滲透類比思想 培養(yǎng)創(chuàng)新思維
——以“等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式”為例

江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) (226300) 丁建兵

當(dāng)下,數(shù)學(xué)教育側(cè)重于方法、過程和個(gè)體體驗(yàn),關(guān)注于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的提升.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,單一的知識(shí)講授已經(jīng)難以滿足學(xué)生生長和思維發(fā)展的需求.教學(xué)中,教師有必要采用多種的教學(xué)方式和教學(xué)手段來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.類比思想方法在提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力,激發(fā)學(xué)生潛能,發(fā)揮學(xué)生主體性等方面有著重要的應(yīng)用.因此,教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際,創(chuàng)造機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生通過新舊類比來理解和掌握新知,幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).筆者以“等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式”為例,呈現(xiàn)類比思想在教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值,以期通過類比提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和創(chuàng)新能力.

一、教學(xué)分析

1、教學(xué)目標(biāo)

(1)理解等比數(shù)列的定義及相關(guān)概念;

(2)掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,并運(yùn)用通項(xiàng)公式求相關(guān)項(xiàng);

(3)運(yùn)用類比思想方法提高學(xué)生觀察、歸納、分析等邏輯思維能力,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

2、教學(xué)重難點(diǎn)

(1)等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)等相關(guān)概念;

(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo).

二、教學(xué)簡錄

1、導(dǎo)入

問題已知數(shù)列{an},其中a1=1,a2=2;數(shù)列{bn},其中b2=2.對(duì)任意的i、j、m、p∈N*,i+j=m+p,均有aibj=ambp,試求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式.

問題給出后,教師讓學(xué)生嘗試運(yùn)用等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)尋找解決問題的方法.

師:通過研究問題,你有什么發(fā)現(xiàn)?

師:很好,結(jié)合等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),你認(rèn)為我們應(yīng)該如何來描述它的本質(zhì)屬性呢?它的通項(xiàng)公式又會(huì)是什么呢?

設(shè)計(jì)意圖：借助問題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)所研究的內(nèi)容與之前所學(xué)不同,由此引發(fā)學(xué)生對(duì)新知探究的熱情.同時(shí),教師有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想等差數(shù)列,繼而為類比教學(xué)作鋪墊.

2、探索新知

環(huán)節(jié)1:探索定義

師:等差數(shù)列的定義大家還記得嗎?

生齊聲答:記得.

教師點(diǎn)名讓學(xué)生陳述等差數(shù)列的定義.

在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下,學(xué)生給出了等比數(shù)列的定義,教師進(jìn)行補(bǔ)充,并給出等比數(shù)列的完整定義.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生與等差數(shù)列的定義相類比,抽象等比數(shù)列的本質(zhì)屬性,以此提高學(xué)生的抽象概括能力,激發(fā)學(xué)生探究熱情.

環(huán)節(jié)2:探索通項(xiàng)公式

師:與等差數(shù)列的定義相比,你認(rèn)為等比數(shù)列強(qiáng)調(diào)的是什么呢?(生積極思考)

生2:等比數(shù)列的任意項(xiàng)不能為0,即公比q不能為0.

生3:也就是說常數(shù)列一定是等差數(shù)列,但是它不一定等比數(shù)列,如0,0,0,….(生3補(bǔ)充道)

師:大家說得很好.那么對(duì)于問題1中的數(shù)列{an},它的通項(xiàng)公式會(huì)是什么呢?

在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下,學(xué)生結(jié)合等差數(shù)列公式的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn),利用累乘的方法推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.

這樣完成等比數(shù)列概念的抽象和通項(xiàng)公式推導(dǎo)后,教師鼓勵(lì)學(xué)生與等差數(shù)列相類比,并用列表方式進(jìn)行小結(jié).通過師生互動(dòng)交流,教師給出下表:

在表1的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步分析,從運(yùn)算符號(hào)上進(jìn)行總結(jié)歸納,從而得到了表2:

表1

表2

設(shè)計(jì)意圖：教師充分發(fā)揮學(xué)生的主體性,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比分析,這樣既幫助學(xué)生鞏固了已有的等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),又讓學(xué)生在自主探索中獲得了新知.另外,在此環(huán)節(jié),教師刻意放慢節(jié)奏,引導(dǎo)學(xué)生利用表格對(duì)比總結(jié)等差數(shù)列和等比數(shù)列的差異,讓學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上,掌握數(shù)學(xué)研究方法,提升了學(xué)習(xí)質(zhì)量.

環(huán)節(jié)3:探索性質(zhì)

師:在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí),我們還學(xué)習(xí)了等差中項(xiàng),你認(rèn)為等比中項(xiàng)會(huì)是什么呢?(生積極交流)

學(xué)生通過類比聯(lián)想得到等比中項(xiàng)的概念后,教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)驗(yàn)證.在此基礎(chǔ)上,教師給出相應(yīng)練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步理解相關(guān)概念,并得到相關(guān)結(jié)論.

師:很好,若求9和25的等差中項(xiàng)A和等比中項(xiàng)G該如何求呢?

學(xué)生根據(jù)中項(xiàng)公式很快得到等差中項(xiàng)A是17,等比中項(xiàng)G是15或-15.

師:若數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其中a1=9,a5=25,求a3的值.

問題給出后,部分學(xué)生結(jié)合上面解題經(jīng)驗(yàn)給出a3的值為15或-15,顯然部分學(xué)生掉入了教師預(yù)設(shè)的陷阱,由此教師充分利用這一生成讓學(xué)生思考:這里為什么a3不能為負(fù)值.

師:結(jié)合以上問題,你能得出什么結(jié)論嗎?

生5:在等比數(shù)列{an}中,其奇數(shù)項(xiàng){a2n-1}和{a2n}各項(xiàng)的符號(hào)相同.

設(shè)計(jì)意圖：教師從學(xué)生已經(jīng)掌握的等差數(shù)列出發(fā),通過類比聯(lián)想讓學(xué)生推理相關(guān)結(jié)論,以此提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力,提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3、練習(xí)(略)

三、教學(xué)思考

等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中的重要內(nèi)容,也是高考的重要考點(diǎn),兩者既有明顯的聯(lián)系,也有一定的區(qū)別.在教學(xué)等比數(shù)列時(shí),大多教師會(huì)從等差數(shù)列入手,開展類比教學(xué),以此在鞏固舊知的基礎(chǔ)上讓學(xué)生自主抽象相關(guān)的概念及性質(zhì),以此提高學(xué)生的邏輯思維能力,落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1、問題引領(lǐng),引發(fā)類比

在本案例教學(xué)中,教師從學(xué)生熟悉的等差數(shù)列練習(xí)題入手,通過改編將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,由此引發(fā)認(rèn)知沖突,既激發(fā)了學(xué)生的探究欲,又為本課開展類比學(xué)習(xí)埋下伏筆.在探索新知的過程中,教師鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用類比方法進(jìn)行探索,如在給等比數(shù)列下定義時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列的定義,然后通過類比抽象出等比數(shù)列的概念.當(dāng)然,在以上教學(xué)中,除了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)方面的類比外,教師還重視引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方法的類比.如在推導(dǎo)通項(xiàng)公式時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生從累差法入手,通過對(duì)比分析,自然發(fā)現(xiàn)累乘法,從而推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.通過類比提高了學(xué)生認(rèn)識(shí)問題和解決問題的能力,提高了課堂教學(xué)有效性.

2、科學(xué)驗(yàn)證,求同存異

類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,它可以幫助學(xué)生在已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展延伸,以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能.不過類比得到的結(jié)論是一種猜想,具有一定的主觀性,需要進(jìn)行科學(xué)的驗(yàn)證.

例如,在探究等比中項(xiàng)時(shí),不能想當(dāng)然地認(rèn)為等比中項(xiàng)與等比數(shù)列是充要條件,如0,0,0不是等比數(shù)列,但是02=0×0.因此,在教學(xué)中,既要“求同”,啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,達(dá)到溫故知新的效果,也要“求異”,指導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證,從而有效避免形式上的類比而出現(xiàn)負(fù)向遷移.

總之,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要不斷更新教學(xué)觀念,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的形成過程,有效地提升學(xué)習(xí)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率.