夯實基礎(chǔ)強(qiáng)本質(zhì),彰顯能力重創(chuàng)新*
——基于“三新”背景下的三角函數(shù)大單元的深度學(xué)習(xí)

陜西省安康市漢陰中學(xué) (725100) 梁 華

在新教材(人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過)、新課程(《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版,2020年修訂》)、新高考的“三新”背景下,三角函數(shù)模塊知識試題的命題具有明顯的特點,更注重數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)性、網(wǎng)絡(luò)性,夯實基礎(chǔ);凸顯數(shù)學(xué)知識的綜合性、聯(lián)系性,強(qiáng)化本質(zhì);展示數(shù)學(xué)思維的靈活性、應(yīng)用性,彰顯能力;強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)意識的探究性、創(chuàng)新性,側(cè)重創(chuàng)新等,更強(qiáng)調(diào)結(jié)合三角函數(shù)自身以及三角函數(shù)與其他知識之間的聯(lián)系,充分體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)的考查效能、選拔功能及高考的區(qū)分功能．

1．夯實基礎(chǔ),構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

“三新”背景下三角函數(shù)的命題,突出對三角函數(shù)的概念與定義、圖象與性質(zhì)、基本公式等層面的考查,全面構(gòu)建三角函數(shù)的知識網(wǎng)絡(luò),注重三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識的理解與掌握,全面夯實基礎(chǔ)．

A．ω=2 B．f(x)的值域是[-2,2]

分析：根據(jù)題設(shè)條件,通過函數(shù)f(x)的周期滿足的不等式以及對稱中心,構(gòu)建相關(guān)參數(shù)的不等式或關(guān)系式,得以確定對應(yīng)的參數(shù)值,進(jìn)而確定三角函數(shù)的解析式,利用三角函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)來分析與判斷．

綜上,本題選擇A、C．

點評：三角函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)是解決相關(guān)三角函數(shù)問題中的基礎(chǔ)所在,也是高考三角函數(shù)模塊中的根本．解決此類問題的關(guān)鍵就是利用題設(shè)條件確定對應(yīng)的參數(shù)值,正確構(gòu)建對應(yīng)的三角函數(shù)解析式,為進(jìn)一步的綜合與應(yīng)用提供條件．

2．強(qiáng)化本質(zhì),增加聯(lián)系

“三新”背景下三角函數(shù)的命題,強(qiáng)化三角函數(shù)的本質(zhì)屬性與內(nèi)涵,注重三角函數(shù)與函數(shù)、三角函數(shù)與解三角形以及三角函數(shù)與其他知識之間的聯(lián)系,突出三角函數(shù)的自身應(yīng)用以及其與其他知識的聯(lián)系,展示內(nèi)涵本質(zhì)．

例2 (2023屆臺州市高三數(shù)學(xué)一模題)設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c．若A≠B,且sinAcos(2B-A)=sinBcos(2A-B)．則tanAtanB的值為________．

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合解三角形與三角函數(shù)的聯(lián)系,借助題設(shè)中的三角關(guān)系式,尋找關(guān)鍵角A-B進(jìn)行整體思維,利用三角關(guān)系式合理配湊與巧妙轉(zhuǎn)化,結(jié)合三角恒等變換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與求解．

點評：三角函數(shù)與解三角形之間的綜合與聯(lián)系,是三角函數(shù)模塊知識中比較常見的一種聯(lián)系方式．此類問題中,關(guān)鍵是尋找角與角之間的關(guān)系,或單獨處理,或整體思維,特別是利用關(guān)鍵角的整體應(yīng)用,往往是合理配湊與整體思維的巧妙應(yīng)用,對于解決此類三角函數(shù)關(guān)系式具有很強(qiáng)的應(yīng)用性、技巧性．

3．彰顯能力,凸顯思維

“三新”背景下三角函數(shù)的命題,熟練理解并掌握三角函數(shù)中的相關(guān)概念與公式,重視三角公式的應(yīng)用,開拓三角函數(shù)的考查空間與思維角度,提升相應(yīng)的認(rèn)知水平與解題技巧,提升數(shù)學(xué)能力,凸顯數(shù)學(xué)思維．

例3 (2022—2023學(xué)年南京市高三(上)學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)f(x),任意x,y∈R,滿足f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且f(1)=2,f(2)=0,則f(1)+f(2)+…+f(90)=( ).

A．-2 B．0 C．2 D．4

分析：結(jié)合已知條件f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y)的結(jié)構(gòu)特征,合理聯(lián)想到三角函數(shù)模型的正弦平方差公式sin2x-sin2y=sin(x+y)sin(x-y),合理配湊系數(shù),構(gòu)建特殊三角函數(shù)模型來進(jìn)行特殊化處理．

點評：借助三角函數(shù)模型來特殊化解決此類問題時,往往是結(jié)合抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征與對應(yīng)的三角函數(shù)公式加以聯(lián)系,其中三角函數(shù)模型f(x)=Asinωx(A,ω≠0)或f(x)=Acosωx(A,ω≠0)中的最值情況由系數(shù)A決定,周期情況由系數(shù)ω決定,根據(jù)具體場景加以合理正確選?。?/p>

4．側(cè)重創(chuàng)新,強(qiáng)調(diào)意識

“三新”背景下三角函數(shù)的命題,結(jié)合三角函數(shù)與基本知識的交匯融合、三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題以及三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化等問題的創(chuàng)設(shè),合理創(chuàng)新與應(yīng)用,有效增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維與能力的綜合性、創(chuàng)新性,展示三角函數(shù)的創(chuàng)新應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識．

A．15π B．12π C．6π D．3π

分析：通過創(chuàng)新場景的類比,利用干支紀(jì)年歷法的規(guī)律,類比確定“加(減)”混合類的三角函數(shù)的最小正周期的求解,結(jié)合正弦型(或余弦型)函數(shù)的最小正周期的確定,并結(jié)合最小公倍數(shù)的確定來綜合與應(yīng)用．

點評：在創(chuàng)新場景下,通過類比思維與類比創(chuàng)新,構(gòu)建不同知識之間的鏈接,通過合理的推理與證明,實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化知識與三角函數(shù)知識之間的關(guān)聯(lián),形成數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新性、數(shù)學(xué)方法的創(chuàng)新性等．

在“三新”(新教材、新課程、新高考)背景下,進(jìn)一步落實“雙減”政策與新改革理念,積極貫徹《總體方案》要求,高考三角函數(shù)知識模塊的命題特色在尋求基礎(chǔ)、本質(zhì)、能力、創(chuàng)新等的基礎(chǔ)上,更多側(cè)重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與關(guān)鍵能力的考查,堅持開放創(chuàng)新與核心素養(yǎng)導(dǎo)向,更加注重數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用,全面體現(xiàn)高考的選拔性與區(qū)分度．