• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    普通高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生培養(yǎng)的競賽驅(qū)動策略

    2023-07-25 01:20:46王廣廷
    現(xiàn)代基礎(chǔ)教育研究 2023年2期
    關(guān)鍵詞:培養(yǎng)策略

    摘? ?要: 普通高中對數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的早期識別和培養(yǎng)有利于引領(lǐng)學(xué)生的志趣,為拔尖人才的后續(xù)培養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。上海市上海中學(xué)通過設(shè)立數(shù)學(xué)班,以數(shù)學(xué)競賽為平臺,在數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)方面取得了豐碩的成果,為國家培養(yǎng)了眾多數(shù)學(xué)人才。學(xué)校根據(jù)不同層次數(shù)學(xué)競賽的特點(diǎn),針對課堂教學(xué)、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、冬令營、集訓(xùn)隊(duì)、國家隊(duì)培訓(xùn)不同的階段,制定不同的培養(yǎng)方案,在每個(gè)階段培養(yǎng)學(xué)生不同的能力,促進(jìn)學(xué)生的持續(xù)提升和突破。

    關(guān)鍵詞: 強(qiáng)潛能學(xué)生;數(shù)學(xué)競賽;培養(yǎng)策略

    為了加快建設(shè)教育強(qiáng)國、科技強(qiáng)國、人才強(qiáng)國,推動國家原始創(chuàng)新能力的發(fā)展,我國對基礎(chǔ)學(xué)科拔尖創(chuàng)新人才的需求越來越大?,F(xiàn)代科技的原始創(chuàng)新離不開數(shù)學(xué)領(lǐng)域的強(qiáng)力支撐,現(xiàn)在世界上的發(fā)達(dá)國家均是數(shù)學(xué)強(qiáng)國,我們國家的數(shù)學(xué)研究雖然取得了長足的進(jìn)步,但是與國際領(lǐng)先水平還有一定的差距,特別是基礎(chǔ)學(xué)科還不夠強(qiáng)。因此,國家越來越重視“中學(xué)生英才計(jì)劃”的深入實(shí)施。為響應(yīng)該計(jì)劃的實(shí)施,上海市上海中學(xué)(以下簡稱“上海中學(xué)”)開展多元化的學(xué)生培養(yǎng)模式:一方面是“請進(jìn)來”,學(xué)校持續(xù)推進(jìn)上中—復(fù)旦導(dǎo)師計(jì)劃、上中—交大計(jì)劃、各類實(shí)驗(yàn)組計(jì)劃等項(xiàng)目,選拔一批學(xué)有余力的學(xué)生在復(fù)旦、交大等高校教授的指導(dǎo)下參加學(xué)術(shù)研討和科學(xué)研究,激發(fā)科學(xué)興趣,提高創(chuàng)新能力;另一方面是“走出去”,讓學(xué)生走進(jìn)高校和科研院所的實(shí)驗(yàn)室,親自動手參與高校和科研院所的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目,不斷提高動手能力,體驗(yàn)科研過程。

    我們認(rèn)為,數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)研究人才自主培養(yǎng),需要進(jìn)一步強(qiáng)化普通高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的培養(yǎng),繼續(xù)引導(dǎo)對數(shù)學(xué)學(xué)科感興趣的強(qiáng)潛能學(xué)生在參加層次遞升的數(shù)學(xué)競賽中獲得數(shù)學(xué)能力的提升,激活他們持續(xù)開展數(shù)學(xué)探究的熱情。筆者作為數(shù)學(xué)奧林匹克的教練,嘗試從數(shù)學(xué)競賽的視角思考數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的成長要素,探索普通高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生培養(yǎng)的競賽驅(qū)動策略,并給予不同階段的數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生針對性的培養(yǎng)策略,嘗試為這些學(xué)生不斷走向飛躍、走向數(shù)學(xué)王國以及成為未來數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

    筆者所在的上海中學(xué)在數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生培養(yǎng)方面具備豐富而長期的實(shí)踐基礎(chǔ)。上海中學(xué)從1990年開始,在全市率先成立數(shù)學(xué)班,開展數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生培養(yǎng)模式的探索。30多年來為國家培養(yǎng)了數(shù)學(xué)方面的學(xué)生1200余名,他們中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、有天賦的學(xué)生有200多名,特別有天分的學(xué)生有50余名。為促進(jìn)普通高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的持續(xù)提升與能力突破,學(xué)校對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有強(qiáng)烈興趣與潛能的學(xué)生給予不同階段的競賽驅(qū)動,把握不同層次數(shù)學(xué)競賽特點(diǎn)和學(xué)生能力以及素養(yǎng)培育的重點(diǎn),根據(jù)數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展規(guī)律,制定不同的培養(yǎng)方案,形成競賽驅(qū)動策略。

    一、數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的早期識別與學(xué)校集聚培育

    數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的早期識別主要關(guān)注以下幾個(gè)方面12:對數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟力與理解的深刻性,體現(xiàn)在模式遷移、方法遷移、思想遷移和創(chuàng)新與突破上;對數(shù)學(xué)的癡迷度與專注度,體現(xiàn)在釋疑的堅(jiān)持性、探究的堅(jiān)持性、成敗的堅(jiān)持性和完美的堅(jiān)持性上;數(shù)學(xué)思維的縝密性與跳躍性等。學(xué)校在每一屆學(xué)生中開設(shè)數(shù)學(xué)班,每年從上千名對數(shù)學(xué)感興趣、有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力的高一新生中選拔40名左右組成數(shù)學(xué)班,創(chuàng)設(shè)專門的課程進(jìn)行培育。從1998年開始,每年又從數(shù)學(xué)班中挑選10名左右對數(shù)學(xué)領(lǐng)悟力強(qiáng)的學(xué)生組成數(shù)學(xué)小班,進(jìn)行小班化教學(xué)。課堂導(dǎo)引主要關(guān)注如下兩個(gè)方面:

    1.知識的全面性

    課堂教學(xué)的主要任務(wù)是完成高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓寬和加深,使學(xué)生能夠解決全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試的問題。本階段以知識為主線,目標(biāo)是高中數(shù)學(xué)完整的知識結(jié)構(gòu),注重培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯推理能力。在課程安排上要考慮系統(tǒng)性和全面性,合理地設(shè)置教學(xué)專題,使得數(shù)學(xué)競賽中的各個(gè)板塊內(nèi)容以及不同的思路方法在不同課型中螺旋式再現(xiàn)。表1羅列了課堂教學(xué)需要講授的一些內(nèi)容。

    2.問題的趣味性

    數(shù)學(xué)競賽問題都有一定的難度,雖然教學(xué)對象是對數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生,但是難題也會讓他們失去學(xué)習(xí)的興趣。因此,教師需要設(shè)置一些新穎的問題不斷吸引學(xué)生,使之保持學(xué)習(xí)興趣且不斷濃厚,盡可能避免出現(xiàn)畏難甚至厭學(xué)情緒。因此,在教學(xué)過程中要做到以下幾點(diǎn)4:一是合理選擇教學(xué)內(nèi)容;二是教學(xué)要生動有趣;三是設(shè)置適合的問題;四是注重思維的啟迪。以下面的問題為例:

    設(shè)u,v,w是模為1的復(fù)數(shù)。證明:我們總能選擇“+”或者“-”,使得[±u±v±w][≤1]。5

    這個(gè)問題表述簡潔,解答簡短,既能夠擴(kuò)展學(xué)生的視野,又能夠極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。事實(shí)上,用[u,v,w]表示復(fù)數(shù)[u,v,w]在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn),則[Δuvw]的垂心[H]對應(yīng)的復(fù)數(shù)為[u+v+w]。當(dāng)[Δuvw]是銳角或者直角三角形時(shí),它的垂心位于[Δuvw]內(nèi)(或頂點(diǎn)上),從而位于[Δuvw]的外接圓內(nèi)(或外接圓上),于是[u+v+w≤1]。當(dāng)[Δuvw]是鈍角三角形時(shí),不妨設(shè)[v]是鈍角頂點(diǎn),作[v]關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)[-v],則[-v]仍在單位圓上,且以[u,-v,w]為頂點(diǎn)的三角形時(shí)銳角三角形。由上面的證明知[u-v+w≤1],因此結(jié)論成立。

    該問題的解決需要用到垂心的復(fù)數(shù)表示,在教學(xué)過程中,學(xué)生對垂心的復(fù)數(shù)產(chǎn)生了濃厚的興趣,他們嘗試用各種辦法去尋找垂心的表示方法。解決這個(gè)問題所用到的知識調(diào)動了學(xué)生的好奇心,激發(fā)了他們的探究能力。經(jīng)過探究,學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過熟悉的重心的復(fù)數(shù)表示再結(jié)合歐拉定理,即三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線且重心把外心和垂心的線段分為1∶2的比值,就得到了垂心的復(fù)數(shù)表示。

    二、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能級提升——全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽培養(yǎng)要旨

    全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽由中國數(shù)學(xué)會組織,是一項(xiàng)影響力頗大的課外數(shù)學(xué)活動,全國每年約有5萬名中學(xué)生參與此項(xiàng)比賽。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽分為一試和加試,一試考查高考規(guī)定的知識和方法,考試時(shí)間為80分鐘。加試考試時(shí)間為2小時(shí)50分鐘,從最近幾年的命題情況來看,主要是考查初等代數(shù)(包括函數(shù)、不等式、數(shù)列、多項(xiàng)式等)、初等幾何(主要考察平面幾何)、初等數(shù)論、初等組合等方面的內(nèi)容。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽命題的基本原則是向國際數(shù)學(xué)奧林匹克靠攏,在知識方面略有擴(kuò)展。在培訓(xùn)過程中需要關(guān)注以下兩個(gè)方面:

    1.知識的遞進(jìn)性

    全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生在課堂之外參加的第一項(xiàng)重要考試,也是學(xué)生能夠參加更高級別競賽的“敲門磚”,因此具有重要的意義。全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的培訓(xùn)是課堂教學(xué)的遞進(jìn),所選擇的培訓(xùn)材料難度應(yīng)該適中,講授的問題應(yīng)是課堂內(nèi)容的延續(xù)和加深。教師要關(guān)注如下幾個(gè)方面的問題:一是表述的準(zhǔn)確性,即所用到的知識、定理與教材表述完全一致;二是表述的正確性,即表達(dá)要正確,不能有錯誤的成分;三是認(rèn)識的深刻性,就是深入理解知識的來龍去脈、內(nèi)涵、意義、使用條件以及注意的問題等。

    2.培訓(xùn)的目的性

    全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的時(shí)效性原則特別重要,由于考試時(shí)間緊,學(xué)生需要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)做對盡可能多的題目。因此,在組織培訓(xùn)材料時(shí),需要遵循目的性原則。所謂目的性原則1,即所選取的材料要體現(xiàn)教師的培訓(xùn)意圖,不能憑個(gè)人的喜好判斷問題的價(jià)值,要依據(jù)學(xué)生的知識、方法、能力的薄弱環(huán)節(jié)選擇材料,以利于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所選的培訓(xùn)問題不能過于簡單,否則培訓(xùn)效果不佳,但也不能太難,否則學(xué)生在有效的時(shí)間內(nèi)不能給出正確的解答,也不會有好的效果,故要依據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和所掌握的知識、方法、能力選取恰當(dāng)?shù)膯栴}。

    2018級的楊同學(xué)高一時(shí)參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽獲得了上海賽區(qū)一等獎,但沒能進(jìn)入全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營,他在考試中由于沒有做好數(shù)論題,導(dǎo)致總分與他的目標(biāo)產(chǎn)生了差距。在接下來的一年時(shí)間里,楊同學(xué)著重加強(qiáng)數(shù)論板塊的學(xué)習(xí)。他詳讀了一本初等數(shù)論教材,熟悉數(shù)論的知識體系和一般結(jié)論,通過一些數(shù)論競賽問題的專項(xiàng)練習(xí)加深數(shù)學(xué)競賽中數(shù)論問題的技巧的學(xué)習(xí),在此基礎(chǔ)上逐步提高綜合能力,探究了與數(shù)論相關(guān)的代數(shù)和組合問題,這又加強(qiáng)了解數(shù)論問題的能力。接著在2019年的全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中,他順利考進(jìn)冬令營,最后進(jìn)入了國家集訓(xùn)隊(duì)。

    三、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生對數(shù)學(xué)新問題的認(rèn)知與解題表達(dá)能力——冬令營考試突破要訣

    全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營由中國數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)競賽委員會組織,是面向高中生的頂級數(shù)學(xué)競賽之一。冬令營考試時(shí)間為兩天,學(xué)生每天要在4.5個(gè)小時(shí)內(nèi)解決三個(gè)問題,題目難度大,時(shí)間緊?;诙顮I具有題目新穎性的特點(diǎn),我們主要采用學(xué)生自我探索的思維形式,堅(jiān)持邏輯推理與合情推理并重,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

    1.思維的創(chuàng)新性

    數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)一般都是經(jīng)過模仿到理解,再通過遷移達(dá)到掌握的過程。要想創(chuàng)造性地提出新問題,那就需要建立在自身掌握的知識和方法的基礎(chǔ)上,通過合情的邏輯推理和大膽假設(shè),提出前所未有的新結(jié)論,這對學(xué)生是很高的要求,也是高層次的數(shù)學(xué)競賽學(xué)生培養(yǎng)過程中必不可少的一環(huán)。在冬令營培訓(xùn)的具體實(shí)踐中,恰當(dāng)選取一些問題,可以逐步培養(yǎng)學(xué)生提出新問題的能力。以下面的問題為例進(jìn)行說明。

    2014年地中海地區(qū)數(shù)學(xué)競賽有如下一個(gè)問題:

    設(shè)[a1, a2, …, an],[b1, b2, …, bn]是實(shí)數(shù)。證明:存在[k] [∈] [1, 2, …, n],使得

    [i=1nai-ak] ≤ [i=1nbi-ak]。1

    對該問題的一個(gè)自然的推廣是當(dāng)[a1, a2, …, an],[b1, b2, …, bn]都是復(fù)數(shù)時(shí),有什么樣的結(jié)論。

    變換問題1:設(shè)[a1, a2, …, an],[b1, b2, …, bn]是復(fù)數(shù)。是否一定存在[k] [∈] [1, 2, …, n],使得

    [i=1nai-ak] ≤ [i=1nbi-ak]。

    問題1仍然是線性結(jié)果,如果考慮歐式距離,我們得到了以下新的問題:

    變換問題2:設(shè)[a1, a2, …, an],[b1, b2, …, bn]是復(fù)數(shù)。是否一定存在[k] [∈] [1, 2, …, n],使得

    [i=1nai-ak][2] ≤ [i=1nbi-ak][2]。

    事實(shí)上,對[j, k=1, 2, …, n],記[fjk=][ bj-ak2-aj-ak2+aj-bk2-bj-bk2]。只需證明存在整數(shù)[k(1≤k≤n)],使得[j=1nfjk≥0],下面證明[k=1nj=1nfjk≥0]。事實(shí)上,我們有

    [fjk=(bj-ak)(bj-ak)-(aj-ak)(aj-ak)+(aj-bk)(aj-bk)-(bj-bk)(bj-bk)]

    [=-bjak-akbj+ajak+akaj-ajbk-bkaj+bjbk+bkbj? ? ?]

    [=(aj-bj)(ak-bk)+(aj-bj)(ak-bk).? ?]

    記[aj-bj=cj, j=1, 2, …, n],則

    [k=1nj=1nfjk=k=1nj=1n(cjck+cjck)=k=1nck·j=1ncj+k=1nck·j=1ncj]

    [=2c1+c2+…+cn2≥0,]

    所以,必存在整數(shù)[k(1≤k≤n)],使得[j=1nfjk≥0]成立,故本題結(jié)論成立。

    對一個(gè)數(shù)學(xué)問題,學(xué)生通過不斷變換條件和結(jié)論,可以逐步培養(yǎng)提出新問題的能力。這不僅有利于學(xué)生的考試,對他們以后的學(xué)習(xí)以及將來的數(shù)學(xué)研究也有很大的幫助。例如,2019年國際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌獲得者黃同學(xué)特別喜歡提出新問題,在平時(shí)訓(xùn)練過程中,他喜歡對題目進(jìn)行改編,變換出新的問題再嘗試突破自我思維極限。這樣的訓(xùn)練使得他提高了提出新問題的能力,也加深了對原來問題的理解和掌握。

    2.表達(dá)的準(zhǔn)確性

    冬令營考試題目難度大,解答都比較復(fù)雜,寫清楚問題的解答思路至關(guān)重要。有的問題解答語言文字的敘述較多,如果采用的表達(dá)方式不太合理,閱讀者會因?yàn)榭床欢斐烧`解。因此要求在平時(shí)培訓(xùn)的過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力,通過復(fù)寫和重寫訓(xùn)練,可以逐步培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力。所謂復(fù)寫,就是重新書寫解答,主要是指在模擬訓(xùn)練結(jié)束后,學(xué)生以回憶的方式將答題紙上的解答重新書寫一遍。復(fù)寫有利于學(xué)生客觀評估和總結(jié)練習(xí)的情況,能夠優(yōu)化以后的學(xué)習(xí)。所謂新寫是重新書寫解答,這分兩個(gè)層面:一是不給出新的方法,按原來的方法,只是過程簡化,使思路更加順暢;二是給出新的方法,也就是一題多解,加深對題目的理解。具體以組合問題為例:一種方式是可以將解答“代數(shù)化”,采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言,比如使用集合或者圖論的語言把因果關(guān)系表述清晰;另一種方式是將解答“組合化”,很多組合題用代數(shù)語言表達(dá)非常繁瑣,抓不到重點(diǎn)。此時(shí),可以考慮畫出題目解答邏輯關(guān)系圖示的方式,用簡單的語言寫清楚問題的思路和核心步驟,在旁邊配上一些圖,通過圖示的方式說明做題的意圖,簡明扼要,重點(diǎn)突出。

    四、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生自學(xué)能力與探索能力的培養(yǎng)——國家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)飛躍

    中國數(shù)學(xué)奧林匹克國家集訓(xùn)隊(duì)組織方是中國數(shù)學(xué)會數(shù)學(xué)競賽委員會。集訓(xùn)隊(duì)考試分兩個(gè)階段,第一階段進(jìn)行兩輪4天考試,選拔15人左右組成國家隊(duì)預(yù)備隊(duì);第二輪考試仍然進(jìn)行兩輪4天考試,選拔6人組成國家隊(duì)。與冬令營考試相比,集訓(xùn)隊(duì)考試題目難度更大,并且考試時(shí)間更長,前后持續(xù)近一個(gè)月,因此,對學(xué)生各方面能力要求都更高。對于集訓(xùn)隊(duì)學(xué)生的培訓(xùn),我們一方面要發(fā)揮學(xué)生的特長,比如有學(xué)生初等代數(shù)水平很高,那就繼續(xù)突出該優(yōu)勢,力爭能夠做出集訓(xùn)隊(duì)難度的所有初等代數(shù)題;另一方面要補(bǔ)齊短板,對學(xué)生有欠缺的板塊進(jìn)行強(qiáng)化,力爭使學(xué)生通過集中強(qiáng)化訓(xùn)練能夠做出簡單或中等難度的相關(guān)問題。此外,集訓(xùn)隊(duì)的培訓(xùn)不能僅僅是強(qiáng)化訓(xùn)練,由于有些集訓(xùn)隊(duì)的題目源自最新的科研成果,在培訓(xùn)中要注重學(xué)生自學(xué)能力和探索能力的培養(yǎng)。

    1.自學(xué)能力

    在有限的培訓(xùn)時(shí)間里培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力是進(jìn)行知識儲備的重要手段。教師可以提供給學(xué)生適當(dāng)?shù)拈喿x材料,并指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自學(xué)。自學(xué)能力不僅能保證學(xué)生知識系統(tǒng)的全面性,而且對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和發(fā)展有很大的幫助。在自學(xué)過程中,學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)概念、定理、公式,并及時(shí)進(jìn)行小結(jié)和檢查,要循序漸進(jìn),抓住重點(diǎn),不能好高騖遠(yuǎn)。其中,閱讀是學(xué)生進(jìn)行自學(xué)的核心,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開閱讀。讀懂是閱讀的最基本要求,要理解和記憶所讀的定義、性質(zhì)和定理。熟悉定義的證明或者推理的過程,對一些經(jīng)典定理的證明方法和關(guān)鍵步驟需要深入思考,推導(dǎo)方法習(xí)得的思路,并嘗試考慮其他的證明方法。

    具體來說,集訓(xùn)隊(duì)學(xué)生需要閱讀如下幾個(gè)方面的內(nèi)容:一是教材,要閱讀一些專門的數(shù)學(xué)競賽教材,在閱讀時(shí),要做教材中的例題,閱讀題目后的評注,厘清作者對問題的思考方式和處理這類問題的切入點(diǎn);二是解答,這包括自己做出來的題目的解答,閱讀后看能不能改進(jìn)和優(yōu)化,也要閱讀其他人的解答,從多角度認(rèn)識所做的問題,學(xué)會相互學(xué)習(xí);三是數(shù)學(xué)研究論文,科研論文濃縮了作者最有價(jià)值的專業(yè)成果和最有深度的數(shù)學(xué)問題,代表的是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的思維制高點(diǎn)。學(xué)生做題太多,容易陷入只會短期思考的誤區(qū),缺少深度思考的訓(xùn)練,這不利于他們進(jìn)一步發(fā)展。選取權(quán)威的科研論文進(jìn)行閱讀,有利于提升學(xué)生的持續(xù)深度思考能力。

    2.探索能力

    解決數(shù)學(xué)難題和進(jìn)行數(shù)學(xué)研究具有高度的相似性,兩者都是處理新的問題,已有的方法可能不再適用,都需要探索新的方法。解決數(shù)學(xué)難題的有效訓(xùn)練是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)。波利亞指出:“思想應(yīng)當(dāng)在學(xué)生的腦子里產(chǎn)生出來而教師僅僅只應(yīng)起一個(gè)產(chǎn)婆的作用?!?通過選擇一些有價(jià)值的問題,充分調(diào)動學(xué)生主觀能動性,進(jìn)行深度的思考和探索,可以激發(fā)學(xué)生的興趣。例如:

    對任意一個(gè)凸多邊形P,一個(gè)“剪角操作”是指選取P的兩條相鄰邊AB、BC,分別取出AB、BC的中點(diǎn)D、E,從P中裁去三角形DBE,之后對剩余的凸多邊形繼續(xù)進(jìn)行這樣的操作。現(xiàn)給定面積為1的正六邊形,證明:一系列剪角操作后,剩下的凸多邊形的面積大于[23]。

    2018屆的張同學(xué)在解決完這個(gè)問題后,他思考常數(shù)的最優(yōu)性,經(jīng)過長時(shí)間的思考與研究,他得到了下面的結(jié)果:

    對一個(gè)面積為S的正n邊形進(jìn)行剪角操作,能減去的面積不超過[251-cos2πnS]。

    這是一個(gè)基于對數(shù)學(xué)題目探究得出的結(jié)論。張同學(xué)經(jīng)過不斷嘗試,逐步把上界縮小成[13,14],最后優(yōu)化成上面的結(jié)論,這個(gè)結(jié)論的證明也比較復(fù)雜,經(jīng)過接近半年的努力,他寫了一篇高質(zhì)量的數(shù)學(xué)論文。

    對學(xué)生而言,拿到一道數(shù)學(xué)問題,給出正確的解答,再進(jìn)行反思,總結(jié)問題中的數(shù)學(xué)思想和方法是必要的。教師如果再引導(dǎo)學(xué)生將原問題做一些改變,例如對問題進(jìn)行推廣、加強(qiáng)、變形等,就可以培養(yǎng)學(xué)生的探索能力。一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)問題是完善的,如果改變條件或者結(jié)論就變成了開放性的問題,為了保證問題的科學(xué)性,有時(shí)需要不斷變換和調(diào)整問題的條件和結(jié)論,這會給學(xué)生帶來新的挑戰(zhàn),需要他們勇于探索。

    五、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的心態(tài)導(dǎo)引與總結(jié)能力培養(yǎng)——國家隊(duì)隊(duì)員培訓(xùn)主線

    由于國際數(shù)學(xué)奧林匹克競爭異常激烈,參加的學(xué)生都會有心理波動,不可避免地會出現(xiàn)發(fā)揮失常的現(xiàn)象。有效緩解這種壓力,調(diào)節(jié)學(xué)生良好的心態(tài),對于考出好成績至關(guān)重要,因此,要培養(yǎng)學(xué)生的非智力品質(zhì),比如抗壓能力、情緒、信心、體力等。我們可以從以下幾個(gè)方面著手:

    1.心態(tài)的平穩(wěn)性

    考試發(fā)揮失常的一個(gè)重要的原因是考試過程中做題的狀態(tài)與自己的既定目標(biāo)出現(xiàn)偏差。學(xué)生覺得自己能夠把一場考試中所有的題目都做出來,但實(shí)際上會碰到意想不到的障礙,比如第一題沒有按照預(yù)期做出來,心態(tài)就會出現(xiàn)波動甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定的情緒??荚嚨念}目會涉及不同的內(nèi)容,學(xué)生對各部分內(nèi)容的掌握程度也是不一樣的,需要通盤考慮時(shí)間分配,在有限的考試時(shí)間內(nèi),先找自己有思路或者最擅長的題目去突破,這樣成功的機(jī)會就大很多。如果能成功地尋找到突破口,一題在握就能穩(wěn)定心態(tài)。切忌拿到題目后,花了很多的時(shí)間解一道題也沒有做出來,導(dǎo)致沒有時(shí)間做其他有把握的題目,留下遺憾。2015年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營考試第一天的第一題難度非常大,導(dǎo)致很多學(xué)生考得很不理想,部分平時(shí)表現(xiàn)很好的學(xué)生由于在第一題上花了太多時(shí)間也沒有做好而心態(tài)崩潰,導(dǎo)致第一天所有題目都沒有做出來。張同學(xué)在第一題做了一個(gè)半小時(shí)仍沒有進(jìn)展的情況下果斷放棄第一題,主攻第二題,在做好第二題的情況下穩(wěn)住了心態(tài),又回頭經(jīng)過1小時(shí)的努力做好了第一題。在第二天的考試中他順利完成三個(gè)題目,獲得了當(dāng)年考試的全國第一名。

    2.方法的總結(jié)性

    讓學(xué)生總結(jié)解題的思維過程和解題心得,反思解題過程中的思維脈絡(luò)和知識運(yùn)用,可以發(fā)現(xiàn)自己的知識漏洞,以便進(jìn)行針對性的訓(xùn)練和復(fù)習(xí)。經(jīng)常性的總結(jié)訓(xùn)練可以鞏固技能技巧,提升概括問題和分析問題的能力。國家隊(duì)隊(duì)員一般都有豐富的解決難題的經(jīng)驗(yàn),如果在做好每個(gè)問題之后還能進(jìn)行有效的總結(jié),對于他們后續(xù)的進(jìn)一步提升有很大幫助??偨Y(jié)的內(nèi)容不僅僅局限于特定問題的技巧、方法,一些非數(shù)學(xué)的內(nèi)容也是值得總結(jié)的,比如心態(tài),信心等。教師可以鼓勵學(xué)生通過撰寫小論文的方式將平時(shí)學(xué)習(xí)中的心得體會、思想方法、對已有問題的再認(rèn)識、對一些競賽題目解答的整理進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)。一方面,可以讓學(xué)生加深對已經(jīng)熟悉的知識、思想、方法的理解,另一方面,可以培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)等綜合能力。

    六、關(guān)注數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的持續(xù)發(fā)展與因材施策——國際數(shù)學(xué)奧林匹克升華

    國際數(shù)學(xué)奧林匹克試題涉及代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合4個(gè)板塊,比賽時(shí)間是每年7月1,正式比賽分兩天,每天需要花4個(gè)半小時(shí)做3道題目,每題7分,總分42分,其中1/12左右的選手獲得金牌,2/12左右的選手獲得銀牌,3/12左右的選手獲得銅牌。國際數(shù)學(xué)奧林匹克由參賽國輪流主辦,每個(gè)國家和地區(qū)的代表隊(duì)由6名學(xué)生組成,另派1名領(lǐng)隊(duì)和1名副領(lǐng)隊(duì)。試題由各參賽國提供,由東道國組織專家組成選題委員會對這些試題進(jìn)行研究和挑選,從中挑出約30道試題作為預(yù)選題,每塊各7道到8道試題,然后由每個(gè)國家的領(lǐng)隊(duì)組成的主試委員會討論投票表決,最終產(chǎn)生6道試題作為正式考題,東道國不提供試題。試題確定后,寫成英語、法語、德語、俄語、西班牙語這五種工作語言,各國領(lǐng)隊(duì)將試題翻譯成本國語言,每位學(xué)生可以選擇兩種語言的試題。

    上海中學(xué)學(xué)生先后獲得14枚國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌,他們中的絕大多數(shù)都從事數(shù)學(xué)研究或者數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)。關(guān)注這些金牌學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展,需要處理好數(shù)學(xué)競賽與大學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)系。實(shí)踐表明,這些學(xué)生在數(shù)學(xué)方面有特別突出的潛質(zhì),但從事數(shù)學(xué)研究還有很漫長的學(xué)習(xí)之路,需要他們保持對數(shù)學(xué)的興趣。例如,2016屆的高同學(xué)獲得金牌后,在教師的鼓勵下開始自學(xué)高等數(shù)學(xué)并到復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系旁聽高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,這為他以后去世界一流學(xué)府深造奠定了良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

    數(shù)學(xué)競賽作為一種全球性的群體智力活動,在發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)人才方面發(fā)揮著重要的作用。我們在培訓(xùn)高中數(shù)學(xué)強(qiáng)潛能學(xué)生的過程中,始終貫徹高觀點(diǎn)、低起點(diǎn)的指導(dǎo)思想,把現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想滲透到系統(tǒng)而又科學(xué)的訓(xùn)練過程中,以初等數(shù)學(xué)的基本要求為起點(diǎn),將高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和思想方法貫徹到學(xué)生的日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,開拓學(xué)生的視野,激發(fā)學(xué)生的興趣,發(fā)揮他們的巨大潛能。

    Strategies for Driving the Development of High School Students with High Potential for Mathematics

    WANG Guangting

    (Shanghai High School,Shanghai, 200231)

    Abstract: The early identification and training of high school students with strong mathematical potential are conducive to cultivating studentsinterests, which can lay a solid foundation for the follow-up cultivation of top-notch talents. Through the establishment of mathematics experimental classes and the platform of mathematics competitions, Shanghai High School (SHS) has been making remarkable achievements in cultivating many innovative talents in mathematics for the country. Based on different characteristics of mathematical competitions of different levels, SHS formulates different training programs in classroom teaching, National High School Mathematics League, winter camps, training teams, and national team training to cultivate students' different abilities at each stage and promote studentscontinuous improvement and breakthrough.

    Key words: students with high potential,mathematical competitions,cultivation strategy

    作者簡介:王廣廷,上海市上海中學(xué)高級教師,博士,主要從事數(shù)學(xué)奧林匹克教學(xué)研究。

    1? 唐盛昌,馮志剛:《數(shù)學(xué)英才的早期識別與培育初探:基于案例的研究》,《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第3期,第11-15頁。

    2? 熊斌,蔣培杰:《國際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國經(jīng)驗(yàn)》,《華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》2021年第6期,第1-14頁。

    3? 馮志剛主編:《上海中學(xué)競賽課程數(shù)學(xué)(第一、二、三、四分冊)》,華東師范大學(xué)出版社2022年版。

    4? 馮躍峰:《奧林匹克數(shù)學(xué)教育的理論和實(shí)踐》,上海教育出版社2006年版,第223頁。

    5? 冷崗松主編:《數(shù)學(xué)競賽問題與感悟 第二卷:研究文集(上)》,華東師范大學(xué)出版社2019年版,第31-32頁。

    1? 馮躍峰:《奧林匹克數(shù)學(xué)教育的理論和實(shí)踐》,上海教育出版社2006年版,第227頁。

    1? 王廣廷:《一個(gè)復(fù)數(shù)不等式的命題思考》,《中等數(shù)學(xué)》2015年第10期,第8-10頁。

    1? 喬治·波利亞:《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究的講授》,劉景麟,曹之江,鄒清蓮譯,內(nèi)蒙古人民出版社1981年版,第158頁。

    1? 熊斌,蔣培杰:《國際數(shù)學(xué)奧林匹克的中國經(jīng)驗(yàn)》,《華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》2021年第6期,第1-14頁。

    猜你喜歡
    培養(yǎng)策略
    培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的幾點(diǎn)嘗試
    考試周刊(2016年84期)2016-11-11 22:58:05
    小學(xué)中年級學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算能力培養(yǎng)探究
    考試周刊(2016年85期)2016-11-11 01:25:40
    新課改背景下的中職數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思能力的培養(yǎng)
    考試周刊(2016年85期)2016-11-11 01:08:25
    小學(xué)教育中同伴關(guān)系的重要性及其培養(yǎng)策略
    考試周刊(2016年84期)2016-11-11 00:19:27
    管理類本科生就業(yè)能力構(gòu)成分析及培養(yǎng)策略研究
    中國市場(2016年35期)2016-10-19 03:09:07
    網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下大學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)策略
    淺議學(xué)生問題意識培養(yǎng)策略
    考試周刊(2016年79期)2016-10-13 23:28:53
    高中政治教學(xué)中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)策略初探
    考試周刊(2016年79期)2016-10-13 22:53:25
    高中體育教學(xué)中創(chuàng)新意識的培養(yǎng)
    考試周刊(2016年79期)2016-10-13 22:47:47
    巧設(shè)任務(wù),發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力
    考試周刊(2016年77期)2016-10-09 11:10:26
    成年女人在线观看亚洲视频| 国产精品福利在线免费观看| 国产探花极品一区二区| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 色综合色国产| 赤兔流量卡办理| 国产精品一区二区三区四区免费观看| 看免费成人av毛片| kizo精华| 精品亚洲成a人片在线观看 | 九草在线视频观看| www.av在线官网国产| 三级经典国产精品| 三级国产精品片| 简卡轻食公司| 热99国产精品久久久久久7| 春色校园在线视频观看| 97精品久久久久久久久久精品| 美女视频免费永久观看网站| 老师上课跳d突然被开到最大视频| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频 | 美女主播在线视频| 亚洲,一卡二卡三卡| 亚洲欧美一区二区三区国产| 中文字幕久久专区| h日本视频在线播放| 精华霜和精华液先用哪个| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 日韩亚洲欧美综合| 一级毛片aaaaaa免费看小| av.在线天堂| 美女国产视频在线观看| 男人和女人高潮做爰伦理| 欧美成人午夜免费资源| 色综合色国产| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 久久久久精品久久久久真实原创| 亚洲欧美日韩卡通动漫| av线在线观看网站| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 国产成人91sexporn| 午夜激情久久久久久久| 国产片特级美女逼逼视频| 精品久久久噜噜| 熟女电影av网| 五月玫瑰六月丁香| 在线免费十八禁| 成人综合一区亚洲| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 日韩av免费高清视频| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 99热这里只有是精品在线观看| 国产av一区二区精品久久 | 嫩草影院新地址| 免费在线观看成人毛片| 国产午夜精品一二区理论片| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 成人特级av手机在线观看| 国产 精品1| 免费人成在线观看视频色| 身体一侧抽搐| 国产视频首页在线观看| 婷婷色av中文字幕| 亚洲久久久国产精品| 91久久精品电影网| 精品国产乱码久久久久久小说| 午夜免费鲁丝| 国产爽快片一区二区三区| 91狼人影院| 国产精品偷伦视频观看了| 成人影院久久| 日韩一区二区三区影片| 高清视频免费观看一区二区| 少妇被粗大猛烈的视频| 亚洲欧美清纯卡通| 在线观看一区二区三区激情| 三级国产精品欧美在线观看| 舔av片在线| 亚洲成人一二三区av| 内射极品少妇av片p| 国产精品偷伦视频观看了| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 啦啦啦啦在线视频资源| 女性生殖器流出的白浆| 欧美精品国产亚洲| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 国产精品不卡视频一区二区| 男女下面进入的视频免费午夜| 国产成人a∨麻豆精品| 97在线人人人人妻| 欧美区成人在线视频| 国内揄拍国产精品人妻在线| 美女cb高潮喷水在线观看| 免费黄频网站在线观看国产| 日韩av在线免费看完整版不卡| 国产精品一区二区在线不卡| 欧美丝袜亚洲另类| 国产成人freesex在线| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲成人手机| 日本欧美视频一区| 婷婷色麻豆天堂久久| 青春草亚洲视频在线观看| 国产一级毛片在线| 人体艺术视频欧美日本| 激情五月婷婷亚洲| 晚上一个人看的免费电影| 精品酒店卫生间| 亚洲精品,欧美精品| 最近中文字幕高清免费大全6| 久久久久久久大尺度免费视频| 91狼人影院| 国产精品成人在线| av国产精品久久久久影院| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 伦理电影大哥的女人| 精品久久久久久电影网| 日韩 亚洲 欧美在线| 亚洲性久久影院| 美女主播在线视频| 亚洲欧美清纯卡通| 国产毛片在线视频| 99久久中文字幕三级久久日本| 在现免费观看毛片| 在线播放无遮挡| 男人舔奶头视频| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 久久人人爽人人片av| 日韩国内少妇激情av| 免费观看a级毛片全部| 天天躁日日操中文字幕| 亚洲三级黄色毛片| 免费高清在线观看视频在线观看| 精品久久久久久久末码| av视频免费观看在线观看| 日本与韩国留学比较| 最近中文字幕高清免费大全6| 亚洲图色成人| 午夜日本视频在线| 好男人视频免费观看在线| 国产日韩欧美在线精品| 欧美日韩精品成人综合77777| 嫩草影院入口| 日韩欧美一区视频在线观看 | 精品久久久久久久久av| 亚洲精品456在线播放app| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 在现免费观看毛片| 免费大片黄手机在线观看| 亚洲国产av新网站| 色婷婷久久久亚洲欧美| 色5月婷婷丁香| 3wmmmm亚洲av在线观看| 欧美成人一区二区免费高清观看| 国产淫语在线视频| 又大又黄又爽视频免费| 色婷婷久久久亚洲欧美| 九草在线视频观看| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 国产中年淑女户外野战色| 一个人看视频在线观看www免费| 日本vs欧美在线观看视频 | 欧美变态另类bdsm刘玥| 色婷婷av一区二区三区视频| 国产69精品久久久久777片| 国产伦理片在线播放av一区| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 黄色欧美视频在线观看| 亚洲av国产av综合av卡| 欧美成人a在线观看| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 国产精品成人在线| 国产精品嫩草影院av在线观看| 欧美变态另类bdsm刘玥| 我的女老师完整版在线观看| 亚洲欧美一区二区三区国产| 亚洲成人av在线免费| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 日日啪夜夜爽| 只有这里有精品99| 亚洲va在线va天堂va国产| 人妻 亚洲 视频| 亚洲熟女精品中文字幕| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 伦理电影大哥的女人| 国产欧美亚洲国产| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 国产人妻一区二区三区在| 日韩电影二区| 国产伦精品一区二区三区视频9| 色婷婷久久久亚洲欧美| 亚洲久久久国产精品| www.色视频.com| 黄色视频在线播放观看不卡| 人体艺术视频欧美日本| 日韩成人av中文字幕在线观看| 久久精品国产亚洲av天美| 高清黄色对白视频在线免费看 | 亚洲精品456在线播放app| 亚洲电影在线观看av| 久久久精品94久久精品| 久久精品国产a三级三级三级| 日本黄大片高清| 一级a做视频免费观看| 免费黄色在线免费观看| 国产有黄有色有爽视频| 欧美zozozo另类| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 亚洲精品国产av蜜桃| 欧美xxⅹ黑人| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 午夜免费男女啪啪视频观看| 视频区图区小说| 老司机影院成人| 黄色配什么色好看| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| av在线app专区| 中文字幕av成人在线电影| 欧美zozozo另类| 日韩欧美一区视频在线观看 | av国产久精品久网站免费入址| 成人一区二区视频在线观看| 欧美bdsm另类| 乱系列少妇在线播放| 国产成人精品福利久久| 久久影院123| av黄色大香蕉| 国产极品天堂在线| 五月天丁香电影| 国产成人freesex在线| 高清av免费在线| 99热这里只有精品一区| 国产精品无大码| 在现免费观看毛片| 精品国产一区二区三区久久久樱花 | 最近手机中文字幕大全| 熟女av电影| 国产 一区精品| 一本一本综合久久| 国产av精品麻豆| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 精品久久久噜噜| 欧美bdsm另类| 男人狂女人下面高潮的视频| 人妻夜夜爽99麻豆av| 国产黄片视频在线免费观看| 少妇的逼水好多| 99热网站在线观看| 国产黄色视频一区二区在线观看| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 中国三级夫妇交换| 99热全是精品| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 有码 亚洲区| 日日啪夜夜爽| 日韩精品有码人妻一区| 免费黄色在线免费观看| 日韩欧美 国产精品| 久久国产亚洲av麻豆专区| 日韩欧美一区视频在线观看 | 国产亚洲精品久久久com| 99国产精品免费福利视频| 777米奇影视久久| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 亚洲真实伦在线观看| 少妇的逼好多水| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图 | 色吧在线观看| 18禁在线播放成人免费| 秋霞在线观看毛片| 97超碰精品成人国产| 中文欧美无线码| 校园人妻丝袜中文字幕| 99热这里只有是精品在线观看| 亚洲在久久综合| 日韩中字成人| 国产成人a∨麻豆精品| 亚洲精品一区蜜桃| 网址你懂的国产日韩在线| 亚洲欧洲国产日韩| 国产成人免费无遮挡视频| 日日啪夜夜爽| av在线蜜桃| 啦啦啦在线观看免费高清www| 少妇人妻精品综合一区二区| 久久久久久久久久人人人人人人| 搡老乐熟女国产| 男人添女人高潮全过程视频| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片| 国产亚洲一区二区精品| 免费高清在线观看视频在线观看| 久久久久网色| 高清午夜精品一区二区三区| 卡戴珊不雅视频在线播放| kizo精华| 国产精品一区二区在线不卡| 国产成人午夜福利电影在线观看| 精品一区在线观看国产| 欧美变态另类bdsm刘玥| 成人特级av手机在线观看| 国产成人a区在线观看| 国产伦精品一区二区三区视频9| 一级av片app| 亚洲精品自拍成人| 亚洲欧美一区二区三区国产| 日韩人妻高清精品专区| 国产美女午夜福利| 国产爱豆传媒在线观看| 毛片女人毛片| 日本免费在线观看一区| 午夜福利影视在线免费观看| 欧美日韩综合久久久久久| 欧美激情极品国产一区二区三区 | 最近最新中文字幕大全电影3| 亚洲精品aⅴ在线观看| av国产精品久久久久影院| 联通29元200g的流量卡| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 欧美日韩亚洲高清精品| 精品人妻视频免费看| 国产精品一二三区在线看| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 国产免费视频播放在线视频| 亚洲国产日韩一区二区| 欧美zozozo另类| 内射极品少妇av片p| 男女国产视频网站| 国产午夜精品一二区理论片| 日韩强制内射视频| 中国美白少妇内射xxxbb| 丰满乱子伦码专区| 国产在线男女| 有码 亚洲区| 精品一区二区三卡| 国产男女内射视频| 久久婷婷青草| 精品久久国产蜜桃| 赤兔流量卡办理| 国产精品三级大全| 18+在线观看网站| 亚洲欧洲日产国产| 国产在线男女| 久久影院123| kizo精华| 欧美一区二区亚洲| 熟女av电影| 成人影院久久| 欧美人与善性xxx| 成人影院久久| 尾随美女入室| 青青草视频在线视频观看| 久热这里只有精品99| 国产男人的电影天堂91| 精品久久久噜噜| 国产精品人妻久久久影院| 极品少妇高潮喷水抽搐| 亚洲精品色激情综合| 久久精品国产亚洲av天美| 国内揄拍国产精品人妻在线| 99热这里只有精品一区| 美女国产视频在线观看| 国产一区有黄有色的免费视频| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 视频区图区小说| 99热这里只有精品一区| 日日撸夜夜添| 国产色婷婷99| a级毛片免费高清观看在线播放| 精品视频人人做人人爽| 亚洲精品国产成人久久av| 人人妻人人看人人澡| 搡老乐熟女国产| 久久亚洲国产成人精品v| 成人漫画全彩无遮挡| 国产又色又爽无遮挡免| 天堂8中文在线网| 国产毛片在线视频| 国产av国产精品国产| 五月开心婷婷网| 久久国产亚洲av麻豆专区| 看十八女毛片水多多多| videossex国产| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 97热精品久久久久久| 成人亚洲欧美一区二区av| 久久午夜福利片| 久久国产精品大桥未久av | 精品亚洲成a人片在线观看 | 91狼人影院| 午夜免费鲁丝| 成人亚洲精品一区在线观看 | 伦精品一区二区三区| 黄色怎么调成土黄色| 十八禁网站网址无遮挡 | 中文字幕亚洲精品专区| 日韩制服骚丝袜av| 国产日韩欧美在线精品| 欧美国产精品一级二级三级 | 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 国产精品国产三级国产专区5o| 中文欧美无线码| 晚上一个人看的免费电影| 又大又黄又爽视频免费| 最近最新中文字幕大全电影3| 亚洲国产欧美在线一区| a级一级毛片免费在线观看| 国产高清国产精品国产三级 | 亚洲国产最新在线播放| av在线蜜桃| 国产黄色视频一区二区在线观看| 街头女战士在线观看网站| 国产精品久久久久久久久免| 日韩不卡一区二区三区视频在线| av在线app专区| xxx大片免费视频| 99久久精品一区二区三区| 成人特级av手机在线观看| 尾随美女入室| av卡一久久| av.在线天堂| 黄色视频在线播放观看不卡| 亚洲欧美精品专区久久| 国产久久久一区二区三区| 色吧在线观看| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 国产成人精品福利久久| 中文字幕精品免费在线观看视频 | 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 最黄视频免费看| 久久久久久久久久久丰满| 色吧在线观看| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 亚洲精品久久午夜乱码| av天堂中文字幕网| 久久久久精品性色| 亚洲欧美日韩无卡精品| 高清在线视频一区二区三区| 麻豆国产97在线/欧美| 日韩成人伦理影院| 久久国产亚洲av麻豆专区| 国产av码专区亚洲av| 男人爽女人下面视频在线观看| 2022亚洲国产成人精品| 18禁动态无遮挡网站| 美女国产视频在线观看| 久久这里有精品视频免费| 久久ye,这里只有精品| 高清视频免费观看一区二区| 美女内射精品一级片tv| 国产高潮美女av| 韩国高清视频一区二区三区| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 夜夜爽夜夜爽视频| 国产精品女同一区二区软件| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 国产亚洲精品久久久com| 国产淫语在线视频| 夫妻午夜视频| 久久鲁丝午夜福利片| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 成人毛片60女人毛片免费| 免费黄色在线免费观看| 日韩伦理黄色片| 一个人免费看片子| 国产亚洲最大av| 蜜桃在线观看..| 久久青草综合色| 久久国产精品大桥未久av | 成人午夜精彩视频在线观看| 在线观看美女被高潮喷水网站| 黄色日韩在线| 欧美精品亚洲一区二区| 国产一区二区在线观看日韩| 日本欧美视频一区| 超碰av人人做人人爽久久| 女性生殖器流出的白浆| 国产老妇伦熟女老妇高清| 在线观看免费日韩欧美大片 | 极品教师在线视频| 亚洲综合色惰| 人人妻人人看人人澡| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 欧美区成人在线视频| 国产黄色视频一区二区在线观看| 国产一区二区在线观看日韩| 日韩视频在线欧美| 久久久久久久精品精品| 精品熟女少妇av免费看| 美女高潮的动态| 国产成人91sexporn| kizo精华| 97热精品久久久久久| 日韩人妻高清精品专区| 欧美日韩亚洲高清精品| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 国产精品人妻久久久久久| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 国产免费福利视频在线观看| 国产精品国产三级国产专区5o| 亚洲美女视频黄频| 国产淫语在线视频| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 日本-黄色视频高清免费观看| 一级黄片播放器| 亚洲欧洲国产日韩| 日韩欧美一区视频在线观看 | 欧美成人午夜免费资源| 亚洲欧洲日产国产| 成人免费观看视频高清| 国产成人aa在线观看| 日韩伦理黄色片| 精品视频人人做人人爽| 免费观看无遮挡的男女| 大话2 男鬼变身卡| 如何舔出高潮| 一级片'在线观看视频| 日本黄色日本黄色录像| 国产精品熟女久久久久浪| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 亚洲图色成人| 国产视频首页在线观看| 亚洲成人av在线免费| 亚洲精品成人av观看孕妇| 成人黄色视频免费在线看| 国产色爽女视频免费观看| 国产精品一区二区在线不卡| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 久久精品国产亚洲网站| 日韩制服骚丝袜av| 在线播放无遮挡| 一区二区三区乱码不卡18| 蜜臀久久99精品久久宅男| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 激情 狠狠 欧美| 亚洲成色77777| 免费黄色在线免费观看| 亚洲av男天堂| 国产成人一区二区在线| 国产精品久久久久成人av| 亚洲欧美日韩无卡精品| 国产色婷婷99| 国产成人免费无遮挡视频| av网站免费在线观看视频| 纯流量卡能插随身wifi吗| 2018国产大陆天天弄谢| 久久久久国产网址| 水蜜桃什么品种好| 精品一区二区免费观看| 中国美白少妇内射xxxbb| 夜夜骑夜夜射夜夜干| av在线观看视频网站免费| 精品亚洲成国产av| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图 | 成人综合一区亚洲| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 欧美成人午夜免费资源| 搡老乐熟女国产| 国产精品久久久久久久电影| 国产一级毛片在线| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 哪个播放器可以免费观看大片| 国产成人a区在线观看| av在线播放精品| 两个人的视频大全免费| 中文字幕制服av| 久久久精品94久久精品| 九九在线视频观看精品| 国产精品伦人一区二区| 一级片'在线观看视频| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 亚洲国产最新在线播放| av在线蜜桃| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 性高湖久久久久久久久免费观看| 亚洲国产精品专区欧美| 国产乱人偷精品视频| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 国产免费又黄又爽又色| 国产精品欧美亚洲77777| 日韩成人伦理影院| 国产av国产精品国产| 九九在线视频观看精品| 成年人午夜在线观看视频| 国产精品国产三级专区第一集| 18禁动态无遮挡网站| 亚洲av.av天堂| 在线观看免费视频网站a站| 99九九线精品视频在线观看视频| 九草在线视频观看| 精品久久久精品久久久| 国产精品一区二区性色av| 免费在线观看成人毛片| 黄片wwwwww| 精品亚洲成国产av| 免费av中文字幕在线| 亚洲国产日韩一区二区| 亚洲综合精品二区| 男女边摸边吃奶| 晚上一个人看的免费电影| 日韩大片免费观看网站| 亚洲人成网站在线观看播放| 黄色怎么调成土黄色| 精品国产一区二区三区久久久樱花 | 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 亚洲av中文av极速乱| 国产成人精品一,二区| 91精品伊人久久大香线蕉| 国产精品成人在线| 成年女人在线观看亚洲视频| 精品久久久精品久久久| 欧美bdsm另类|