高中生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的評(píng)價(jià)研究

◎ 汪 健

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2017 版課標(biāo)》）將“數(shù)學(xué)建模”作為數(shù)學(xué)學(xué)科六個(gè)核心素養(yǎng)之一提出以來(lái)，廣大高中數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)建模的關(guān)注日益增加?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）解讀》指出：“數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高中課程，就是要通過(guò)教師有目標(biāo)、有層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)和指導(dǎo)，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)、自主地學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)?！保?］而作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)有機(jī)組成部分，教學(xué)評(píng)價(jià)在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)各個(gè)維度的發(fā)展過(guò)程中起著舉足輕重的作用，數(shù)學(xué)建模也不例外。因此，對(duì)數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)進(jìn)行研究是重要且必要的工作。

《2017 版課標(biāo)》指出，教學(xué)評(píng)價(jià)要遵循以下四個(gè)原則：重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成；重視評(píng)價(jià)的整體性與階段性；重視過(guò)程評(píng)價(jià)；關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度。［2］作為我國(guó)教育體系中最核心、最重要的教學(xué)評(píng)價(jià)之一，高考及其評(píng)價(jià)體系對(duì)日常教學(xué)中的評(píng)價(jià)有著重要的導(dǎo)向作用。在2019年出臺(tái)的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中，明確提出了“一核”“四層”“四翼”的設(shè)計(jì)，如圖1 所示，為具體教學(xué)過(guò)程中的評(píng)價(jià)工作指明了方向。

圖1 《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的“一核”“四層”“四翼”［3］

一、數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程、素養(yǎng)表現(xiàn)與評(píng)價(jià)

根據(jù)上述思想，結(jié)合數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)開(kāi)放性、探究性和實(shí)踐性的特點(diǎn)，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)可以在“四翼”中的綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性要求的引領(lǐng)下，從數(shù)學(xué)建模的各個(gè)環(huán)節(jié)入手來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，以期達(dá)到考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的目的。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的基本過(guò)程如圖2所示。

圖2 數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的基本過(guò)程［2］

在數(shù)學(xué)建模的各個(gè)環(huán)節(jié)中，對(duì)這一核心素養(yǎng)的體現(xiàn)是全方位的。在從“實(shí)際情境”到“提出問(wèn)題”的環(huán)節(jié)中，需要具備發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力（情境與問(wèn)題）；在“建立模型”“求解模型”環(huán)節(jié)中，需要能夠創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題（知識(shí)與技能）；而在“建模—解?！獧z驗(yàn)”的循環(huán)中，需要理解數(shù)學(xué)建模的意義和作用，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程和結(jié)果（思維與表達(dá)）；在回歸“實(shí)際結(jié)果”的環(huán)節(jié)中，則需要學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)建模的結(jié)論和思想闡釋科學(xué)規(guī)律和社會(huì)現(xiàn)象（交流與反思）?！?017 版課標(biāo)》也對(duì)這四個(gè)維度在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的三個(gè)水平上的表現(xiàn)進(jìn)行了更細(xì)致的闡述，可以歸結(jié)為表1。

表1 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平劃分［4］

《2017 版課標(biāo)》指出，對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的評(píng)價(jià)應(yīng)遵循上述劃分標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)也要依據(jù)滿意原則和加分原則。在《2017 版課標(biāo)》中反復(fù)提及的這兩個(gè)原則，落實(shí)到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的評(píng)價(jià)時(shí)可以理解為：“滿意原則”由教師靈活掌握，教師認(rèn)可，即認(rèn)為達(dá)到滿意水平，不必追求最優(yōu)解和唯一解；“加分原則”在數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的評(píng)價(jià)中則反映在方法的創(chuàng)新性、模型的原創(chuàng)性、表達(dá)的準(zhǔn)確性等方面。［4］

二、基于數(shù)學(xué)建模六環(huán)節(jié)的案例評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)

通過(guò)擷取數(shù)學(xué)建模六環(huán)節(jié)中的“提出問(wèn)題”“建立模型”“求解模型”“檢驗(yàn)結(jié)果”諸環(huán)節(jié)，根據(jù)高考評(píng)價(jià)體系中的綜合性、創(chuàng)新性和應(yīng)用性，筆者結(jié)合以下案例來(lái)闡述對(duì)評(píng)價(jià)選材、評(píng)價(jià)要素以及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)等方面的思考。

案例 某校的機(jī)器人社團(tuán)為了準(zhǔn)備參加比賽，需要為他們制作的智能小車(chē)設(shè)計(jì)一條試運(yùn)行軌道。按照大賽的規(guī)則，軌道中應(yīng)包含一個(gè)供小車(chē)爬坡的彎道。彎道兩頭的直道相對(duì)位置如圖3 所示。

圖3 彎道兩頭的直道相對(duì)位置

為保證小車(chē)行進(jìn)順利，A、B兩點(diǎn)處軌道應(yīng)當(dāng)平滑地連接起來(lái)，即彎道與直道之間不能形成“拐角”。請(qǐng)根據(jù)上述要求，為機(jī)器人社團(tuán)設(shè)計(jì)一個(gè)符合要求的彎道。［5］

（一）在綜合情境中提出問(wèn)題

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生習(xí)慣于扮演“解題者”的角色，通常只是被動(dòng)地接受題干給出的條件，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。而這些已知條件往往是經(jīng)過(guò)命題人“裁剪”的，可謂“不多不少，繁簡(jiǎn)適中”。但是在數(shù)學(xué)建模中，情況發(fā)生了改變。由于問(wèn)題往往來(lái)自實(shí)際情境，由可能獲得的數(shù)據(jù)與約束構(gòu)成的已知條件可能多于求解時(shí)所需的；同時(shí)，有些條件的細(xì)節(jié)過(guò)于復(fù)雜，并不適合原封不動(dòng)地加入考慮因素中，需要作適當(dāng)?shù)睦硐牖幚硪员惬@得實(shí)用的模型。

在評(píng)價(jià)選材時(shí)，要注意所謂綜合情境應(yīng)當(dāng)是直接來(lái)自實(shí)際生活、科學(xué)現(xiàn)象等，未經(jīng)數(shù)學(xué)化的問(wèn)題。在評(píng)價(jià)過(guò)程中，需要關(guān)注的數(shù)學(xué)建模過(guò)程要素是提出問(wèn)題的環(huán)節(jié)，也就是選擇問(wèn)題中的主要因素，建立它們之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，把問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并準(zhǔn)確地表述出來(lái)。而評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)則應(yīng)當(dāng)在參照表1 的同時(shí)掌握滿意原則和加分原則。在提出問(wèn)題的環(huán)節(jié)中，滿意原則可表現(xiàn)為：即使學(xué)生簡(jiǎn)化問(wèn)題的方式與教師的預(yù)設(shè)不一致，只要合理，也可以認(rèn)定已經(jīng)達(dá)到相應(yīng)的素養(yǎng)水平；而加分原則表現(xiàn)為：如果學(xué)生能夠考慮較復(fù)雜的簡(jiǎn)化方式，甚至引用非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)，提出更貼近原始情境的問(wèn)題，則可以認(rèn)定已經(jīng)達(dá)到了更高的素養(yǎng)水平。

環(huán)節(jié)1——提出問(wèn)題

（1）評(píng)價(jià)選材：近年來(lái)，隨著3D 打印、激光雕刻等技術(shù)的普及，相關(guān)的圖形設(shè)計(jì)問(wèn)題也逐步走進(jìn)了中學(xué)生的學(xué)習(xí)生活中。本例提示學(xué)生可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，建立函數(shù)模型來(lái)解決相關(guān)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。

（2）評(píng)價(jià)要素：重點(diǎn)考查學(xué)生將復(fù)雜的實(shí)際情境與熟悉的函數(shù)模型進(jìn)行聯(lián)系，進(jìn)而將直觀認(rèn)知的問(wèn)題數(shù)學(xué)化的能力。

（3）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：對(duì)學(xué)生所提問(wèn)題的評(píng)價(jià)可以分為兩個(gè)層面。若學(xué)生能簡(jiǎn)化情境，并嘗試將熟悉的函數(shù)圖像作為模型的備選方案，則可以認(rèn)為給出了滿意答案；若學(xué)生能適當(dāng)引入跨學(xué)科知識(shí)（如運(yùn)動(dòng)學(xué)），幫助分析并提出更貼近真實(shí)情境的問(wèn)題，則可以適當(dāng)加分。

（4）解答梗概：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，水平向右的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為。求函數(shù)， 使得且。學(xué)生可能提出的問(wèn)題及相關(guān)的參考評(píng)價(jià)依據(jù)如表2 所示［2］。

表2 學(xué)生回答與評(píng)價(jià)示例

（5）案例亮點(diǎn)：從表2 的第二個(gè)示例回答可以看到，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)，可將要求中的“平滑”解讀為曲線在銜接處的切線方向與直道一致，從而通過(guò)導(dǎo)數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)的限制條件，體現(xiàn)了“四翼”中的綜合性［3］。

（二）在建模解模中尋求創(chuàng)新

數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的一大難點(diǎn)在于素材的選擇。不少教師都有這樣的體驗(yàn)：設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)時(shí)選擇的問(wèn)題往往要么偏向真實(shí)情境，條件太復(fù)雜，以至于不適合作為評(píng)價(jià)材料；要么偏向傳統(tǒng)習(xí)題，接近應(yīng)用題，以至于無(wú)法考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。其實(shí)很多傳統(tǒng)應(yīng)用題是經(jīng)由實(shí)際情形簡(jiǎn)化而來(lái)，因此將這些應(yīng)用題進(jìn)行逆向改造，可以成為好的評(píng)價(jià)材料。改造的手段包括但不限于：將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的條件還原為自然語(yǔ)言表述，增加變量個(gè)數(shù)，將變量之間明確的等量關(guān)系改為不確定的不等關(guān)系，等等。

在對(duì)建模解模的評(píng)價(jià)過(guò)程中，評(píng)價(jià)的要素主要體現(xiàn)在選擇參數(shù)，建立參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)求解等方面。而在評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)上，如果建模合理，解模正確，就可以認(rèn)定已達(dá)到滿意原則的要求；而建立優(yōu)化的模型，運(yùn)用有創(chuàng)造性的方式求解，則可根據(jù)加分原則予以加分?？偟膩?lái)說(shuō)，如何讓傳統(tǒng)素材在數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)中發(fā)揮新作用是值得關(guān)注的。

環(huán)節(jié)2——建立模型、求解模型

（1）評(píng)價(jià)選材：本例的建模與求解環(huán)節(jié)脫胎于經(jīng)典的“待定系數(shù)法”，但邊界條件的復(fù)雜性導(dǎo)致了函數(shù)模型選擇與求解過(guò)程的開(kāi)放性。

（2）評(píng)價(jià)要素：重點(diǎn)考查學(xué)生從已知函數(shù)模型中甄選適當(dāng)對(duì)象的能力，同時(shí)對(duì)學(xué)生提出了創(chuàng)新能力方面的挑戰(zhàn)，要求跳出固有的思維模式來(lái)求解問(wèn)題。

（3）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：對(duì)學(xué)生建模解模的評(píng)價(jià)可以分為兩個(gè)方面。

在建模過(guò)程中，若學(xué)生經(jīng)嘗試后能排除拋物線、圓弧等模型，轉(zhuǎn)而考慮有可能同時(shí)滿足兩組邊界條件的函數(shù)模型，則根據(jù)滿意原則認(rèn)為在建立模型的環(huán)節(jié)達(dá)到了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平二的要求；若學(xué)生能基于對(duì)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，識(shí)別出一些簡(jiǎn)單而適用的模型（如三次函數(shù)、三角函數(shù)等），則根據(jù)加分原則，可以加分。

在解模過(guò)程中，若學(xué)生能運(yùn)用信息技術(shù)等手段，求出數(shù)值解，則根據(jù)滿意原則認(rèn)為在求解模型的環(huán)節(jié)達(dá)到了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平二的要求；若學(xué)生能夠使用目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)求出精確解，則根據(jù)加分原則，可以加分。

（4）解答梗概：可以選擇三次函數(shù)模型或三角函數(shù)模型進(jìn)行求解?？赡艿慕鉀Q方案包括但不限于，等。

（5）案例亮點(diǎn)：本例對(duì)函數(shù)模型的選擇和求解拓展了學(xué)生對(duì)“待定系數(shù)法”的認(rèn)識(shí)。這種將傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法加以創(chuàng)造性使用的做法符合“四翼”中的創(chuàng)新性所強(qiáng)調(diào)的：發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論［3］。

（三）在結(jié)果檢驗(yàn)中突出應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)除了在“情境與問(wèn)題”維度有較高要求之外，在“交流與反思”維度也有獨(dú)到之處，特別是提出了對(duì)模型及其運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)的要求?！?017 版課標(biāo)》中將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在交流與反思維度的表現(xiàn)劃分為以下三個(gè)層次：能夠借助或引用已有數(shù)學(xué)建模的結(jié)果說(shuō)明問(wèn)題；能夠用模型的思想說(shuō)明問(wèn)題；能夠通過(guò)數(shù)學(xué)建模的結(jié)論和思想闡釋科學(xué)規(guī)律和社會(huì)現(xiàn)象。［2］

在評(píng)價(jià)時(shí)主要關(guān)注學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模結(jié)果與思想，建立數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程、結(jié)論與原始問(wèn)題之間的聯(lián)系并加以表達(dá)的能力。由于評(píng)價(jià)的對(duì)象是學(xué)生對(duì)模型的評(píng)價(jià)，因此只要評(píng)價(jià)是合理的，條理是清晰的，就可以認(rèn)為是滿意答案。而當(dāng)學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)建模的思想出發(fā)給出具有獨(dú)創(chuàng)性的評(píng)價(jià)，或者在模型與問(wèn)題之間建立更深層次的聯(lián)系時(shí)，可以加分。

環(huán)節(jié)3——檢驗(yàn)結(jié)果

（1）評(píng)價(jià)選材：本例的評(píng)價(jià)關(guān)注不同函數(shù)模型之間的比較，需要對(duì)不同模型進(jìn)行定量的比較來(lái)評(píng)判其優(yōu)勢(shì)與不足。

（2）評(píng)價(jià)要素：關(guān)注“檢驗(yàn)結(jié)果”的環(huán)節(jié)，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用已有數(shù)學(xué)建模的結(jié)果和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程與結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)的能力，以及在此基礎(chǔ)上發(fā)展出新的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的能力。

（4）解答梗概：可以使用模型在A、B兩點(diǎn)處的曲率、來(lái)對(duì)二者進(jìn)行比較。以三次函數(shù)和三角函數(shù)的模型為例，相關(guān)比較結(jié)果如表3 所示。

表3 兩種模型的曲率對(duì)比

因此在A、B兩點(diǎn)處，都是三角函數(shù)模型的設(shè)計(jì)更加平滑。

（5）案例亮點(diǎn)：本例選取的素材貼近時(shí)代、貼近社會(huì)、貼近生活，與“四翼”中的應(yīng)用性要求高度吻合。同時(shí)，對(duì)學(xué)生回答的評(píng)價(jià)方式也可以體現(xiàn)與應(yīng)用性相符的“結(jié)論開(kāi)放、解題方法多樣、答案不唯一”特點(diǎn)［3］，從小處體現(xiàn)了打破“五唯論”的價(jià)值導(dǎo)向。

三、結(jié)語(yǔ)

在上面案例中，我們的討論涉及數(shù)學(xué)建模的不同環(huán)節(jié)，并按照滿意原則與加分原則分別進(jìn)行評(píng)價(jià)。其中包含了豐富的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要素以及“滿意原則”“加分原則”這兩條評(píng)價(jià)原則的具體表現(xiàn)。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)中需要關(guān)注的內(nèi)容是多方面的，可以歸納為著重考查數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的作用，特別是在“三會(huì)”方面的表現(xiàn)。例如，發(fā)展學(xué)生對(duì)實(shí)際情境進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化并提出相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界；而數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，不僅僅局限于傳統(tǒng)的“應(yīng)用題”模式，也在其他問(wèn)題形式中得到體現(xiàn)，可以啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界；此外，對(duì)模型進(jìn)行解釋，則是數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)表達(dá)之間的聯(lián)動(dòng)，可以增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的能力。

因此，我們對(duì)數(shù)學(xué)建模的評(píng)價(jià)所作的思考可以歸納為如下建議：要依據(jù)數(shù)學(xué)建模的各個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)內(nèi)容；評(píng)價(jià)過(guò)程中要重視建模思想與經(jīng)典知識(shí)的互動(dòng)；要遵循滿意原則和加分原則去評(píng)價(jià)。