巧用均值不等式證明數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題

南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047) 周 輝

均值不等式是一個應(yīng)用非常廣泛的不等式,在證明不等式問題時,為了創(chuàng)設(shè)使用均值不等式的條件,常常需要對題中的式子作適當(dāng)?shù)淖冃?而變形的出發(fā)點(diǎn)又常常是在兼顧所給條件的基礎(chǔ)上注意不等式的取等條件.

證明：由均值不等式可得

以上三式相加得

推而廣之,我們有(證明留給讀者):

已知a,b,c是滿足abc=1的正數(shù),k是正整數(shù),求證:

例5 (2022年印度數(shù)學(xué)奧林匹克試題) 已知x,y是滿足xy=1的實(shí)數(shù),求證:

當(dāng)然利用xy=1可以直接轉(zhuǎn)化為一元不等式來處理,但對本題而言,遠(yuǎn)沒有先換元后轉(zhuǎn)化這樣簡單快捷. 文末,我們編擬一道有趣的類似題留給讀者完成證明 :