從“知識(shí)獲得”到“思維生長(zhǎng)”
——以“商不變性質(zhì)”的實(shí)證測(cè)評(píng)與教學(xué)改進(jìn)為例

文|田小勤

一、研究緣由

2021 學(xué)年第一學(xué)期的區(qū)域四年級(jí)數(shù)學(xué)期末測(cè)試，編制了試題“400÷1①800÷22”，其命題意圖是“商不變性質(zhì)”的應(yīng)用，即被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘2，商不變，從而判斷○里應(yīng)填“=”。測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)出乎意料，此題得分率僅為70.8%，明顯低于命題的難度預(yù)估。為了尋找其中緣由，以便更及時(shí)地進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)，于是，在2021 學(xué)年第二學(xué)期期初就選擇四年級(jí)8 個(gè)班學(xué)生，組織了再次測(cè)評(píng)與分析。測(cè)評(píng)內(nèi)容是①300÷1②150÷6，②50÷20○150÷60，③18÷8○9÷4。測(cè)試要求是“在○里填上＞、<或=，并說明理由（可以用計(jì)算、畫圖、文字等方式）”，測(cè)試強(qiáng)調(diào)了“說明理由”，試圖發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維過程，診斷學(xué)生的思維水平，以便探索更合理的學(xué)習(xí)路徑，促進(jìn)學(xué)生的思維成長(zhǎng)。

二、測(cè)評(píng)分析

1.基本測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)

三道測(cè)試題的正確率分別是96%、37.6%、41%，主要思考方法有“先求商再比較”和“應(yīng)用商不變性質(zhì)”。

2.主要問題分析

三道題的正確率存在明顯差異，主要原因如下：第②題50÷20○150÷60 和第③題18÷8○9÷4，兩邊算式的計(jì)算結(jié)果都有余數(shù)，它們的余數(shù)不同，大部分學(xué)生就根據(jù)余數(shù)“10<30”來判斷填寫“<”，從而導(dǎo)致較高的錯(cuò)誤率。而第①題300÷1②150÷6，兩個(gè)除法算式都是整除，無(wú)論是通過計(jì)算還是應(yīng)用“商不變性質(zhì)”，兩邊大小都相等，因此正確率較高。

上述分析表明：一是學(xué)生尚未形成主動(dòng)觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇合適運(yùn)算方法的意識(shí)，表明數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之“運(yùn)算能力”還有待提升。二是學(xué)生對(duì)“商不變性質(zhì)”的理解停留在表面淺層，更多是形式化的模仿應(yīng)用，缺少本質(zhì)理解與深入研究。

3.思維水平診斷

（1）單點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的思維水平

第一個(gè)作品——能用“列豎式計(jì)算”的方法，但不理解“余數(shù)”對(duì)結(jié)果的影響。無(wú)理由的忽略余數(shù)，填寫“=”只是一個(gè)巧合。

第二個(gè)作品——通過計(jì)算有余數(shù)除法，發(fā)現(xiàn)商不變，余數(shù)不同，就根據(jù)余數(shù)的大小判斷，沒有進(jìn)一步思考余數(shù)與運(yùn)算結(jié)果的關(guān)聯(lián)。

（2）多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的思維水平

第三個(gè)作品——訪談可知，學(xué)生可以確定兩邊相等，但用一般的有余數(shù)除法卻不能說清楚，就換一種計(jì)算方法，應(yīng)用五年級(jí)的小數(shù)除法來說明相等關(guān)系。

第四個(gè)作品——學(xué)生能觀察兩邊算式的數(shù)據(jù)、分析被除數(shù)和除數(shù)都是“乘2”，由此判斷符合商不變性質(zhì)，并作出判斷。

第五個(gè)作品——學(xué)生先通過兩種計(jì)算，得到不同的判斷結(jié)果，用小數(shù)表征是“=”，有余數(shù)除法計(jì)算是“<”；然后又考慮了商不變性質(zhì)，得到的是“=”。因?yàn)槿N方法無(wú)法相互支撐，又沒能力解釋其中的沖突，學(xué)生只能寫出兩個(gè)矛盾的答案。

（3）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次的思維水平

第六個(gè)作品——通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩邊結(jié)果看起來不相同，但進(jìn)一步思考“余數(shù)”的意義，遷移平均分物的經(jīng)驗(yàn)，“余下來的2 個(gè)平均分給8 人”和“余下來的1 個(gè)平均分給4 人”，其結(jié)果是相同的。

第七個(gè)作品——從算式大小比較，能聯(lián)系其運(yùn)算意義，借助線段圖直觀表征兩幅圖之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)每份是同樣多的。

三、課堂教學(xué)改進(jìn)實(shí)踐與策略

1.豐富教材學(xué)習(xí)材料，生成有挑戰(zhàn)的問題

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)教材在編排“商不變性質(zhì)”時(shí)，提供的例題和所有相關(guān)的練習(xí)都是整除算式，缺少多視角理解商不變性質(zhì)的本質(zhì)，忽略除法算式中各部分之間的關(guān)聯(lián)，缺少認(rèn)知的沖突與釋疑，缺失了高階思維的發(fā)展。

重新設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)材料可以有三方面轉(zhuǎn)變：一是從單純的算式計(jì)算到真實(shí)問題解決。在研究中可創(chuàng)設(shè)一組有結(jié)構(gòu)的問題解決，可以是“平均分物，誰(shuí)多誰(shuí)少”的問題，可以是“比較單價(jià)的購(gòu)物問題”等等，既體現(xiàn)研究“商不變性質(zhì)”的實(shí)際意義，又能借助實(shí)際情境理解商不變性質(zhì)的合理性。二是在情境中有意識(shí)地設(shè)計(jì)包括整除和不能整除的數(shù)據(jù)，使形成的研究材料類型多元，利于引發(fā)強(qiáng)烈的問題沖突，激起對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和深入研究的求知欲。三是從教師（教材）提供到學(xué)生自主編制，這比較適用于學(xué)生已知“商不變性質(zhì)”這樣的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，放手讓學(xué)生自己尋找材料進(jìn)行證明與闡釋。

2.聚焦真問題的研究，促進(jìn)深度思考

學(xué)生面對(duì)如“18÷8○9÷4”，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)余數(shù)有大有小，通過應(yīng)用商不變性質(zhì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)算式相等，結(jié)論不同，但似乎又各自合理，學(xué)生陷入了“思維困境”！這樣的時(shí)刻正好是發(fā)展高階思維的契機(jī)，學(xué)生可能質(zhì)疑審辯，追問“在有余數(shù)除法里，商不變性質(zhì)還成立嗎”；可能有遷移應(yīng)用，提出“如果把余下來的繼續(xù)平均分，結(jié)果會(huì)相同嗎”；可能有方式創(chuàng)新，回歸知識(shí)原點(diǎn)，從運(yùn)算意義的視角給予直觀表征……

面對(duì)學(xué)生思維困境，教師不急著評(píng)價(jià)對(duì)錯(cuò)，不急著提供答案，也不急著提問暗示。鼓勵(lì)學(xué)生采用“畫畫圖、結(jié)合生活實(shí)例想一想、舉個(gè)例子試一試”等基本數(shù)學(xué)思維方法。跟進(jìn)課堂實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：有學(xué)生借助生活“分月餅”情境，把18 個(gè)月餅平均分給8 人，每人2個(gè)，還剩2 個(gè)，把剩下的2 個(gè)再平均分給8 人，每人分到個(gè)；把9個(gè)月餅平均分給4 人，每人也是2個(gè)和個(gè)，兩者同樣多；也有學(xué)生自覺結(jié)合購(gòu)物情境，通過人民幣單位換算，合情合理闡述兩邊相等的道理。隨著學(xué)習(xí)交流的推進(jìn)，逐漸達(dá)成共識(shí)，即無(wú)論是整除還是不整除的算式，商不變性質(zhì)都是成立的。

3.著眼問題解決全過程，提升思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵是發(fā)展學(xué)生思維，如類比、抽象、概括、轉(zhuǎn)化、歸納、推理等數(shù)學(xué)思維。如研究“18÷8○9÷4”，在計(jì)算前學(xué)生能否先觀察算式數(shù)據(jù)，思考有沒有更快捷合理的方法。當(dāng)發(fā)現(xiàn)兩種方法的結(jié)果存在矛盾時(shí)，能否大膽質(zhì)疑，提出“有余數(shù)除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，結(jié)果變了嗎”極具思維含量的問題。當(dāng)研究商不變性質(zhì)后，會(huì)不會(huì)主動(dòng)反思“我們是怎樣研究的、遭遇到什么疑惑以及解決的策略”，便于形成“發(fā)現(xiàn)規(guī)律—驗(yàn)證規(guī)律—提煉規(guī)律—質(zhì)疑規(guī)律—解釋規(guī)律—應(yīng)用規(guī)律”的研究路徑。在驗(yàn)證規(guī)律時(shí)，是否形成“要盡力舉出不同類的例子，并試圖去尋找反例，以便得到更確切、更具一般性的結(jié)論”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)研究商不變性質(zhì)后，會(huì)不會(huì)類比推理“是否存在差（和）不變性質(zhì)”，并在課外進(jìn)行自主探索，形成學(xué)習(xí)報(bào)告。在后續(xù)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”“比的基本性質(zhì)”時(shí)會(huì)不會(huì)自主遷移相關(guān)的研究路徑與方法……

總之，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，教師應(yīng)抓住知識(shí)本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的學(xué)習(xí)情境，促使學(xué)生積極地進(jìn)行思考，逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理，從而提升思維品質(zhì)。