一道全國(guó)高中聯(lián)賽題的解法賞析及溯源

安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué) (231600) 王東海

1 真題呈現(xiàn)

(2022年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽第10題) 給定正實(shí)數(shù)m(m≥3).設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}與正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}滿足:{an}的首項(xiàng)等于{bn}的公比,{bn}的首項(xiàng)等于{an}的公差,且am=bm,求am的最小值,并確定當(dāng)am取最小值時(shí)a1與b1的比值.

分析：觀察此題,應(yīng)首先用盡量少的變量表示am,得到am的函數(shù)式,然后考慮使用導(dǎo)數(shù)法或均值不等式來求解am最值.

2 解法探究

探求思路一設(shè)出{an}和{bn}的公差和公比,用這兩個(gè)變量去表示am.

探求思路2 使用上述解法在求導(dǎo)數(shù)時(shí)較為復(fù)雜,運(yùn)算量較大,若換元后求導(dǎo)可簡(jiǎn)化運(yùn)算.

探求思路3 除了使用導(dǎo)數(shù)法求最小值外,我們還可使用多元均值不等式加以求解.

解析3:設(shè){an}的公差是d,d>0,{bn}的公比為q,am=q+(m-1)d,bm=dqm-1,

探求思路四解析3使用了換元法,將所求設(shè)為λ往往不易想到,也可直接使用均值不等式.

探求思路六從另一個(gè)角度也可直接使用均值不等式,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維大有裨益.

解析5 設(shè){an}的公差是d,d>0,{bn}的公比為q,am=q+(m-1)d,bm=dqm-1,

探求思路六解法5對(duì)函數(shù)采取分子分母同除以分子的技巧,我們還可考慮下面的處理策略.

3 追本溯源

題1 (2016年高考Ⅰ卷16題)函數(shù)y=2sinx+sin2x的最小值為.

解析：

4 結(jié)語

本題題目新穎,將數(shù)列與導(dǎo)數(shù)、均值不等式相結(jié)合,在知識(shí)的交匯處命題.處理時(shí)切入點(diǎn)較多,本文呈現(xiàn)了幾種常見的解法,事實(shí)上還有其它解法,囿于篇幅,不一一介紹,希望能拋轉(zhuǎn)引玉,同廣大讀者共同探討解法.