新課標(biāo)視域下人教A版新舊教材“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”內(nèi)容比較研究

劉佛蓮 張巧,孔德宏

摘 要：從結(jié)構(gòu)編排、內(nèi)容設(shè)置、信息技術(shù)融合、核心素養(yǎng)四個方面對高中數(shù)學(xué)人教A版新、舊教材“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”一節(jié)進行了微觀比較研究.研究發(fā)現(xiàn)，新教材在結(jié)構(gòu)編排上增強了前后知識之間的邏輯聯(lián)系性；內(nèi)容設(shè)置上加強了數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，注重滲透建模思想，關(guān)注跨學(xué)科內(nèi)容的學(xué)習(xí)，凸顯數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值；信息技術(shù)上，關(guān)注其與教學(xué)的深度融合，真正發(fā)揮信息技術(shù)在教學(xué)中的直觀作用；核心素養(yǎng)上，關(guān)注學(xué)生的思維過程以及對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)的提升培養(yǎng).基于此，本文對一線教學(xué)提出幾點建議.

關(guān)鍵詞：新教材；教材比較；三角函數(shù)

為落實立德樹人根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育，2017年教育部頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱為新課標(biāo)），在新課標(biāo)指導(dǎo)下，人民教育出版社于2019年出版了新版教材.教材作為實施課程標(biāo)準(zhǔn)的重要載體，新版教材相較2007年的舊版教材存在怎樣的聯(lián)系與區(qū)別？教師應(yīng)該如何衡量、選擇？這些問題值得思考，對貫徹實施好新課標(biāo)、推進教學(xué)實施有著重要意義.

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）作為三角函數(shù)中最基礎(chǔ)、最一般的函數(shù)模型，廣泛用于描述現(xiàn)實生活周期現(xiàn)象，是解決實際問題的重要工具，對有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的發(fā)展有重要意義.因此，以《人教2007年版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗數(shù)學(xué)教科書A版》（以下簡稱為舊教材）和《2019年版普通高中數(shù)學(xué)教科書A版》（以下簡稱為新教材）中“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”為研究對象，采用內(nèi)容分析法和比較法，從結(jié)構(gòu)編排、內(nèi)容設(shè)置（包括：導(dǎo)入部分、探究部分、例習(xí)題設(shè)置）、信息技術(shù)融合、核心素養(yǎng)四個方面進行微觀比較研究，以期為教師充分理解教材以及開展教學(xué)提供參考.

1 結(jié)構(gòu)編排比較

通過表1對新、舊教材的結(jié)構(gòu)內(nèi)容進行比較.

在舊教材中，課題名稱為：“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”，意味著其研究的主要內(nèi)容為：對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的探究，即A，ω，φ對函數(shù)圖象的影響.此外，內(nèi)容上還涉及A，ω，φ與描述簡諧運動的物理量（振幅、周期、頻率、相位、初相）之間的關(guān)系.而新教材中，課題名稱為：“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”，課題名稱的更改，揭示了本節(jié)研究內(nèi)容不僅限于對y=Asin（ωx+φ）函數(shù)圖象的探究，還包括其性質(zhì)與簡單應(yīng)用［1］.將“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）”分為兩小節(jié)，較舊教材增加了“5.6.1勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型”這一小節(jié)，并貫穿于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）教學(xué)的全過程，增強了前后知識的聯(lián)系性.而“振幅、周期、頻率、相位、初相”這部分內(nèi)容后移至5.7節(jié)“三角函數(shù)的應(yīng)用”內(nèi)容中，以簡諧運動中的彈簧振子為例具體展開，增強了其實際背景，這是編排順序上新教材與舊教材處理大為不同的地方.調(diào)整位置后使得新教材的每節(jié)內(nèi)容更加分明，凸顯了知識之間的邏輯連貫性，更符合學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣，學(xué)習(xí)起來更具有系統(tǒng)性.更是體現(xiàn)了基于新課標(biāo)的新教材設(shè)置更加重視知識的應(yīng)用性，增強了數(shù)學(xué)知識與跨學(xué)科內(nèi)容、現(xiàn)實生活的聯(lián)系.

2 內(nèi)容設(shè)置比較

2.1 導(dǎo)入部分比較

通過表2對新、舊教材的導(dǎo)入部分進行比較.

舊教材直接指出物理簡諧運動中單擺對平衡位置的位移y與時間x的關(guān)系、交流電的電流y與時間x的關(guān)系都是形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)［2］，并通過呈現(xiàn)實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的函數(shù)圖象與正弦曲線圖象相似，引出要探究的問題：y=Asin（ωx+φ）與y=sinx之間有什么關(guān)系？這樣的導(dǎo)入雖然能使研究內(nèi)容具有豐富的研究背景，但實際上學(xué)生對于簡諧運動等物理知識了解不夠深入，顯得探究味不足.

新教材從數(shù)學(xué)內(nèi)部知識的發(fā)展過程出發(fā)，將單位圓運動模型進行拓展，探究一般的勻速圓周運動的函數(shù)模型，并以筒車運動為實際背景引入.通過解決“筒車盛水筒距離水面的相對高度H與時間t的關(guān)系”這一問題，得出盛水筒運動的數(shù)學(xué)模型：H=rsin（ωx+φ）+h，從而引出對形如y=Asin（ωx+φ）函數(shù)的研究.體現(xiàn)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）現(xiàn)實背景的同時，使學(xué)生深切感受到研究這一函數(shù)圖象及性質(zhì)的目的和必要性.此外，筒車是我國古代時發(fā)明的一種水利灌溉工具，是中國傳統(tǒng)文化中的重要組成，素材選取“筒車運動模型”與新課標(biāo)中“教材編寫建議”相契合，即：“要重視中國傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)元素，要把數(shù)學(xué)文化融入到學(xué)習(xí)內(nèi)容中［3］”.

2.2 探究部分比較

新舊教材在探究各參數(shù)對函數(shù)圖象變換的影響時，采取了一致的研究路線：y=sinx→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ），但在探究內(nèi)容上存在著很大的區(qū)別.例如：舊教材在探究φ對y=sin（x+φ）這一函數(shù)圖象的影響時，先是借助計算機在同一坐標(biāo)系中，作出φ=π3時y=sinx+π3與y=sinx的函數(shù)圖象，再由點的坐標(biāo)變換規(guī)律觀察得出圖象之間的關(guān)系.舊教材基于直觀得出各個參數(shù)對函數(shù)圖象產(chǎn)生的影響，缺少對各參數(shù)實際意義的思考.

新教材的處理方式則大為不同，探究過程極其注重函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的實際背景.建立在“筒車問題”這一現(xiàn)實模型之上，將勻速圓周運動模型與三角函數(shù)模型緊密聯(lián)系.先從勻速圓周運動的實際意義看質(zhì)點的運動變化，再通過相應(yīng)函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)看圖象的變換.依舊以φ對y=sin（x+φ）函數(shù)圖象的影響為例，新教材先在勻速圓周運動的模型中分析φ的實際意義，即圓周運動中的起點位置.當(dāng)φ＞0（φ＜0）時，到達同一目標(biāo)點所耗費的時間更少（更多），將函數(shù)圖象上的點與圓周上的點一一對應(yīng)起來，則有縱坐標(biāo)相等時，橫坐標(biāo)變?。ㄗ兇螅瘮?shù)圖象左移（右移），從而揭示圖象上對應(yīng)點的坐標(biāo)變化，最后得出函數(shù)圖象的變化規(guī)律.新教材將勻速圓周運動中蘊含的物理意義、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)關(guān)系、函數(shù)圖象的變換三者之間進行動態(tài)關(guān)聯(lián)，從物理意義到數(shù)學(xué)意義，呈現(xiàn)從具體到抽象的過程，幫助學(xué)生借助參數(shù)的實際意義理解圖象變換，打通了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系［4］.

2.3 例習(xí)題比較

通過表3對新、舊教材的例題進行比較.

例題安排上，新舊教材中例1的差別在于參數(shù)ω發(fā)生改變，新教材中將ω設(shè)置為整數(shù)，降低題目難度，更加符合學(xué)生學(xué)習(xí)循序漸進的發(fā)展規(guī)律；由于新教材對內(nèi)容的結(jié)構(gòu)進行了調(diào)整，所以例2改為學(xué)生熟悉又頗感興趣的現(xiàn)實生活情境：“摩天輪”運動，進一步讓學(xué)生感受到圓周運動與三角函數(shù)模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生深入體會到數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系，滲透建模思想，增強知識的應(yīng)用性.習(xí)題安排上，新舊教材在練習(xí)部分?jǐn)?shù)量一致，內(nèi)容基本沒有變動，只是新教材將與簡諧運動相關(guān)設(shè)問刪除，后移至“5.7三角函數(shù)的應(yīng)用”中，所以此處不作過細(xì)的分析.節(jié)后習(xí)題部分，舊教材有“A組”“B組”之分，新教材則設(shè)置為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運用”兩個模塊，作業(yè)設(shè)計意圖更為具體.節(jié)后習(xí)題數(shù)量上，新教材“復(fù)習(xí)鞏固”模塊較舊教材“A組”少2題（均為簡諧運動相關(guān)習(xí)題）.舊教材“B組”習(xí)題3道，均為簡諧運動相關(guān)習(xí)題，所以新教材“綜合運用”模塊習(xí)題內(nèi)容變動較大，習(xí)題數(shù)量為4，前2道為根據(jù)函數(shù)圖象特征或函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式，后2道則為實際問題應(yīng)用類習(xí)題，增強了知識的綜合應(yīng)用性.

3 信息技術(shù)融合比較

新課標(biāo)提出：“要通過信息技術(shù)幫助學(xué)生獲得直觀感受，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學(xué)生解決問題提供直觀，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達到的效果”.舊教材在探究各參數(shù)對函數(shù)圖象變換的影響時，借助信息技術(shù)“輸入解析式”直接呈現(xiàn)參數(shù)變換前后圖象的結(jié)果，缺乏圖象生成的過程性、探究性，只是為學(xué)生觀察圖象變換提供直觀，使得教材與信息技術(shù)的融合停留在表層，沒有抓住圖象變換的本質(zhì)［5］.

新教材在內(nèi)容設(shè)置上則充分體現(xiàn)了信息技術(shù)的認(rèn)知工具作用，通過信息技術(shù)將圓周運動上的點與函數(shù)圖象上的點一一對應(yīng).例如：A=1，ω=1，φ=0（或φ＞0）時，質(zhì)點在單位圓上按逆時針方向做勻速圓周運動，隨著質(zhì)點的運動，以運動時間x為橫坐標(biāo)，質(zhì)點所在高度為縱坐標(biāo)，根據(jù)（x，sinx）或（x，sin（x+φ））將對應(yīng)的點一一描出，連線即可以同步得到函數(shù)y=sinx（或y=sin（x+φ））的圖象.如此一來，信息技術(shù)加強了知識的發(fā)生過程，達到效果直觀的同時，更形象地詮釋了三角函數(shù)模型的周期性，有效落實了新課標(biāo)中“信息技術(shù)與課程深度融合”的理念.

4 核心素養(yǎng)比較

新課標(biāo)首次提出“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”，指出：“要在數(shù)學(xué)內(nèi)容的表述中體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)融為一體”.

4.1 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)比較

本節(jié)內(nèi)容中，新教材的設(shè)計對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的有效發(fā)展起著重大作用，這也是新舊教材在學(xué)生核心素養(yǎng)提升方面最大的區(qū)別所在.從前面的分析中可以看出舊教材在提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)方面有所欠缺，而新教材以“筒車問題”作為情境引入，將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立函數(shù)模型，有效發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，與新課標(biāo)中“情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計要有利于發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的教學(xué)建議相契合.此外，新教材在探究過程中緊緊圍繞參數(shù)的實際意義展開，結(jié)合勻速圓周運動的模型，從具體到抽象，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升有著重要意義.

4.2 直觀想象素養(yǎng)比較

新舊教材均以信息技術(shù)為手段，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).在舊教材中，通過信息技術(shù)直接展示圖象變換前后的結(jié)果，再通過代數(shù)變換幫助學(xué)生直觀理解各參數(shù)對函數(shù)圖象變換產(chǎn)生的影響，對發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)有一定的促進意義.在新教材中，通過“單位圓”這一研究三角函數(shù)的重要工具，將質(zhì)點的勻速圓周運動與函數(shù)圖象的生成聯(lián)系在一起，突出勻速圓周運動模型與三角函數(shù)之間的聯(lián)系，結(jié)合勻速圓周運動中各參數(shù)的實際意義，讓抽象的圖象變換變得具體，有助于學(xué)生領(lǐng)會其中的數(shù)形結(jié)合思想，有效發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)［6］.

4.3 邏輯推理素養(yǎng)比較

新舊教材在探究各參數(shù)對函數(shù)圖象變換的影響時，將各個參數(shù)分開探究，各個擊破再整合處理，教會學(xué)生有條理地思考問題，從而在研究思路上幫助學(xué)生提升邏輯推理能力.舊教材通過代數(shù)變換，即圖象上縱坐標(biāo)相同的點的橫坐標(biāo)變化規(guī)律來探究函數(shù)圖象的變換規(guī)律，在一定程度上發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).新教材則緊緊圍繞參數(shù)的實際意義展開，尋找到學(xué)科與學(xué)科之間的聯(lián)結(jié)點，從物理意義到函數(shù)關(guān)系再到幾何意義解釋，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)得到了更有效地提升.

5 結(jié)論與建議

5.1 結(jié)論

通過比較和分析，可以得到如下結(jié)論.

第一，結(jié)構(gòu)編排方面.新教材對知識的編排順序進行了調(diào)整，增加“勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型”內(nèi)容，重新劃分小節(jié)，增強了前后知識之間的邏輯聯(lián)系性，使得前后知識相互關(guān)聯(lián)，有助于學(xué)生形成更為系統(tǒng)的知識體系.將“簡諧運動”相關(guān)內(nèi)容置后單獨成立小節(jié)，也體現(xiàn)出新教材更加注重將數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界聯(lián)系，關(guān)注跨學(xué)科內(nèi)容的學(xué)習(xí)，增強知識的應(yīng)用性.

第二，內(nèi)容設(shè)置方面.舊教材純粹注重參數(shù)對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的伸縮變換影響，忽略各參數(shù)在實際背景中的意義.新教材則不然，從導(dǎo)入到探究，再到例習(xí)題設(shè)計，每個環(huán)節(jié)的設(shè)置都極其注重對各參數(shù)實際意義的思考，使得新教材內(nèi)容更為豐富，更具育人價值.

第三，信息技術(shù)融合方面.信息技術(shù)與課程深度融合是新教材較舊教材而言最為突出的設(shè)計，舊教材的處理缺乏對圖象生成過程的體現(xiàn)，沒有揭示函數(shù)圖象變換的本質(zhì).新教材則將勻速圓周運動與三角函數(shù)圖象緊密聯(lián)系，顯現(xiàn)函數(shù)圖象的動態(tài)生成過程，真正發(fā)揮信息技術(shù)在教學(xué)中的直觀作用.

第四，核心素養(yǎng)方面.新教材將數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計與學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展相融合，在內(nèi)容上就凸顯出對學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的思考.從實際生活問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，注重建模思想的滲透，關(guān)注參數(shù)的實際意義，真正落實學(xué)生的核心素養(yǎng).較舊教材而言，新教材對促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)的提升培養(yǎng)有著更顯著的效果.

5.2 建議

5.2.1 注重數(shù)學(xué)知識教學(xué)的“必要性”

知識點不是憑空產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中很多內(nèi)容來源于生活并服務(wù)于生活，所以教學(xué)中要加強數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，注重知識點產(chǎn)生的背景，使學(xué)生充分感受到學(xué)習(xí)的必要性和價值，遵循教學(xué)的自然性原則.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型之一，教師在教學(xué)過程中要凸顯y=Asin（ωx+φ）的現(xiàn)實背景，例如：筒車運動、天體運動、摩天輪運動、物理中的簡諧運動等，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與跨學(xué)科知識、現(xiàn)實生活的聯(lián)系，體會到學(xué)習(xí)該函數(shù)的現(xiàn)實需要和必要性.

5.2.2 注重數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的“過程性”

教師對知識的傳授，不應(yīng)停留在記憶層面，要注重學(xué)生對知識的生成、理解的過程，必要時，可以借助信息技術(shù)幫助學(xué)生獲得直觀感受.例如：A、φ、ω對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象變換的影響不應(yīng)該局限于“左加右減，上加下減”等口訣的記憶或是讓學(xué)生進行大量的練習(xí)來鞏固.應(yīng)該結(jié)合y=Asin（ωx+φ）產(chǎn)生的實際背景，借助具體實例使學(xué)生弄清現(xiàn)實情境中各參數(shù)的實際意義，利用好信息技術(shù)，實現(xiàn)教學(xué)與信息技術(shù)的深度融合，幫助學(xué)生直觀、深刻地理解各參數(shù)對函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象變換的影響.

5.2.3 注重數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“滲透性”

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是空中樓閣，應(yīng)該以教材、數(shù)學(xué)知識為載體，充分挖掘教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)過程中滲透核心素養(yǎng)，使學(xué)生的核心素養(yǎng)得到切實提高［7］.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）這節(jié)內(nèi)容是促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)提升的重要載體.針對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的滲透和提升，新教材將數(shù)學(xué)知識與實際生活緊密聯(lián)系，通過筒車問題讓學(xué)生初步認(rèn)識勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生掌握一般的建模方法.此外，例題部分，通過摩天輪的生活情景，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，使數(shù)學(xué)抽象得到磨練，滲透了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想和意識.

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