設(shè)計(jì)“畫中探究”活動(dòng) 感悟“變中不變”思想
——《平行四邊形面積》練習(xí)課設(shè)計(jì)與思考

文|陳 昱（特級(jí)教師） 朱素姍

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)第二單元有關(guān)“平行四邊形面積”的操作性練習(xí)：第11 頁“練習(xí)二”第5 題，第27 頁“整理與練習(xí)”第12 題。

【學(xué)情簡析】

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行四邊形的面積計(jì)算，本課屬于練習(xí)拓展。學(xué)生需要在解決問題的過程中搞清楚為什么變形后圖形的周長未變而面積變小了，減少的面積到底是怎么變小的等問題。對(duì)學(xué)生來說有一定難度，需要給予探索、交流的場域。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.學(xué)生通過畫圖等探究和推理活動(dòng)搞清楚長方形框拉成平行四邊形前后面積變小的原因，并會(huì)清楚表征和表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)，深刻理解平行四邊形的不穩(wěn)定性。

2.學(xué)生在探究、交流等活動(dòng)中初步領(lǐng)會(huì)“變與不變”思想，增強(qiáng)獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)能力和推理意識(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

探究平行四邊形變形問題，理解背后的道理。

【教學(xué)難點(diǎn)】

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的探究、表征、推理，在“變與不變”中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的一致性。

【設(shè)計(jì)意圖：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》體現(xiàn)“素養(yǎng)為綱、綜合育人、實(shí)踐育人”，要求一線教師在教學(xué)中制訂指向核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)、整體把握教學(xué)內(nèi)容、選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式、進(jìn)一步加強(qiáng)綜合與實(shí)踐，以及注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的融合。具體怎么做？筆者在練習(xí)教學(xué)中做了一些嘗試：1.緊扣學(xué)科大觀念，圍繞“平行四邊形邊長確定、形狀不確定”展開探究練習(xí)；2.指向推理意識(shí)、幾何直觀、空間觀念、應(yīng)用意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育；3.精選具體的操作性問題做深做透，體現(xiàn)練習(xí)上的“少即多”；4.設(shè)計(jì)表現(xiàn)性任務(wù)，體現(xiàn)學(xué)教評(píng)的一致性和知識(shí)的一致性?！?/p>

【教學(xué)過程】

一、引入

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了多邊形的面積計(jì)算，今天繼續(xù)來探究（板書：圖形變變變）。看到這個(gè)課題，你想到了什么？（引出平行四邊形的變形問題）

【設(shè)計(jì)意圖：以“圖形變變變”作課題，有如下思考：1.學(xué)生由課題聯(lián)想到平行四邊形的不穩(wěn)定性，引出探究性問題；2.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利于學(xué)生較快投入到圖形變化的探究中；3.預(yù)示本課涉及的平行四邊形變形問題具有“多變性”，需要具體問題具體分析，才能探究出變化背后不變的道理?！?/p>

二、主體活動(dòng)：探究“木條框”問題

1.出示問題：用細(xì)木條釘成一個(gè)長方形框，長12 厘米、寬7 厘米。它的周長和面積各是多少？

（1）你能想象出這個(gè)長方形嗎？請(qǐng)你畫出示意圖，并算出周長和面積。

（學(xué)生畫圖計(jì)算，教師巡視）

（2）指名板演，說說求周長和面積的過程與結(jié)果。

2.繼續(xù)出示：如果拉成一個(gè)平行四邊形……

（1）你還能想象嗎？在腦海里拉一拉，會(huì)變成什么樣子？你還能畫出這個(gè)平行四邊形嗎？就在剛才長方形的基礎(chǔ)上畫，盡量畫得準(zhǔn)確一些。

（學(xué)生畫圖，教師巡視）

（2）對(duì)比展評(píng)典型作品：你贊同哪一種？為什么？辨析后動(dòng)態(tài)展示幾何畫板課件：平行四邊形的變形，學(xué)生直觀感受和確認(rèn)；學(xué)生修改自己的圖。

3.周長沒變，那面積呢？

（1）觀察：變形前后，什么沒變？（邊長，周長）什么變了？變大了還是變小了？為什么？你能畫圖說明嗎？

學(xué)生自主畫圖探究，教師巡視輔導(dǎo)。關(guān)鍵性引導(dǎo)：不容易一眼看出變形前后的長方形和平行四邊形面積誰大誰小，你能想辦法在圖上畫一畫、移一移，使人一眼就能看出大小嗎？

（2）小組交流，互相說說有什么發(fā)現(xiàn)，為什么。教師巡視，選取典型作品。

（3）全班展臺(tái)展評(píng)：結(jié)合畫圖作品，說明變形后圖形的面積為什么變小了？組織生生評(píng)價(jià)。

（4）動(dòng)態(tài)演示幾何畫板課件：平行四邊形變形時(shí)面積的變化，學(xué)生初步感受，適時(shí)完善板畫，改進(jìn)作品。

4.再次演示幾何畫板課件（顯示數(shù)據(jù)），觀察：你有什么發(fā)現(xiàn)？引出：拉得越厲害，面積越小（板書），追問：圖形面積變小的根本原因是什么？討論得出：拉得越厲害，高越小，面積越?。ㄑa(bǔ)板書）。

【設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)前測表明，有約一半的學(xué)生不會(huì)正確畫圖表征平行四邊形不穩(wěn)定性變形問題，常見的錯(cuò)例如圖1，其錯(cuò)因恰恰是學(xué)生不理解平行四邊形變形過程中邊長保持不變，而高隨著形狀（邊的夾角）變化而變化——這也是理解整個(gè)問題的關(guān)鍵。因此，本設(shè)計(jì)放慢學(xué)習(xí)過程：

圖1

圖2

圖3

圖4

1.分三步畫圖：第一步，畫長方形，求其周長和面積，門檻較低，全體學(xué)生都能順利進(jìn)入。這一步除了引導(dǎo)學(xué)生快速進(jìn)入探究活動(dòng)，還可以培養(yǎng)其數(shù)感：利用作品展評(píng)引導(dǎo)學(xué)生比較和判斷：哪一幅作品更好？怎樣畫一個(gè)長12 厘米、寬7 厘米的長方形草圖？數(shù)感比較好的學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)：12 厘米的一半是6 厘米，所以這個(gè)長方形的寬應(yīng)該比長的一半稍微長一點(diǎn)，據(jù)此畫出來的草圖就更準(zhǔn)確。第二步，畫變形后的平行四邊形，沒有給實(shí)物操作，突出學(xué)生的空間想象，利于反饋學(xué)生的真實(shí)理解水平；通過辨析理解：變形過程中周長及邊長不變，夾角、高和形狀變化，即變化的是夾角、高和形狀，保持不變的是邊長、周長，為后面理解面積變化做準(zhǔn)備；注意本環(huán)節(jié)要組織學(xué)生辨析，說清道理，促進(jìn)空間想象和變形推理能力的提升。第三步，畫變形后面積變小的說明圖，利用幾何直觀、數(shù)形結(jié)合輔助理解原理；并且在交流不同作品和演示幾何畫板動(dòng)圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形在變形過程中面積的變化規(guī)律。（注：圖1～4 是學(xué)生課堂上隨著教學(xué)推進(jìn)理解水平不斷提升的四幅作品）

2.三次演示幾何畫板動(dòng)圖：第一次，第二步畫平行四邊形時(shí)出現(xiàn)不同意見，表現(xiàn)出不同畫法，體現(xiàn)學(xué)生空間觀念發(fā)展上的不同層次。在辨析基礎(chǔ)上出示幾何畫板制作的動(dòng)圖，強(qiáng)化和鞏固正確意見，用最直觀的方式糾正一部分學(xué)生的認(rèn)知偏差。第二次，第三步畫圖并展評(píng)之后，出示幾何畫板動(dòng)圖，將前面學(xué)生指圖解說的道理進(jìn)一步動(dòng)態(tài)化，非常直觀且清晰地“看到”面積的確在變小或反向變大，初步感受平行四邊形面積變化的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)底不變情況下是高的變化引起了面積的變化。第三次，在學(xué)生以上探究活動(dòng)之后，大部分學(xué)生的認(rèn)識(shí)提升已經(jīng)初步完成，知識(shí)學(xué)習(xí)和問題解決做到了充分經(jīng)歷、感悟、思考，此時(shí)再次呈現(xiàn)幾何畫板動(dòng)圖，所不同的是這次顯示了平行四邊形高、底和面積的數(shù)據(jù)，直觀之上平添了一層精確，學(xué)生據(jù)此可以明確平行四邊形底不變，面積隨著高的變化而變化，高越大面積越大，高越小面積越小。】

三、收束

1.總結(jié)：這節(jié)課我們探究了什么問題？我們是怎么研究的？這個(gè)結(jié)論在現(xiàn)實(shí)生活中有應(yīng)用嗎？

引出伸縮門、升降機(jī)、機(jī)械手臂等實(shí)際應(yīng)用，追問：現(xiàn)實(shí)生活中平行四邊形的所有變形問題都是這樣的嗎？引出“練習(xí)本變形問題”。

2.延伸。

出示問題：把20 本練習(xí)本摞成一個(gè)長方體，前面是一個(gè)長方形；再把這摞練習(xí)本均勻地斜放，這時(shí)前面變成了一個(gè)近似的平行四邊形。變形前后，前面的周長和面積變了嗎？為什么？

課后探究完成數(shù)學(xué)畫作業(yè)。

【設(shè)計(jì)意圖：1.反思問題解決過程，總結(jié)問題解決方法，積累問題解決經(jīng)驗(yàn)；2.學(xué)用結(jié)合，將研究結(jié)論應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和數(shù)學(xué)的價(jià)值；3.引出新問題，將研究延伸到課外，在強(qiáng)烈的問題驅(qū)動(dòng)下學(xué)生自主投入到更加深入的探究活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)新問題中平行四邊形在變形時(shí)因?yàn)楦弑３植蛔兯悦娣e不變而周長發(fā)生了變化；為下節(jié)課的展評(píng)和對(duì)比做好鋪墊，最終引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的復(fù)雜性和深刻性，提高學(xué)生在面對(duì)真實(shí)復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題時(shí)能夠具體問題具體分析、正確辨別、全面認(rèn)識(shí)，最終抓住“變中不變”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)的無限魅力?！?/p>

四、板書設(shè)計(jì)

圖形變變變

問題→想象、畫圖、推理……（數(shù)學(xué)畫）→結(jié)論→應(yīng)用→新問題……

【教學(xué)反思】

本節(jié)課在課堂教學(xué)實(shí)踐中遇到諸多問題，引發(fā)我們的思考，下面主要反思兩個(gè)問題：

一、課堂出現(xiàn)“學(xué)霸”怎么辦？——利用數(shù)學(xué)畫說圖活動(dòng)引導(dǎo)全體學(xué)生跟上節(jié)奏

課堂是無法完全預(yù)設(shè)的，這正是其靈動(dòng)美妙的地方。本課在送教無為市時(shí)遇到一位“學(xué)霸”，諸多問題他很快就有了比較準(zhǔn)確的理解，且能很完整準(zhǔn)確地加以解釋。如此，課堂進(jìn)程就比較順暢，從而極有可能造成部分學(xué)生思維跟不上，而他們的困惑會(huì)被課堂的整體順暢所掩蓋。為了解決這一隱性危機(jī)，教師臨時(shí)改動(dòng)設(shè)計(jì)，開展了一次“請(qǐng)三位同學(xué)依次說理”的反饋評(píng)議活動(dòng)，安排在第三步學(xué)生自主畫圖探究之后。

第一位學(xué)生是請(qǐng)其上臺(tái)板畫想法的學(xué)生A，他上臺(tái)指圖解說；第二位學(xué)生是教師巡視時(shí)選其畫作作為典型作品的學(xué)生B，他在展臺(tái)邊說道理；第三位學(xué)生是教師出示幾何畫板動(dòng)圖后，在臺(tái)下看動(dòng)圖解說的學(xué)生C。三人說得既有共同點(diǎn)也有不同，雖然沒有“學(xué)霸”那樣流利，但也可圈可點(diǎn)，尤其是他們說出了自己一開始想不太明白的地方，以及后來如何找到突破方法的過程，對(duì)其他學(xué)生有很大的啟示作用。如此三次下來，一部分存有困惑的學(xué)生有時(shí)間跟上來，所有學(xué)生都基本搞清楚了現(xiàn)象背后的道理。至此，本課重難點(diǎn)得以堅(jiān)實(shí)落地。

無論預(yù)設(shè)還是生成應(yīng)對(duì)，教學(xué)的指向永遠(yuǎn)是學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)需求。因需而動(dòng)，緣學(xué)而教，也永遠(yuǎn)是“數(shù)學(xué)畫”教學(xué)的課堂追求之一。

二、新時(shí)代數(shù)學(xué)課堂如何減負(fù)增效？——利用教育信息技術(shù)為數(shù)學(xué)畫展評(píng)賦能

本課多次運(yùn)用了實(shí)物展臺(tái)和幾何畫板課件，給予學(xué)生和觀課教師深刻的印象。我們對(duì)教育信息技術(shù)有著自己的認(rèn)識(shí)：

1.用“傻瓜”技術(shù)保障常態(tài)教學(xué)。我們特別看重實(shí)物展臺(tái)，認(rèn)為這是班班通設(shè)備中最接地氣、最有利用價(jià)值的一款，使用和維護(hù)都非常簡便，最能對(duì)學(xué)情進(jìn)行及時(shí)反饋和有效互動(dòng)。

2.用“高端”技術(shù)點(diǎn)亮智慧課堂。在保障常態(tài)教學(xué)底線的基礎(chǔ)上，信息時(shí)代的教師應(yīng)該學(xué)習(xí)一項(xiàng)學(xué)科信息化工具或者積極學(xué)習(xí)和使用智慧課堂設(shè)備與技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)智慧教和智慧學(xué)而努力。比如數(shù)學(xué)學(xué)科教師可以學(xué)習(xí)利用幾何畫板工具，數(shù)形結(jié)合、幾何直觀，在學(xué)生理解的困惑處發(fā)揮作用，并助益學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本課幾何畫板動(dòng)圖的運(yùn)用對(duì)學(xué)生理解“平行四邊形不穩(wěn)定性”的數(shù)學(xué)本質(zhì)和感悟“變與不變”思想很有幫助。

3.用“研究”態(tài)度實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效。所有設(shè)備與技術(shù)的使用要達(dá)到效果都必須賴以“研究”的途徑。教育信息技術(shù)要真正實(shí)現(xiàn)為課堂賦能，絕不能為技術(shù)而技術(shù)，把課堂變成充斥著聲光電的演示廳，表面熱鬧，收效甚微。廣大教師需要潛心研究教育信息技術(shù)與課堂教學(xué)的深度融合課題，探尋和遵循教育教學(xué)規(guī)律和學(xué)生學(xué)科學(xué)習(xí)規(guī)律?！皵?shù)學(xué)畫”項(xiàng)目組格外重視能夠?yàn)樽髌氛乖u(píng)和學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)提供有力支撐的信息技術(shù)，并以課題方式加以專門研究，為數(shù)學(xué)教學(xué)減負(fù)增效。