊到一般的思想，就像在解析幾何的教學(xué)時(shí)，也是先抓住圓，圓研究透徹后，橢圓的研究過(guò)程就可以類(lèi)比圓了。因此，借助正方體模型的教學(xué)可以引領(lǐng)學(xué)生揭開(kāi)立體幾何的奧秘。

二、正方體微專(zhuān)題教學(xué)設(shè)計(jì)

為了讓學(xué)生通過(guò)探究正方體激發(fā)學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，筆者設(shè)計(jì)了一系列關(guān)于正方體教學(xué)的微專(zhuān)題。

1.直觀了解正方體

師：請(qǐng)大家觀察粉筆盒或者身邊的正方體模型，對(duì)正方體作一個(gè)簡(jiǎn)要說(shuō)明。即興表達(dá)即可，頂點(diǎn)、棱、面，棱長(zhǎng)可以設(shè)為a。

生 1：一個(gè)正方體有 6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱、12 條長(zhǎng)為 2a 的面對(duì)角線、4 條長(zhǎng)為 3a的體對(duì)角線。 師：正方體的 12 條棱中共有多少對(duì)異面直線？生2：12×4÷2=24對(duì)。

師：下面誰(shuí)再來(lái)說(shuō)說(shuō)正方體與球的關(guān)系？

生 3：正方體的內(nèi)切球與六個(gè)面都相切，且半徑為棱長(zhǎng)的一半；正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在外接球上，且半徑為體對(duì)角線的一半。

師：很好，正方體有內(nèi)切球、外接球，想一想有沒(méi)有與正方體的 12 條棱都相切的球？大家看圖1，發(fā)揮你的空間想象力。 （圖1）

生4：這個(gè)球與正方體的12條棱都相切，且半徑為面對(duì)角線的一半。

師：很好，可以稱(chēng)之為正方體的棱切球。

此專(zhuān)題宜放在學(xué)生學(xué)習(xí)了必修二的線線、線面位置關(guān)系之后。學(xué)生通過(guò)前期的學(xué)習(xí)，對(duì)正方體已有一定的認(rèn)知，這個(gè)時(shí)候教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)之前的知識(shí)碎片可以事半功倍，但正方體的棱切球不易想象，實(shí)物模型、幾何畫(huà)板也不能形象描述。所以筆者利用Geogebra軟件制作3D模型，將正方體的棱切球直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生及時(shí)、準(zhǔn)確、高效地掌握相關(guān)知識(shí)。將信息化輔助教學(xué)手段與學(xué)科教學(xué)相融合，有利于提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維。

2.尋找正方體中的角

如圖 2，在正方體 ABCD-A1B1C1D1中：（1）分別求 A1D 與 B1C，A1D 與 AB1所成角的大?。唬?）分別求 AA1、AD1與平面 ABCD 所成角的大?。?（3）求 AA1與平面 ABC1D1所成角的大??；（4）求AB1與平面 ABC1D1所成角的大小；（5）求二面角D1-AB-D 的大??；（6）求二面角 A1-AB-D 的大小；（7）求二面角 C1-BD-C 的正切；（8）求二面角 C1-BD-A 的正切；（9）求二面角 A1-BD-C1的余弦；（10）求二面角 A1-BD1-C1的大?。唬?1）求二面角A1-BD1-A的大小。 D1 A1 A B C B

此專(zhuān)題宜在學(xué)習(xí)完線面角、二面角之后進(jìn)行。這幾道題不僅能強(qiáng)化學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)的概念，還能探究、拓展線面角、二面角的作、證、求法，又能規(guī)范學(xué)生的解題格式。此教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可與學(xué)生共同逐題畫(huà)圖探究，完成后教師再針對(duì)難點(diǎn)，利用 3D 動(dòng)畫(huà)來(lái)輔助教學(xué)。如第（4）題可以連接 B1C、AN，B1C⊥面 ABC1D1，AB1在面ABC1D1內(nèi)的射影為AN，∠B1AN即為所求。因?yàn)檫@些問(wèn)題所涉及的線、面、角大都在正方體的內(nèi)部，看不見(jiàn)摸不著，較為抽象，不好做實(shí)物模型，因而在傳統(tǒng)的教學(xué)中，需要教師有高超的畫(huà)圖、講解能力，同時(shí)學(xué)生也需要較好的空間想象能力，而利用Geogebra軟件這樣的3D教學(xué)軟件可以準(zhǔn)確高效地讓學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)。

3.探求正方體中的距離

師：如圖 3，正方體中，如何求 A1 到平面AB1D1的距離？

生5：在正方體中可以使用體積轉(zhuǎn)化法， VA1 - AB1D1=VA - A1B1D1，所以所求距離為 A1C 的三分之一。生6：直接運(yùn)用截面法，可以證明A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AD1，再證明AC1⊥平面AB1D1，然后在平面AA1C1C內(nèi)，利用等面積法求出A1H即可。

師：兩種方法都很好，A1C 就像一把傘的傘柄，而四面體 A1-AB1D1的三個(gè)側(cè)面就好比傘的防雨面，A1C 垂直于面 AB1D1，可看作“傘的模型”。

立體幾何共涉及六種距離：點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面，解決方法都是遵循最小化原理，化歸到點(diǎn)點(diǎn)距上來(lái)，例如對(duì)棱、對(duì)面距離，棱錐的高、斜高等。學(xué)生對(duì)角熟悉，卻容易忽視距離，生 5 的體積轉(zhuǎn)化法可以給思維固化的學(xué)生以啟迪，因此這一專(zhuān)題很有必要，可在學(xué)完線面平行、面面平行之后進(jìn)行，也可以鑲嵌在某一例題中。教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用3D教學(xué)軟件，能夠生動(dòng)形象地刻畫(huà)和展現(xiàn)學(xué)生的描述。

4.探究正方體的展開(kāi)圖

在研究正方體展開(kāi)圖時(shí)，雖然筆者在課前讓學(xué)生準(zhǔn)備了若干個(gè)正方體紙盒和剪刀，但課堂上教師先讓學(xué)生展開(kāi)想象，遇到疑難時(shí)再剪開(kāi)一個(gè)紙盒操作觀察。課堂上安排兩位學(xué)生上黑板畫(huà)正方體的展開(kāi)圖，針對(duì)重復(fù)、遺漏等情況，教師引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)查找、歸納、總結(jié)，最終得到如下正方體展開(kāi)圖。（見(jiàn)圖4）

師：請(qǐng)同學(xué)們給這些展開(kāi)圖進(jìn)行分類(lèi)。

生 7：可以分四類(lèi)。（1）中間四個(gè)，上下各一個(gè)（①②③④⑤⑥）；（2）中間三個(gè)，上下各一個(gè)、兩個(gè)（⑦⑧⑨）；（3）中間兩個(gè)，上下各兩個(gè)（⑩）；（4）分兩層，上下各三個(gè)（？）；第一類(lèi)里面可以細(xì)分為：上1下1，上1下2，上1下3，上1下4，上 2下2，上2下3，第二類(lèi)同理可得。

師：非?？茖W(xué)，有的同學(xué)畫(huà)了上 3 下 3，上 2 下4，可以嗎？

生8：分別與上2下2，上1下3重復(fù)了。

師：嗯，類(lèi)似于化學(xué)中的同分異構(gòu)體，對(duì)這類(lèi)容易重復(fù)遺漏的問(wèn)題，希望大家能夠科學(xué)地分類(lèi)，有序、準(zhǔn)確、高效地查找，做到不重不漏。學(xué)到這里，同學(xué)們能否給正方體一個(gè)準(zhǔn)確的定義？

生 9：可以類(lèi)比正四面體定義，用六個(gè)相同的正方形圍成的幾何體叫正方體。

生10：長(zhǎng)寬高相等的長(zhǎng)方體是正方體。

師：兩位同學(xué)能夠?qū)⑿聠?wèn)題化歸到已知問(wèn)題上來(lái)，這是對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的熟練運(yùn)用。

生 11：正方體可以定義為將一個(gè)正方形向垂直于其所在面的方向平移該正方形的邊長(zhǎng)個(gè)單位而得到的幾何體。

師：這種定義法是類(lèi)比棱柱的定義，體現(xiàn)了動(dòng)面成體的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

此專(zhuān)題針對(duì)學(xué)生分類(lèi)過(guò)程中有可能出現(xiàn)的重復(fù)或者遺漏情況，可以安排在必修二的立體幾何學(xué)習(xí)結(jié)束后，或在學(xué)生學(xué)習(xí)完有機(jī)化學(xué)基礎(chǔ)里的同分異構(gòu)體之后，這樣不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本圖形位置關(guān)系的理解，還可以強(qiáng)化其對(duì)空間圖形表面積和體積的認(rèn)識(shí)。在全方位剖析正方體后，教師讓學(xué)生概括出正方體定義，經(jīng)過(guò)討論、糾正，這些表述都是比較恰當(dāng)?shù)模f(shuō)明學(xué)生通過(guò)直觀感知能夠提煉出概念。

5.理解正方體中的截面

已知正方體的棱長(zhǎng)為 1，每條棱所在直線與平面 α 所成的角都相等，則 α 截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）。

生 12：如圖 5，每個(gè)正方體有三組四棱平行，因此其12條棱可以歸結(jié)到同一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，故只需平面 α 與這三條棱成角相等即可，由此可得平面 α 與 A1C 垂直，可以分析三個(gè)極端位置——正△AB1D1，正六邊形 EFGHIJ， 正△C1BD，再比較它們的面積發(fā)現(xiàn)正六邊形面積最大，選A。

師：?jiǎn)芜x題可以使用直接法、篩選法、帶入法、估算、特殊化和極端分析法，如果是解答題呢？

生 13：因?yàn)槠矫?α 與 A1C 垂直，則平面 α 與底面所成的角也為定值，因此截面面積等于它在底面的投影的面積除以?shī)A角的余弦，所以只要比較投影的面積，就可以得到正六邊形的投影面積最大。

師：截面α的面積轉(zhuǎn)化為投影面積后，問(wèn)題就轉(zhuǎn)換到底面的正方形中來(lái)了，立體幾何問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了降維思想?，F(xiàn)在我們用繪圖軟件Geogebra來(lái)模擬平面α沿著垂直于A1C方向移動(dòng)的動(dòng)畫(huà)（如圖6），請(qǐng)大家仔細(xì)觀察。

前面四個(gè)微專(zhuān)題幫助學(xué)生厘清正方體中的元素位置關(guān)系后，這一專(zhuān)題引導(dǎo)學(xué)生挑戰(zhàn)一些綜合題，可以在章末復(fù)習(xí)和高三復(fù)習(xí)階段進(jìn)行。截面問(wèn)題是繼面積、體積、角、距離之后的一個(gè)難點(diǎn)，尤其是幾何體與球的接、切、截問(wèn)題是近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)，如果空間想象能力不足，學(xué)生做這類(lèi)問(wèn)題則會(huì)很困難，而通過(guò)研究正方體模型獲得的經(jīng)驗(yàn)可以助力此類(lèi)問(wèn)題的解決。

三、教學(xué)感想

1.以“正方體模型”為典型模型進(jìn)行教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

以上幾個(gè)微專(zhuān)題按照知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程以及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，以正方體為載體，按照由表及里、由淺入深的順序，從正方體的頂點(diǎn)、 棱、面之間的各種位置關(guān)系出發(fā)，理解、掌握、強(qiáng)化直線與平面的三種位置關(guān)系，并在理解線線、線面、面面的平行與垂直的判定與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，探究立體幾何中的各種角與距離，最后再深化到正方體與球的接、切、截問(wèn)題。借助常見(jiàn)的正方體模型，學(xué)生對(duì)抽象的立體幾何知識(shí)看得見(jiàn)、想得通，降低了學(xué)習(xí)難度，學(xué)生能夠輕松叩開(kāi)立體幾何的大門(mén)。以上微專(zhuān)題可以針對(duì)不同水平的學(xué)生相機(jī)靈活安排，可以一節(jié)課完成多個(gè)部分，也可以多節(jié)課完成一個(gè)部分，后續(xù)還可以進(jìn)一步引入歐拉公式，研究自然界中僅有的五種正多面體。正方體研究透徹后，學(xué)生對(duì)其余的幾何體就可以做到觸類(lèi)旁通。

2“. 正方體模型”專(zhuān)題教學(xué)能夠?qū)αⅢw幾何學(xué)習(xí)起到鋪墊、引領(lǐng)、促進(jìn)作用

正方體是學(xué)生最早接觸和最熟悉的幾何體。將正方體降維可以退到正方形，類(lèi)比正方形的周長(zhǎng)、面積、內(nèi)切圓、外接圓，可以發(fā)現(xiàn)和探究正方體的表面積、體積、內(nèi)切球、外接球；正方體還可以退到正四棱柱、長(zhǎng)方體、正四棱柱、四棱柱，在長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)中，1立方米是用棱長(zhǎng)為 1 米的正方體體積來(lái)表示的，因此正方體“麻雀雖小，五臟俱全”。立體幾何是在點(diǎn)線面的基礎(chǔ)上研究空間角、距離、面積、體積以及它們位置關(guān)系的學(xué)科，這些元素正方體模型中都包含。運(yùn)用空間想象力進(jìn)入正方體的內(nèi)部，就會(huì)發(fā)現(xiàn)信息量巨大，既有三種角和六種距離，又含有線線、線面、面面位置關(guān)系所涉及的每一類(lèi)題型，還有內(nèi)切球、棱切球、外接球以及不斷變化的截面問(wèn)題，可以說(shuō)正方體既是最簡(jiǎn)單的，也是最復(fù)雜的多面體。

不少學(xué)生因?yàn)檎襟w太常見(jiàn)、太熟悉，很少深入思考它，因此對(duì)它又很陌生。筆者認(rèn)為，讓學(xué)生從熟悉而又陌生的正方體入手，將正方體研究透徹，以此找到立體幾何學(xué)習(xí)的切入點(diǎn)，是能事半功倍的。筆者按照從外往內(nèi)，由直觀到抽象的順序，設(shè)計(jì)了以上微專(zhuān)題，在筆者所在學(xué)校使用后，師生反饋效果較好。現(xiàn)行的各類(lèi)教材、資料中盡管都有類(lèi)似的專(zhuān)題，但多是分布于各個(gè)不同部分，學(xué)生不能領(lǐng)悟到新課標(biāo)要求的學(xué)習(xí)的連續(xù)性與整體性。筆者認(rèn)為，到了適當(dāng)?shù)臅r(shí)間、適當(dāng)?shù)恼鹿?jié)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)正方體進(jìn)行全方位的總結(jié)能夠幫助學(xué)生做到對(duì)立體幾何知識(shí)的整體把握。

3.傳統(tǒng)教學(xué)手段與信息化技術(shù)相結(jié)合是提升教學(xué)效率的關(guān)鍵

在這組微專(zhuān)題中，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、感知、制作實(shí)物模型，展開(kāi)空間想象，同時(shí)將傳統(tǒng)手工制作與現(xiàn)代信息技術(shù)相結(jié)合，并結(jié)合化學(xué)中的同分異構(gòu)體，圖文并茂、由表及里、由淺入深，設(shè)置合理的梯度，讓學(xué)生腳踏實(shí)地地邁好每一步，逐漸掌握正方體的方方面面。教師要注重信息化手段與傳統(tǒng)教學(xué)手段的合理搭配，這樣才能顯著提升教學(xué)效率。Geogebra不僅具備幾何畫(huà)板的二維繪圖功能，更具有三維動(dòng)態(tài)展示以及幾何、代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、微積分等功能，特別適合初高中數(shù)學(xué)教學(xué)展示，比如本文中求正方體棱切球半徑、線面角、二面角，正方體的截面變化研究以及“傘的模型”等。蘇教版高中數(shù)學(xué)課本也多次應(yīng)用到了此軟件。而像剪紙盒、切橡皮泥、切土豆等傳統(tǒng)教學(xué)手段也是不可或缺的，因?yàn)檫@些手段取材方便、成本低廉，還能鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力。教師要把握好二者之關(guān)系，不能走兩個(gè)極端。如何在教學(xué)中高效融入學(xué)生動(dòng)手能力、現(xiàn)代信息技術(shù)等，值得每一位數(shù)學(xué)教師認(rèn)真思考。