在解讀與表征中明晰概念
——《加減法的意義和各部分間的關(guān)系》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題展評和教學(xué)建議

文|丁玉成 傅嬌玲

一、習(xí)題展評

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容

選擇兩條信息，提出加法問題并列式計算，看看你能提幾個。

2.能力指向

在豐富的現(xiàn)實情境中識別并提取相關(guān)聯(lián)的信息，提出具有合并本質(zhì)的加法問題，在現(xiàn)實意義中感受同類量才能合并，豐富加法的內(nèi)涵與外延。

3.學(xué)情分析

對城區(qū)學(xué)校40 名學(xué)生進(jìn)行檢測，能準(zhǔn)確提出3 種問題并列式的學(xué)生占33.3%，2 種的占30.8%，1種的占25.6%，0 種占10.3%。每種問題準(zhǔn)確提出的情況如表1。

表1

結(jié)合以上兩份數(shù)據(jù)分析，學(xué)生在復(fù)雜情境中提取信息、提出問題的能力需要加強(qiáng)。如果題目形式為獨立呈現(xiàn)兩條信息提出一個加法問題，對于四年級學(xué)生來說就沒有難度，正確率會大幅提升，但將多條信息置于一個關(guān)聯(lián)性的情境中去有選擇地提取信息，恰是最貼近生活原型的，也是數(shù)學(xué)中需要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)。

從3 個問題所呈現(xiàn)的不同正確率，可以看出學(xué)生對于反向思考的求“原來是多少”的加法問題最有困難，這與人們習(xí)慣以事情發(fā)展順序思考問題有關(guān)。學(xué)生錯誤的類型主要有兩個，一是提出了減法問題；二是將不同類量進(jìn)行合并，如“甘蔗和蘋果一共多少？”教師應(yīng)設(shè)計多種形式的加法問題，使學(xué)生接觸各種類型加法模型，理解同類量合并的意義，理清加法內(nèi)涵，豐富加法概念的外延。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容

（1）下面問題能用下圖表示的是（）。

①池塘里原有5 只鴨子，又游來了3 只，現(xiàn)在有幾只鴨子？

②爺爺收藏了一個價值5 萬元的古董，預(yù)計十年后能增值3萬元，十年后這個古董價值多少萬元？

③丁丁被同學(xué)借走了5 本科幻書，家里還剩3 本，丁丁原來有多少本科幻書？

④湖中有5 只天鵝，其中3只是白天鵝，黑天鵝有多少只？

A.①②③ B.①②④

C.①②D.①②③④

（2）已知▲-●=■，那么下列算式錯誤的是（）。

A.▲-■=● B.●+■=▲

C.▲+■=● D.●+■+▲=2 個▲

2.能力指向

第（1）題指向加法意義理解，通過對實際問題與圖示的解讀，抽象出加法的合并模型。第（2）題鞏固加減法之間的關(guān)系。

3.學(xué)情分析

第（1）小題正確率82%。錯誤選項集中在C，即個別學(xué)生沒有識別③號的加法原型。第（2）小題正確率92.5%，可見學(xué)生能從數(shù)字靈活遷移運(yùn)用到字母、圖形等各類形式，對單純判斷加減法各部分間的關(guān)系掌握較好。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容

（1）一根竹竿插入池塘，露出水面部分103cm，水底泥中部分長42cm，水中部分長247cm，這根竹竿長多少？（先畫一畫圖，標(biāo)注信息和問題，再計算）

（2）小馬虎在做一道減法題時把減數(shù)72 錯寫成了27，這時得到的差是280，正確的差應(yīng)該是多少？（請列式求出正確的差并介紹你的想法）

2.能力指向

拓展加法含義，將兩部分合并拓展到三部分，在實例中進(jìn)一步感受加法的本質(zhì)。理清加減法算式各部分之間的關(guān)系，通過描述想法來發(fā)展推理能力。

3.學(xué)情分析

第（1）題：本題32 人列式正確，占82.5%，有3 人計算出錯，4 人將水底泥中部分理解為水中部分。

分析中發(fā)現(xiàn)有40%多的學(xué)生在圖中沒有標(biāo)注問題，平時畫線段圖也存在這樣的現(xiàn)象，需要從簡單的實際問題開始加強(qiáng)信息與問題的結(jié)構(gòu)認(rèn)識，正確表征信息和問題可以幫助學(xué)生清楚地分析數(shù)量關(guān)系，為后續(xù)解決復(fù)雜的問題提供幫助。（見表2）

表2

第（2）題：能準(zhǔn)確求出正確差的學(xué)生占到了92%以上（見表3），可見對于四年級的學(xué)生來說加減法之間的互逆關(guān)系能夠靈活推算、準(zhǔn)確運(yùn)用。能把想法推理介紹清楚的學(xué)生不到一半，反映出“重運(yùn)用，輕表達(dá)”的教學(xué)現(xiàn)狀，學(xué)生在語言表達(dá)、數(shù)學(xué)推理方面存在短板，因此教學(xué)中要注重從因到果一步步嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评肀硎?，在分析中鞏固對概念的理解與運(yùn)用。

表3

二、教學(xué)建議

1.構(gòu)建多元加法類型，厘清內(nèi)涵與外延

數(shù)學(xué)中的加法問題常常伴有一定的數(shù)學(xué)特征，如“一共”便是數(shù)學(xué)中加法的代言詞，教材與配套練習(xí)中反復(fù)出現(xiàn)的類似情境也成為了加法的熟面孔。生活中存在很多加法問題，有并列的部分量合并、原部分與增加部分的合并、消耗部分與剩余部分的合并等，從本質(zhì)上看都是同類量的合并。教師需要提供現(xiàn)實復(fù)雜的生活情境，去構(gòu)建多元的加法類型。如第1 題創(chuàng)設(shè)了水果店外賣的情境，讓學(xué)生在多條信息中提取出相關(guān)聯(lián)的信息提出數(shù)學(xué)問題，三個問題的類型不同，如果是獨立的三道題，相信對學(xué)生來說沒有難度，但是糅合成一道需要自主提取信息并提出問題的類型，干擾因素?fù)诫s其中，難度大大提升，學(xué)生要能從復(fù)雜的信息中甄別、精選、提問，這是提取加法結(jié)構(gòu)的過程，也是解決問題的過程，是最應(yīng)培養(yǎng)的問題解決能力。又如第2題的第（1）小題，每個選項都是不同類型的加法問題，在與圖示模型的比對中厘清加法概念的內(nèi)涵與外延。

2.提供多維表現(xiàn)形式，促加法原型理解

對加法合并原型的充分理解可以借助多維的表現(xiàn)形式，豐富情境、生活用語、不同圖示等都能使加法意義變得靈動、立體。情境的創(chuàng)設(shè)要從單一的數(shù)學(xué)描述型向貼近學(xué)生生活實際的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)變；對于諸如原部分與增加部分的合并問題，不僅僅限于“又多了”“增加了”，還要將增加的詞語進(jìn)行拓展，把加量、超額、提價等學(xué)生較為陌生的生活用語進(jìn)行設(shè)計；圖示的豐富性也可以從實物圖、點子圖、條子圖、線段圖、表格法等進(jìn)行突破。通過多維表現(xiàn)形式的突破，促進(jìn)學(xué)生對加法原型的理解。

3.創(chuàng)設(shè)多樣表征舞臺，詮釋意義與關(guān)系

從對習(xí)題分析中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對列式不存在困難，但對各種形式的加減法意義的表征卻有所缺失，教師應(yīng)幫助學(xué)生創(chuàng)設(shè)多樣的表征舞臺，讓他們有機(jī)會對理解進(jìn)行詮釋，促進(jìn)對加減法意義與相互間關(guān)系的理解。如第3 題的兩小題給學(xué)生提供了表達(dá)的機(jī)會，有將近一半的學(xué)生能夠?qū)⒆约旱睦斫饩恃堇[，但也有部分學(xué)生表現(xiàn)出表達(dá)的弱勢。用線段圖表征插入水中竹竿的長度能使學(xué)生更好地理解三部分合并的加法本質(zhì)，用橫向線段圖表征具有通用性，用豎直線段圖則對于本題來說更為直觀。錯中求解題通過圖示、語言描述等形式，能將潛意識中存在的加減法關(guān)系進(jìn)行實質(zhì)性地表述，雖然加大了難度，但卻能更深刻地理解加減法的互逆關(guān)系。