基于卡爾曼濾波算法改進的宏觀經(jīng)濟實時預(yù)測方法與實證

張居營，張 鏑，趙宣凱

（1.河北金融學(xué)院 金融與投資學(xué)院，河北 保定 071051；2.中信建投證券股份有限公司，北京 100010；3.中央財經(jīng)大學(xué)a.經(jīng)濟學(xué)院；b.中國互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟研究院，北京 100081）

0 引言

宏觀經(jīng)濟預(yù)測對政府、企業(yè)、居民等部門具有重要的信號指示作用，有助于及時決策，更好地進行經(jīng)濟預(yù)判和防范風(fēng)險。但數(shù)據(jù)采集和整理需要時間，數(shù)據(jù)發(fā)布往往具有滯后性，例如我國年度、季度GDP 數(shù)據(jù)通常滯后一個多月發(fā)布，現(xiàn)實情況突發(fā)變化可能導(dǎo)致決策陷入被動。近年來，由于受到全球競爭格局重塑、地緣沖突加劇以及重大公共衛(wèi)生事件等一系列因素的影響，各國經(jīng)濟波動愈加劇烈，趨勢反轉(zhuǎn)概率加大，促使決策者更加注重宏觀經(jīng)濟預(yù)判，以提前布局、制定合理決策來化解風(fēng)險，這便產(chǎn)生了實時預(yù)測（Nowcasting）的方法。目前，實時預(yù)測仍面臨兩大障礙：一是數(shù)據(jù)統(tǒng)計方面，宏觀經(jīng)濟變量門類眾多，項目繁雜，且方法不斷更新，統(tǒng)計指標(biāo)與統(tǒng)計口徑紛繁復(fù)雜，頻率各不相同，時常面臨日、周、旬、月、季度、年度等混頻數(shù)據(jù)問題，且存在數(shù)據(jù)缺失問題，如何高質(zhì)量地從多維數(shù)據(jù)中提取有效信息，并進行精準(zhǔn)、及時預(yù)測是一大難題；二是預(yù)測方法方面，采用單一指標(biāo)的預(yù)測方法，如ARMA、GARCH 等容納的信息量相對有限，預(yù)測的波動性較大，采用多指標(biāo)預(yù)測方法中以VAR 為代表的傳統(tǒng)模型存在“維度詛咒”問題，變量個數(shù)較多時參數(shù)難以估計，而采用稀疏建模的高維數(shù)據(jù)處理方法篩選部分變量參與預(yù)測的過程中必定會損失一部分信息，同時對于混頻數(shù)據(jù)缺失值過多的問題也缺少合理辦法進行有效填補，導(dǎo)致其使用存在限制。

動態(tài)因子模型在一定程度上能解決上述問題，它將宏觀變量視為“公共因子”和“特質(zhì)擾動項”兩個部分，通過信息組合和噪聲過濾，提取主要因素，在假設(shè)宏觀經(jīng)濟不同部門的波動是由若干“公共因子”共同驅(qū)動的條件下，對相應(yīng)變量進行預(yù)測[1]。動態(tài)因子模型可以表示為狀態(tài)空間的形式，應(yīng)用卡爾曼濾波構(gòu)造似然函數(shù)，并用極大似然估計法來估計參數(shù)，從而處理不規(guī)則混頻數(shù)據(jù)，但是估計過程中會用到非線性的數(shù)值優(yōu)化算法，對高維度的數(shù)據(jù)處理能力有限。后期Stock 和Watson（2002）[2]、Forni 等（2005）[3]通過放松假定條件，在允許特質(zhì)擾動項滿足一定條件時應(yīng)用主成分分析法提取因子。Doz等（2011）[4]進一步應(yīng)用卡爾曼濾波算法對主成分估計的各因子初始值進行修正，得到了較為穩(wěn)健而準(zhǔn)確的因子估計值，形成了卡爾曼濾波算法兩步估計框架。目前動態(tài)因子模型的實時預(yù)測得到廣泛應(yīng)用，劉漢和劉金全（2011）[5]對我國季度GDP 進行實時預(yù)測，取得了較好的預(yù)測效果，Allan 等（2014）[6]用實時預(yù)測方法估計了部分數(shù)據(jù)沒有專門發(fā)布的蘇格蘭的GDP 增長，為地區(qū)經(jīng)濟實時預(yù)報提供了借鑒。

基于動態(tài)因子模型的實時預(yù)測方法雖然能夠解決混頻數(shù)據(jù)發(fā)布不同步、數(shù)據(jù)缺失的問題，但是，在不確定性沖擊下，宏觀預(yù)測仍存在效果不佳、時滯性等問題，如不確定性沖擊導(dǎo)致經(jīng)濟先下降再回升的“V”型反轉(zhuǎn)加大了實時預(yù)測難度[7]。尚泰等（2016）[8]提出了基于卡爾曼濾波的三階段固定區(qū)間平滑算法，指出該算法能夠循環(huán)多次使用卡爾曼濾波,提高估計精度，并在初始狀態(tài)未知的情況下具有較強應(yīng)用價值，但是該方面尚未應(yīng)用到宏觀經(jīng)濟實時預(yù)測方法中。鑒于此，本文在動態(tài)因子模型實時預(yù)測的參數(shù)估計中改進卡爾曼濾波的固定區(qū)間平滑算法，引入再次前向濾波平滑過程的三階段算法，探討其預(yù)測效果，并驗證改進算法是否能夠更有效地利用先驗信息，提升預(yù)測精度，在經(jīng)濟運行非常規(guī)狀態(tài)下是否也能快速響應(yīng)，改善預(yù)測時滯性問題。

1 模型構(gòu)建

1.1 動態(tài)因子模型

動態(tài)因子模型假設(shè)n個變量在t期的觀測向量yt=(yi，t，…，yn，t)T可以由r個難以觀測到的動態(tài)公共因子向量ft=(fi，t，…，fr，t)T以及特異因子et=( ei，t，…，en，t)T來描述，形式如下：式（1）為測量方程，描述了數(shù)據(jù)yt和動態(tài)因子ft之間的關(guān)系，其中C 為n×r 的因子載荷矩陣（通常r ?n）。ft、et分別為不同變量序列之間的共同成分、特異成分，并且假定et～N(0，R)。 R 是測量噪聲協(xié)方差，實際操作中一般可以觀測到，是濾波器的已知條件。式（2）為轉(zhuǎn)移方程，假定隱含的動態(tài)因子向量服從VAR(1)過程，A 為r×r 的VAR 過程轉(zhuǎn)移稀疏矩陣。 μt為r 維列向量且μt～N(0，Q)。式（1）和式（2）共同構(gòu)成了一個狀態(tài)空間模型，ft、et都是未觀測到的狀態(tài)。通過計算主成分初始化模型的待估參數(shù)，將主成分視為真正的公共因子。用yt對ft的初始估計值做最小二乘回歸，即可得到C 的初始估計和et向量，計算et的協(xié)方差矩陣即得到R 的初始估計。將ft的協(xié)方差矩陣記為P ，根據(jù)ft的初始值計算出P 的初始估計。

1.2 卡爾曼濾波平滑算法的使用與改進

在得到所有未知參數(shù)的初始估計后，就可以使用基于卡爾曼濾波的兩階段固定區(qū)間平滑算法進行參數(shù)估計和數(shù)據(jù)更新，主要分為前向濾波和后向平滑過程。

前向濾波過程將ft與P 的初始估計記為對C 、A、R、Q 分別賦予初始值然后利用t-1 期的數(shù)據(jù)來預(yù)測t 期的參數(shù)，這一步對ft與P 的預(yù)測結(jié)果分別記為，通過計算卡爾曼增益：并設(shè)定閾值，來實現(xiàn)對第1期到第t 期的預(yù)測更新，從和開始迭代循環(huán)得到和，完成前向濾波的過程。后向平滑過程是將正向濾波最后得到的和按時間t 逆向倒推，t 依次取N-1，N-2，…，0，每一步的平滑步驟如下：首先，計算平滑增益矩陣其次，進行平滑估計fs，k=ff，k+Hs，k(fs，k+1-ff，k+1/k)；最后，計算平滑協(xié)方差矩陣變量下標(biāo)f 和s 分別代表該時刻的正向濾波結(jié)果和平滑結(jié)果。其中，為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

尚泰等（2016）[8]提出了基于卡爾曼濾波的三階段固定區(qū)間平滑算法，相比兩階段平滑算法，用第二階段后向平滑過程得到的作為濾波初始值，再次從頭到尾處理觀測值，并得到最終的狀態(tài)估計，即為三階段固定區(qū)間平滑估計的輸出。與兩階段固定區(qū)間平滑算法相比，三階段算法由于多次使用卡爾曼濾波，理論上使得穩(wěn)定性獲得進一步提升，充分利用了現(xiàn)有數(shù)據(jù)中公共因子與特異因子信息的先驗信息，并做了變化趨勢上的再次平滑，因此更接近經(jīng)濟實際運行狀態(tài)。

2 研究設(shè)計

2.1 數(shù)據(jù)集構(gòu)建與指標(biāo)選取

考慮到宏觀經(jīng)濟中的統(tǒng)計變量門類的復(fù)雜性、變量間信息交叉性，本文在構(gòu)建數(shù)據(jù)集時，將宏觀經(jīng)濟分為經(jīng)濟運行、景氣與信心、工業(yè)、投資、消費與價格、勞動力、金融與貨幣七大門類。不同門類混頻指標(biāo)的選取見下頁表1和下文表2，共計81 個指標(biāo)，其中月度指標(biāo)66 個，季度指標(biāo)15 個，時間跨度為2005 年1 月1 日至2022 年11 月31日，數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計局官網(wǎng)季度與月度公開數(shù)據(jù)、CEIC數(shù)據(jù)庫、Wind數(shù)據(jù)庫等。考慮到預(yù)測對象的不同，參考唐曉彬等（2022）[9]在對宏觀經(jīng)濟進行實時預(yù)測時選取的指標(biāo)，對于季度GDP同比增速的預(yù)測，主要從投資、消費、貿(mào)易、就業(yè)以及相關(guān)行業(yè)、工業(yè)運行、金融狀況等方面選取變量；對于月度CPI的預(yù)測，主要考慮整體經(jīng)濟運行狀況、景氣指數(shù)、貨運物流、消費與價格、金融貨幣等與價格有關(guān)的變量，具體見表1和表2的第5列。

表1 數(shù)據(jù)集變量選擇情況表（2）

2.2 數(shù)據(jù)處理

數(shù)據(jù)處理主要包括缺失值填補、標(biāo)準(zhǔn)化處理、季節(jié)性調(diào)整等，在將季度指標(biāo)數(shù)據(jù)視為同時期對應(yīng)月度數(shù)據(jù)最后一期的數(shù)據(jù)時，其余時期的數(shù)據(jù)將視為缺失值，獲取的宏觀數(shù)據(jù)中還有一些月份也存在缺失值，如“春節(jié)效應(yīng)”導(dǎo)致部分指標(biāo)缺少1月份的數(shù)據(jù)等。缺失值填補、標(biāo)準(zhǔn)化處理都納入動態(tài)因子模型初始環(huán)節(jié)中，標(biāo)準(zhǔn)化處理則在主成分的因子提取中。缺失值填補是基于卡爾曼濾波進行的，引入實時估計得到的動態(tài)因子對缺失值進行動態(tài)補充，將缺失值視為上一期觀測值與權(quán)重的乘積，再加上動態(tài)因子的和，然后根據(jù)卡爾曼濾波估計結(jié)果進行更新。本文還對除比率、增長率之外的指數(shù)數(shù)據(jù)采用X-12-ARIMA 等進行季節(jié)性調(diào)整。

3 實證研究

3.1 宏觀經(jīng)濟實時預(yù)測與評價方法

按照上述步驟，利用本文所提及的兩階段、三階段平滑方法，分別以我國實際GDP 同比增速、CPI 同比增速為被預(yù)測變量，納入動態(tài)因子模型中進行實時預(yù)測，每月預(yù)測一次，將得到的擬合值與實際值，以及與單指標(biāo)預(yù)測方法ARMA、ARMA-GARCH 的結(jié)果進行比對。參照以往做法，采用均方根預(yù)測誤差（RMSFE）、平均絕對百分比誤差（MAPE）、對稱平均絕對百分比誤差（SMAPE）評價采用兩階段與三階段固定區(qū)間平滑算法的實時預(yù)測效果。

3.2 GDP實時預(yù)測效果分析

下頁圖1為GDP同比增速的預(yù)測值與實際值比較，每月實際值是將該季度GDP按月填充。2020年以前經(jīng)濟處于平穩(wěn)發(fā)展階段，宏觀經(jīng)濟各部門、各要素保持慣性運行狀態(tài)，因此，2018—2019年兩階段與三階段固定區(qū)間平滑算法的預(yù)測值、實際值的偏差較小，且兩個預(yù)測值的差別也不大，而ARMA、ARMA-GARCH 雖然保持了GDP 增長趨勢，但預(yù)測值與實際值仍有較大偏差。2020 年以后重大公共衛(wèi)生事件對經(jīng)濟的結(jié)構(gòu)性沖擊導(dǎo)致GDP增長呈現(xiàn)“V”型反轉(zhuǎn)與不穩(wěn)定波動，非常規(guī)情況下兩階段與三階段算法實時預(yù)測均出現(xiàn)偏差，體現(xiàn)了預(yù)測的時滯性，如2020年第一季度的“V”型反轉(zhuǎn)、2021年第一季度的“倒V”型反轉(zhuǎn)，當(dāng)期均無法直接捕捉到，相比較而言，三階段算法響應(yīng)速度較快，體現(xiàn)了對經(jīng)濟增長“V”型反轉(zhuǎn)的更快預(yù)測，因為對先驗信息利用更充分以及前次的前向濾波平滑，對月度頻率數(shù)據(jù)提取因子的再次平滑可以較好地預(yù)測季度數(shù)據(jù)值，所以使得3月、6月、9月、12月的預(yù)測值更接近實際值，兩階段算法則具有1 期的滯后性。ARMA、ARMA-GARCH 則會出現(xiàn)5 期以上的滯后性，只是趨勢上的預(yù)測，難以提取更多信息，因此效果較差。

圖1 不同方法GDP同比增速預(yù)測值與實際值比較

下頁表3 顯示了采用RMSFE、MAPE、SMAPE 三個指標(biāo)評價不同方法的預(yù)測效果的結(jié)果?？梢钥吹剑浅Ｒ?guī)狀態(tài)下各方法的預(yù)測誤差均變大，但相比較而言，三階段算法預(yù)測誤差最低，因此，其預(yù)測精度最高，兩階段算法次之，ARMA、ARMA-GARCH的預(yù)測精度遠低于前兩者。

表3 GDP同比增速預(yù)測的效果評價

3.3 CPI實時預(yù)測效果分析

下頁圖2和表4為CPI同比增速的實時預(yù)測結(jié)果與效果評價結(jié)果。可以看到，經(jīng)濟平穩(wěn)運行狀態(tài)時CPI增速在較窄區(qū)間內(nèi)波動，兩階段、三階段算法能夠較好地預(yù)測其走勢，非常規(guī)狀態(tài)下CPI增速波動區(qū)間變大，“V”型反轉(zhuǎn)出現(xiàn)較為頻繁，導(dǎo)致部分時點兩階段、三階段算法預(yù)測具有滯后性，如2020年5月、2021年5月、2022年1月，由于CPI是月度發(fā)布指標(biāo)，三階段算法也無法做到對反轉(zhuǎn)信號的快速響應(yīng)，因此需要更高頻的周度、日度數(shù)據(jù)來實現(xiàn)有效實時預(yù)測。另外，在預(yù)測精度上，三階段算法也是最高的，ARMA、ARMA-GARCH的預(yù)測精度都相對較低。

圖2 不同方法CPI預(yù)測值與實際值比較

表4 CPI同比增速預(yù)測的效果評價

4 結(jié)論

本文將基于卡爾曼濾波算法改進的三階段固定區(qū)間平滑算法引入高維混頻數(shù)據(jù)的動態(tài)因子模型參數(shù)估計過程，令其替代傳統(tǒng)的兩階段平滑算法，并應(yīng)用于我國宏觀經(jīng)濟預(yù)測中以探討該種估計方法的優(yōu)勢與不足。實證結(jié)果表明：（1）實時預(yù)測能夠較好地預(yù)測經(jīng)濟平穩(wěn)狀態(tài)下的發(fā)展趨勢，預(yù)測偏差較小，但是當(dāng)經(jīng)濟處于非常規(guī)情況下，針對“V”型反轉(zhuǎn)的預(yù)測會出現(xiàn)時滯性；（2）基于卡爾曼濾波的三階段固定區(qū)間平滑算法能夠?qū)崿F(xiàn)對現(xiàn)有數(shù)據(jù)的再次平滑，相比兩階段平滑算法，有效利用了現(xiàn)有數(shù)據(jù)中的公共因子與特異因子的先驗信息，并通過再次前向濾波平滑，預(yù)測精度進一步提升，針對“V”型反轉(zhuǎn)走勢也能快速響應(yīng)，應(yīng)用月度指標(biāo)能夠較好預(yù)測當(dāng)季GDP增速，但面對月度CPI 增速預(yù)測時實時響應(yīng)能力不足，因此，需要結(jié)合更高頻的周度、日度數(shù)據(jù)等，應(yīng)用三階段固定區(qū)間平滑算法才能實現(xiàn)對宏觀經(jīng)濟的多層面、高質(zhì)量的監(jiān)測與預(yù)警。