基于思維進(jìn)階的初中數(shù)學(xué)深度教學(xué)設(shè)計(jì)

李齊榮

［摘要］ 以一節(jié)試題講評(píng)教學(xué)過程設(shè)計(jì)為例，探索思維進(jìn)階策略，通過預(yù)設(shè)問題，鋪設(shè)臺(tái)階，經(jīng)歷過程，引導(dǎo)學(xué)生思維由淺表向本源進(jìn)階；通過追問啟發(fā)，一題多解，引導(dǎo)思維由應(yīng)用向分析進(jìn)階；通過引導(dǎo)學(xué)生利用從特殊到一般地解決問題，引導(dǎo)學(xué)生思維深度進(jìn)階；通過歸納思想，深度學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生思維從分析到創(chuàng)新進(jìn)階，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。

［關(guān)鍵詞］ 深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)思維進(jìn)階；創(chuàng)新意識(shí)

弗賴登塔爾在《作為教有任務(wù)的數(shù)學(xué)》中提出了“再創(chuàng)造”這一數(shù)學(xué)教學(xué)思想。筆者認(rèn)為，學(xué)生的“再創(chuàng)造”應(yīng)該從思維進(jìn)階開始。教師在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，要以實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等，表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義；再使用類比、歸納、從特殊到一般、從一般到特殊等邏輯方法將問題一般化，探索規(guī)律，培養(yǎng)興趣，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)、思維進(jìn)階，幫助學(xué)生脫離題海，形成模型思想和應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)創(chuàng)新思維，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。本文以泰州市姜堰區(qū)2021-2022學(xué)年度第一學(xué)期期末測(cè)試九年級(jí)數(shù)學(xué)最后壓軸題的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述嘗試引導(dǎo)學(xué)生思維深度進(jìn)階的方案。

如圖1，已知點(diǎn)P是拋物線y=-x²+1的頂點(diǎn)，矩形ABCD中，頂點(diǎn)A、B在該拋物線上（其中點(diǎn)A在第一象限），頂點(diǎn)C、D在x軸上，連接線段BD、PD、BP，DP、AB交于點(diǎn)E。

（1）若點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)A、B、P坐標(biāo)分別為A（▲，▲）、B（▲，▲）、P（▲，▲）。

（2）①求證：∠BPD=90°；②連接PA，求證：PA²=PD·PE。

（3）解決完以上問題后，小明不禁自問：是不是只有拋物線y=-x²+1才有（2）中的結(jié)論呢？善于思考的小明將y=-x²+1作一般化處理，并提出了如下兩個(gè)問題：①如圖1拋物線y=-ax²+c（a＜0）中字母a、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，并說明理由；②如圖2拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）中字母a、b、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，請(qǐng)直接寫出結(jié)論。

一、教學(xué)分析

（一）題目分析

新課標(biāo)指出，發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。本題主要考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力，以拋物線為載體，以點(diǎn)的坐標(biāo)為橋梁，以坐標(biāo)的幾何意義為媒介，建立數(shù)與圖形之間的聯(lián)系，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想，指向數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。同時(shí)，出題者希望借助本題再次引導(dǎo)學(xué)生回顧蘇科版初中數(shù)學(xué)教材“二次函數(shù)圖像及性質(zhì)”中的探究方法，突出對(duì)學(xué)生閱讀分析能力、推理探究能力的考查；引導(dǎo)學(xué)生不要只顧埋頭刷題，要抽空抬頭靜思，從特殊到一般地進(jìn)行探索、推理、實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的自主探索、推理、實(shí)踐能力和創(chuàng)新思維。

（二）學(xué)情分析

本題整體得分率較低，存在的主要問題有頂點(diǎn)坐標(biāo)寫錯(cuò)、過程中計(jì)算出錯(cuò)、時(shí)間不夠未能答全等。對(duì)此，給出的解決方法有：一先想后算，審清題目，理清思路，避免中途更改；二多想少算，解法優(yōu)化，擇優(yōu)書寫，少走彎路，完整過程不丟分。

（三）目標(biāo)分析

一是經(jīng)歷自主探究的過程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探究和分析問題的能力。二是經(jīng)歷合作探究過程，培養(yǎng)學(xué)生合作意識(shí)和創(chuàng)新能力。三是經(jīng)歷類比、猜想、論證的數(shù)學(xué)思維過程，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般、從一般到特殊的歸納演繹推理過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)建模能力。四是經(jīng)歷這些數(shù)學(xué)問題探究過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的神奇魅力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（四）重點(diǎn)與難點(diǎn)

二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力及擇優(yōu)書寫解題過程的辨析能力培養(yǎng)；從特殊到一般、從一般到特殊的歸納總結(jié)建模，促進(jìn)思維進(jìn)階，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）鋪設(shè)臺(tái)階，經(jīng)歷過程，思維由淺表向本源進(jìn)階

問題1：抓住關(guān)鍵詞，特殊引入，回答下列問題：

（1）點(diǎn)P是拋物線y=-x²+1的頂點(diǎn)，則P（___，___）。

（2）矩形ABCD中，頂點(diǎn)A、B在該拋物線上（其中點(diǎn)A在第一象限），頂點(diǎn)C、D在x軸上，若點(diǎn)D坐標(biāo)為（1/2，0），則點(diǎn)A、B、P坐標(biāo)分別為A（___，___）、B（___，___）、P（___，___）。

（3）指出（2）中A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系。

（4）①在滿足（2）的情況下，求證：∠BPD=90°；②連接PA，求證：PA²=PD·PE。

【設(shè)計(jì)意圖】從特例引入。

問題2：（1）若點(diǎn)D坐標(biāo)為（m，0）（由點(diǎn)A在第一象限，隱含m﹥0的條件），則點(diǎn)A、B、P坐標(biāo)分別為A（___，___）、B（___，___）、P（___，___）。

（2）對(duì)比各點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系，哪些有變化？哪些不變？

（3）①求證：∠BPD=90°；②在此基礎(chǔ)上，連接PA，求證：PA²=PD·PE。

（4）上面用的方法在這里可以同理應(yīng)用嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】由特殊定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)，對(duì)比歸納，類比學(xué)習(xí)。

問題3：善于思考的小明將y=-x²+1作一般化處理為y=-x²+c（c﹥0），當(dāng)c滿足什么條件才能使得∠BPD=90°，并說明理由。

【設(shè)計(jì)意圖】引入一個(gè)參量，讓函數(shù)逐步走向一般。

問題4：如圖1拋物線y=ax²+c（a＜0）中，字母a、c滿足什么條件，才能使∠BPD=90°，并說明理由。

【設(shè)計(jì)意圖】再引入一個(gè)參量，讓函數(shù)更加一般化，引導(dǎo)學(xué)生思維逐步進(jìn)階。

問題5：拋物線y=ax²+bx+c可否化為拋物線y=ax²+c的形式？

【設(shè)計(jì)意圖】為解決下面問題鋪設(shè)臺(tái)階，引導(dǎo)學(xué)生思考二次函數(shù)y=ax²、y=ax²+k和y=ax²+bx+c間的關(guān)系，課本中是如何探索這類問題的，引導(dǎo)學(xué)生思維進(jìn)階。

問題6：如圖2拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）中字母

a、b、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，請(qǐng)直接寫出結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖】從二次函數(shù)的特殊形式到一般式，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，層層進(jìn)階。

筆者在引導(dǎo)學(xué)生思維進(jìn)階前了解到，蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)《教師教學(xué)用書》中提出“第5章第2節(jié)，從描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=x2的圖像開始，用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，由特殊到一般運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想逐步探討二次函數(shù)y=ax²、y=ax²+k和y=ax²+bx+c的圖像和基本性質(zhì)，這是二次函數(shù)的核心內(nèi)容，也是應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)”。本題命制的主導(dǎo)思想亦是如此。由具體二次函數(shù)及具體數(shù)解決問題，只是淺顯的應(yīng)用，其本源要深度追溯到在一般式中的應(yīng)用。因此，筆者預(yù)設(shè)問題，層層深入，讓學(xué)生親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，最大限度地引導(dǎo)學(xué)生投入觀察、思考、操作、推理、抽象的活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生思維由表及里進(jìn)階，由簡(jiǎn)單識(shí)記條件的反射式思維向理解實(shí)踐的應(yīng)用型思維進(jìn)階，在活動(dòng)中讓思維自由生長(zhǎng)。

（二）追問啟發(fā)，一題多解，思維由應(yīng)用向分析進(jìn)階

問題1中第（4）問，筆者通過追問引導(dǎo)學(xué)生思考一題多解，啟發(fā)學(xué)生思維由應(yīng)用向分析進(jìn)階。

追問1：求證：∠BPD=90°有哪些常用方法？

生：勾股定理的逆定理。（這是這次考試中用得最多的方法）

證法1（生分享證明思路）：如圖3，當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（1/2，0）時(shí)，則點(diǎn)A（1/2，3/4）、B（-1/2，3/4）、P（0，1）、

M（0，3/4）、C（-1/2，0）。

基于以上求得的坐標(biāo)，在Rt△ODP、Rt△BCD、在Rt△BPM中，利用勾股定理，可求得PD²、BD²、BP²，又因?yàn)镻D²+BP²=5/4+5/16=25/16，且BD²=25/16，所以PD²+BP²=BD²，則∠BPD=90°，證畢。

追問2：上圖3中，除熟悉的平面直角坐標(biāo)系、拋物線、矩形外，你能找出一些我們常見（考）的組合模型嗎？（讓學(xué)生用不同筆色畫出來，投影分享，主要有圖4和圖5兩種情況）

追問3：如圖4，由題意知∠BMP=∠POD=90°，

若已知∠BPD=90°，則可得出哪些結(jié)論？

生：△PBM與△DPO相似。

追問4：如圖4，若已知∠MBP=∠OPD，可否證出

∠BPD=90°？如何證明？

生：可證。由∠BMP=90°，可知∠MBP+∠BPM=

90°，又∠MBP=∠OPD，則∠OPD+∠BPD=90°，即∠BPD=90°。

追問5：又該如何證明∠MBP=∠OPD？

生：由圖5，由OP//AD得∠OPD=∠ADP，由“八字型”模型得∠ABP=∠ADP，故∠MBP=∠OPD。

追問6：“八字型”中∠BPD=90°可用嗎？

生：不能。

追問7：又該如何證明∠MBP=∠OPD？∠MBP、

∠OPD可分別置于哪兩個(gè)三角形中，它們特殊嗎？三邊可以表示嗎？可以表示這兩個(gè)角的三角函數(shù)嗎？?jī)蓚€(gè)角的三角函數(shù)相等，則這兩個(gè)角相等嗎？

生：（討論、交流）證法2：

通過正切函數(shù)的連等變換不難得出∠MBP=

∠OPD，再由∠BMP=90°，知∠MBP+∠BPM=90°，又有∠MBP=∠OPD，則∠OPD+∠BPM=90°，即∠BPD=90°。

追問8：比較各種解法優(yōu)劣，歸納總結(jié)：方法1引入字母后運(yùn)算量更大，解題時(shí)許多學(xué)生因運(yùn)算量大，做一半就放棄了，有的運(yùn)算出錯(cuò)了；方法2中引入字母后，邊OD、OP、PM、BM均可表示，且運(yùn)算量不大。

至于問題②連接PA，求證：PA2=PD·PE，正確率較高，在講解中略去。

學(xué)習(xí)的意義在于學(xué)習(xí)者學(xué)到越來越多認(rèn)識(shí)事物的程序，認(rèn)清事物之間的聯(lián)系，主動(dòng)建構(gòu)認(rèn)知圖式的過程。因此，筆者以如何證明直角的追問，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行橫向與縱向聯(lián)結(jié)化思考，從而提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。并且，筆者并不僅僅停留在知識(shí)應(yīng)用及問題解決上，還通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生在感受解決問題多樣化的同時(shí)，分析、比較、總結(jié)，優(yōu)化了解題方法。這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還培養(yǎng)了學(xué)生的辨析思維、判斷能力和辯證思維。同時(shí)，優(yōu)化解決問題方案的過程又是引導(dǎo)學(xué)生思維走向深度的過程，是引導(dǎo)學(xué)生由簡(jiǎn)單實(shí)踐應(yīng)用型思維向分析、辨析優(yōu)劣的辯證思維進(jìn)階的過程。

（三）歸納思想，深度學(xué)習(xí)，思維從分析到創(chuàng)新進(jìn)階

問題1涉及當(dāng)m=1/2時(shí)的特殊點(diǎn)，問題2涉及滿足條件的任意一點(diǎn)，用含m的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)A、D、B的坐標(biāo)及線段BM、PM、OD等信息。計(jì)算tan∠OPD、tan∠PBM屬于一般問題，適合用類比特殊情況的解題思想去完成，學(xué)生完成情況較好。

問題3開始將二次函數(shù)一般化，要使∠BPD=90°，只要∠MBP=∠OPD，即有tan∠PBM=tan∠OPD即可，此處訓(xùn)練了學(xué)生在圖形和函數(shù)兩個(gè)維度下切換思維的能力。

問題4則引導(dǎo)學(xué)生類比自主解決，當(dāng)a、c滿足ac=-1時(shí)，能使∠BPD=90°。

問題5的設(shè)計(jì)意圖是，筆者了解到學(xué)生對(duì)問題6無處入手，只知道y=ax²+c是y=ax²+bx+c當(dāng)b=0時(shí)的特殊形式，只注意到表面的“形”，而沒能將y=ax²+c看成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+m）²+n中m=0這種特殊情況的“實(shí)”。部分學(xué)生甚至說“老師這里若寫出提示，我就能想到了?！边@也從側(cè)面說明學(xué)生關(guān)注“形”，側(cè)重形象性思維，思維需要進(jìn)階。而學(xué)生知道拋物線y=ax²+bx+c可化為拋物線y=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a線的形式，又知道函數(shù)y=ax²+4ac-b²/4a的圖像與函數(shù)y=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a圖像間的平移關(guān)系，問題6就能迎刃而解。再類比問題4知，當(dāng)a·4ac-b²/4a=-1時(shí)，即b²- 4ac=4時(shí)，即可使∠BPD=90°。

這道試題，命題者參照教材中二次函數(shù)圖像及性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷而命制，考查了由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解決問題時(shí)考查了學(xué)生閱讀、探索、觀察、思考、操作、推理、抽象、概括等數(shù)學(xué)思想方法及關(guān)鍵能力。筆者深刻體會(huì)到：具體內(nèi)容的教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的教學(xué)應(yīng)有效結(jié)合，可最大限度地體現(xiàn)教學(xué)的價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展需要。本題作為壓軸題，時(shí)間短，探究跳躍大，難度明顯增大。這啟發(fā)筆者，今后的教學(xué)不能就題講題，要注重變式、拓展與創(chuàng)新；要注重引導(dǎo)學(xué)生從低階思維向綜合、拓展、創(chuàng)新型高階思維進(jìn)階，真正落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)中“創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終”。