對一道高考解析幾何試題的研究性學(xué)習(xí)*

福建省云霄實(shí)驗(yàn)中學(xué) (363300) 蔡國文

福建省漳州第一中學(xué) (363000) 林志展

1 試題呈現(xiàn)

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)

本題是2021年全國新高考數(shù)學(xué)I卷第21題．考查雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力,屬于中檔題．

2 解法探究

3 變式探究

易知|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|與A、B、P、Q四點(diǎn)共圓等價(jià)．

思考1 逆命題成立嗎?

若直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和,則θ+β=π,所以|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,則A、B、P、Q四點(diǎn)共圓,所以命題1成立．

命題3 過不在圓錐曲線C上的一點(diǎn)T作兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),若A、B、P、Q四點(diǎn)共圓,則直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0．

4 點(diǎn)擊高考

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)過F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點(diǎn),且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程．

簡解：由上面命題3可知,若A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上,則直線l與直線MN的斜率之和為0,又直線l與直線MN垂直,所以直線l的斜率等于±1,又F(1,0)∈l,所以l方程為y=±(x-1)．

(Ⅰ)證明:點(diǎn)P在C上;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為Q,證明:A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.

5 教學(xué)啟示

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說過:“反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心動力,沒有反思,學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”． 著名數(shù)學(xué)家波利亞也指出:“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半,而更重要的是解題之后的回顧與反思．”因?yàn)榉此伎梢陨罨瘜栴}的理解、優(yōu)化思維過程、揭示問題本質(zhì)、溝通知識間的相互、促進(jìn)知識的同化和遷移、進(jìn)而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn),是提高學(xué)生解題能力的重要途徑,所以在習(xí)題教學(xué)中要特別注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思,使學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣,使這種外部行為逐步轉(zhuǎn)化為學(xué)生的內(nèi)部行為．例題講解后進(jìn)行總結(jié)、提煉、加以顯化,讓學(xué)生回顧反思,總結(jié)思想方法和思維策略,使學(xué)生明白通過學(xué)習(xí)可以得到哪些有用的結(jié)論,找出哪些共有的規(guī)律,從而提高數(shù)學(xué)解題能力,優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析與解決問題的能力,真正掌握解題的“金鑰匙”．這樣才能做到“以不變應(yīng)萬變”,在高考中立于不敗之地．