數(shù)形結合助力小學生數(shù)學學習理解的教學實踐
——以“數(shù)射線上的分數(shù)”為例

◎ 蔣 娟

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》對數(shù)學的課程性質明確表述為“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學”。數(shù)學課程目標進一步強調發(fā)展學生運用數(shù)學知識與方法去發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）。數(shù)學課程內容組織，需要重視數(shù)學內容的直觀表述，處理好直觀與抽象之間的關系。學生的學習應是一個主動的過程，要促進學生理解和掌握數(shù)學的基礎知識和基本技能，體會和運用數(shù)學的思想與方法，獲得數(shù)學的基本活動經驗。［1］數(shù)形結合作為小學數(shù)學中最為普遍應用的思想方法之一，對學生數(shù)學知識體系的構建起著非常關鍵的作用，它對“促進學生數(shù)學學習理解的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在兩個方面，一是提高數(shù)學記憶功能，二是圖形語言有利于提升學生抽象數(shù)學思維能力。”［2］教師需要充分了解數(shù)形結合思想的內涵，理解其對學生數(shù)學學習的重要價值，才能正確將數(shù)形結合運用于教學中，從而發(fā)揮良好的效果。

一、數(shù)形結合思想的內涵闡釋

不論是數(shù)學理論探討，還是教學實踐研究，數(shù)形結合思想及其應用都已經有了較長歷史，而對于數(shù)形結合思想的內涵，卻一直沒有統(tǒng)一的界定。不過普遍都是從“數(shù)”和“形”兩者的特征和關系來進行解釋的，認為“數(shù)形結合思想就是通過數(shù)和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法，數(shù)形結合中的‘數(shù)’是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關系式等，‘形’主要是指幾何圖形和函數(shù)圖像等”。［3］數(shù)形結合的應用一般分為兩種形式，一種是將抽象的“數(shù)”通過具體的“形”來表現(xiàn)的“以形助數(shù)”，另一種是借助數(shù)的精確性來闡述形的性質的“以數(shù)解形”。

二、數(shù)形結合對小學生數(shù)學學習的價值與意義

教師在教學實踐中有意識地滲透數(shù)形結合思想，引導小學生學習數(shù)形結合的方法，對促進小學生數(shù)學學習有著非常重要的價值。

抽象知識的形象化，能夠降低數(shù)學概念的學習難度，增強學習的趣味性，提升學習效果。數(shù)學知識內容的高度抽象性，對學習興趣受到感性認知影響強烈的小學生而言，顯得晦澀又枯燥。教師如果利用圖形將抽象的數(shù)學知識轉化為具象化的內容，能夠幫助學生降低學習難度，更準確地把握問題的關鍵，進而有效地習得知識和學會問題的解決。

數(shù)學方法日常的滲透，能夠幫助學生去理解和解決數(shù)學問題，鍛煉他們的邏輯思維能力。相較于數(shù)學知識的教學，小學數(shù)學教師更應注重數(shù)學方法在日常教學中的滲透，讓學生學會并內化方法，學會、掌握并習慣運用數(shù)學思維方法解決問題，這不僅僅能夠幫助學生更順利地解決數(shù)學問題，更是一種良好數(shù)學思維方式的培養(yǎng)。

三、運用數(shù)形結合促進小學生數(shù)學學習理解的教學實踐

本文以滬教版《數(shù)學》四年級第一學期“整理與提高”單元中的“數(shù)射線上的分數(shù)”教學為例，呈現(xiàn)數(shù)形結合在小學數(shù)學教學中的具體實踐與思考。

（一）理清概念，分析教材與學情，明確學習起點

“數(shù)射線上的分數(shù)”是小學階段最后一節(jié)分數(shù)教學課，是對分數(shù)內容的整理與提高。而數(shù)射線作為一種學習數(shù)的工具，學生從進入小學開始就會接觸，比如數(shù)的認識、數(shù)的大小比較、整數(shù)的加減，都是借助數(shù)射線開展學習的。學生要學會在數(shù)射線上找到計數(shù)單位，能直觀地比較數(shù)的大小，進行數(shù)的加減計算。把數(shù)射線作為學習工具，在教材的編排上是有連續(xù)性的。

“數(shù)射線上的分數(shù)”這部分學習內容，對于四年級的學生來說，已經有了在數(shù)射線上進行整數(shù)的大小比較和加減計算的能力，再向前邁進一步，改變“計數(shù)單位”（原來的計數(shù)單位是1，現(xiàn)在變成幾分之一），將技能遷移到在數(shù)射線上進行分數(shù)的大小比較和加減計算顯得順理成章。因此，運用數(shù)射線來進一步開展分數(shù)學習，能夠幫助學生初步嘗試數(shù)形結合，建立分數(shù)計算的數(shù)學模型，解決實際問題。

（二）復習引入，引導學生對接已有學習經驗

在引入環(huán)節(jié)，教師考慮到學生已有的數(shù)射線知識還是在一年級時學習的，所以設計了從復習出發(fā)，回顧以往學習中數(shù)射線的作用，并為了對接分數(shù)學習主題，著重復習“計數(shù)單位”，以及數(shù)的大小比較，數(shù)的加減計算的本質——“計數(shù)單位”個數(shù)發(fā)生了變化。

例題 2<4，因為當計數(shù)單位是1 的時候，4 里面有4 個1，2 里面有2 個1，所以2<4。

3+4=7，在原來3 個1 的基礎上加上4 個1，得到了7 個1，所以等于7。

雖然通過回憶學生能夠很快就對數(shù)射線的概念和運用熟悉起來，而且在前一階段的學習后對分數(shù)概念也建立起了較好的基礎，但根據(jù)經驗判斷，學生對“在數(shù)射線上表示分數(shù)”的學習還是存在一定困難的。原因可能在于，從長度模型中用分數(shù)表示長度，要轉化到數(shù)射線上用分數(shù)表示位置，這個遷移過程對四年級學生來說跨度較大，因為“計數(shù)單位”可以根據(jù)研究問題的需要發(fā)生變化。因此，為了幫助學生順利過渡，教師設計在“數(shù)射線上表示整數(shù)”復習中體驗“計數(shù)單位”的個數(shù)變化。

（三）活動探究，指導學生遷移學習改造原有經驗

圖1

在正式教學環(huán)節(jié)，教師設計了在“數(shù)射線上找分數(shù)”活動，引導學生遷移在數(shù)射線上找整數(shù)的方法，在數(shù)射線上找分數(shù)。首先在媒體中，大家一起先尋找一個分數(shù)，口述尋找的過程：將0—1 這段數(shù)射線平均分成5 份，從0開始向右數(shù)3 份，這里的計數(shù)單位為，然后讓學生繼續(xù)尋找其他的分數(shù)。

在這個環(huán)節(jié)，教師不僅要關注學生是否能夠準確找到分數(shù)值在數(shù)射線上的位置，還要重點引導學生理解數(shù)射線上找分數(shù)與找整數(shù)的主要區(qū)別：要將單位1 平均分得到分數(shù)單位。通過這個環(huán)節(jié)，引導學生經歷和感受計數(shù)單位從整數(shù)到分數(shù)的變化，在原有對數(shù)的理解結構中螺旋上升做出調整。同時，在教學過程中，通過讓學生描述找分數(shù)的過程，鍛煉學生使用規(guī)范的數(shù)學語言表達的能力。

活動2：分數(shù)的大小比較

通過學生分組活動，嘗試解決兩個不同類型的分數(shù)大小比較問題，探究借助數(shù)射線解決分數(shù)問題的過程。

經過活動1 的練習后，學生已經掌握了在數(shù)射線上準確找出分數(shù)位置的方法，進而再嘗試通過位置比較，來確認兩個分數(shù)的大小關系。在解決問題中發(fā)現(xiàn)，同分母的分數(shù)可以在一條數(shù)射線上表示，比較的是相同計數(shù)單位的個數(shù)，個數(shù)越多數(shù)就越大；同分子的分數(shù)可以在兩條數(shù)射線上表示，再對計數(shù)單位的大小進行比較，相同數(shù)量的計數(shù)單位，計數(shù)單位越大，數(shù)就越大。因此有：

活動3：分數(shù)的加減計算

當準確理解和把握數(shù)射線上計數(shù)單位變化的規(guī)律后，再解決分數(shù)的加減問題學生就會覺得輕松。例如，在數(shù)射線上，把0—1 這段平均分成7 份，每格是，計數(shù)單位就是，先找到，往右跳3 個，跳到，結果就是。

在問題解決過程中，學生在數(shù)射線上準確定位分數(shù)時知道了這里的一格表示幾分之一，進一步明確計數(shù)單位是幾分之一，再次深入體驗到和自然數(shù)相比，計數(shù)單位如何發(fā)生變化。

（四）觀察對比，引導學生歸納總結加深學習理解

在前期學習中，學生已經學習過借用分數(shù)墻來進行分數(shù)的大小比較以及加減計算的方法。本節(jié)課再指導學生用數(shù)射線來解決同樣的問題，為了能夠引導學生感受和深入思考，教師設計了問題反思環(huán)節(jié)，讓學生通過討論和表達，激發(fā)更多的思考。

師：既然有這么多方法來解決這些分數(shù)的問題，特別是分數(shù)墻和數(shù)射線很相似（見圖2），那今天我們?yōu)槭裁催€要使用數(shù)射線呢？

圖2

教師引導學生觀察、對比。學生自己總結表達了利用數(shù)射線來解決分數(shù)問題的優(yōu)勢。

（1）在數(shù)射線上出現(xiàn)的分數(shù)可以直觀地進行比較，不僅僅局限于同分母和分子。

（2）在數(shù)射線上做分數(shù)的加減可以更加直觀地看到計算結果。

（3）在一條數(shù)射線上可以表示很多分數(shù)，可以表示比1 小的分數(shù)，也可以表示比1 大的分數(shù)。

（4）分數(shù)墻中的一條只能表示同一分母的分數(shù)，如果要表示不同分母的分數(shù)要另外疊加一條。不同分母的分數(shù)越多，這堵墻會越來越高，但是不同分母的分數(shù)卻可以在一條數(shù)射線上表示。

（5）在數(shù)射線上表示分數(shù)沒有局限性，可以表示出所有的分數(shù)，以后也可以表示所有的小數(shù)。

教師通過引導學生對所學不同知識之間的觀察、對比與思考，嘗試列舉并歸納觀點，不僅加深了學生對數(shù)射線解決分數(shù)問題的方法理解，初步建立起分數(shù)計算數(shù)學模型，還更深層理解了數(shù)形結合這一思想在數(shù)學學習中的優(yōu)勢。

（五）延伸拓展，指導學生在問題解決中鍛煉數(shù)學思維

數(shù)學是為了培養(yǎng)學生理解與解釋現(xiàn)實世界的思考方式的學科。要讓學生能夠在數(shù)學與現(xiàn)實世界之間建立起邏輯聯(lián)系，需要從小學階段就注重學生在問題解決過程中數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。為了對本節(jié)課學習效果進行反饋，也為了能夠讓學生進一步運用數(shù)形結合思想方法解決問題，教師在教學的最后環(huán)節(jié)做了如下設計。

拓展活動：小丁、小巧、小亞要包裝禮物，小丁拿走整條包裝繩的，小巧需要剩下包裝繩的，那么小亞能夠拿到整條包裝繩的多少呢？

根據(jù)教學經驗，通過列式解答的方法，會有不少學生在理解過程中出現(xiàn)偏差，甚至有部分學生會無從入手。而經過本節(jié)課前面部分的學習，學生自然會想到運用數(shù)射線來輔助解決問題。如圖3 所示，將0—1 這段線段看作包裝繩，將它平均分成4 份，然后取走它的，然后把剩下的包裝繩平均分成6 份，取走后，就能發(fā)現(xiàn)小亞能夠拿到剩下包裝繩的，也就是整條包裝繩的。

圖3

借助數(shù)射線直觀地解決了問題，讓學生再一次感悟了數(shù)形結合思想方法的便利性與有效性，有助于強化學生在今后解決同類問題時方法的遷移意識，促進學生數(shù)學思維的初步養(yǎng)成。

四、教學反思

“數(shù)射線上的分數(shù)”一課的教學是一次數(shù)形結合思想方法的滲透，課堂上，教師引導學生積極地嘗試學習。借助形的直觀表現(xiàn)，初步實現(xiàn)分數(shù)概念從“過程”到“對象”的轉變，讓學生體驗分數(shù)知識可以從動手操作、觀察實物中去學習，讓學生在觀察、比較和歸納的過程中，不僅對分數(shù)這部分學科內容有了抽象的認識，同時，還在數(shù)形結合方法的經歷過程中，初步嘗試了建立分數(shù)計算數(shù)學模型來解決實際問題。在小學生數(shù)學教學中，教師有意識地進行數(shù)形結合方法的運用，幫助學生建立形和數(shù)的聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)感，提高學生對數(shù)學知識的敏銳度。通過啟發(fā)式的教學活動，激發(fā)學生的學習興趣，促進小學生數(shù)學學習理解，提高學生分析解決數(shù)學問題的靈活性。