“小先生制”在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用初探

江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué) (215000) 吳 靜

陶行知先生倡導(dǎo)的“小先生制”指引人人都要將自己認(rèn)識的字和學(xué)到的文化隨時(shí)隨地教給別人;愛德加·戴爾的金子談學(xué)習(xí)理論認(rèn)為“教別人”或者“馬上應(yīng)用”可以記住90%的學(xué)習(xí)內(nèi)容.可見參與式學(xué)習(xí)是最有效果的.加入“小先生”的課堂,學(xué)生自幼即教人,為服務(wù)社會的實(shí)際工作,有利于培養(yǎng)學(xué)生的社會適應(yīng)性;加入“小先生”的課堂,學(xué)生充分進(jìn)行數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維及膽量的訓(xùn)練,促進(jìn)學(xué)生能夠大膽地將自己的見解通過語言表達(dá)出來,進(jìn)而形成自己的獨(dú)立見解;加入“小先生”的課堂,優(yōu)化了教學(xué)環(huán)節(jié),為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)能夠充分表現(xiàn)自我的氛圍,為每個(gè)學(xué)生個(gè)體提供更多的機(jī)遇,促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的全面發(fā)展,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,活躍了數(shù)學(xué)課堂.本文將結(jié)合在三個(gè)日常教學(xué)情境中實(shí)施的“小先生制”案例,談?wù)勅绾卧诔Ｒ?guī)課堂中應(yīng)用“小先生制”,進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)教育像空氣一樣普遍.

一、各抒己見百思齊放

“仁者見仁,智者見智”解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常有很多種解法,在處理一些多解法問題時(shí)可以請學(xué)生上臺交流解決方法,為何選此法,能否推廣一般,引導(dǎo)學(xué)生對比方法,教會學(xué)生從不同的角度分析問題,加深理解,發(fā)展思維,提升能力.此種情境下,會解題的學(xué)生即為小先生,他們站上講臺,表達(dá)自己的所思所想.

圖1

師：數(shù)量積的解法我們常用的是四種:數(shù)量積公式法,投影向量定義法,平面向量基本定理轉(zhuǎn)化成基底法,建系轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算(坐標(biāo))法.針對本題你有什么樣的做法呢?為什么選擇這個(gè)做法,能否推廣到一般情形?

圖2

方法推廣：以后在方便建系的情況下都可以建立直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算,比如有直角或者等腰條件,還有一些特殊角,比如30°,45°,60°,120°,135°,150°等也可以.重點(diǎn)在于要寫清楚各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化到代數(shù)運(yùn)算,突破方法是提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng).

方法推廣：當(dāng)所求向量數(shù)量積長度和夾角不明確時(shí),可以選擇其他合適的向量來表示進(jìn)而完成運(yùn)算,一般是題中已知向量或者已知模長和夾角的都適合做基底.重點(diǎn)在于準(zhǔn)確選定基底,有時(shí)不止一對基底,且夾角也要小心不能出錯,突破方法是提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).

圖3

方法推廣：投影向量法是向量數(shù)量積幾何意義的表達(dá),所以能夠采用投影法求數(shù)量積大小尤其是取值范圍問題是非常省時(shí)省力的一個(gè)方法.重點(diǎn)在于理解向量數(shù)量積的本質(zhì)意義,能夠在具體的問題中準(zhǔn)確找到一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影向量,這對學(xué)生思維的深度是有一定要求的,需要學(xué)生多加練習(xí),體會知識發(fā)生的過程,突破方法是提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

圖4

方法推廣：對于共起點(diǎn)的兩個(gè)向量求數(shù)量積通過取兩向量終點(diǎn)連線的中點(diǎn)運(yùn)用極化恒等式可以起到事半功倍的效果.重點(diǎn)在于此法適合的是“共起點(diǎn)”的兩個(gè)向量求數(shù)量積,具有一定的特殊性,突破方法是提升數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng).

數(shù)學(xué)課堂上一題多解的情境是非常之多的,很多教師也會請學(xué)生講解方法,但是缺乏思維的提煉,而“小先生制”的數(shù)學(xué)課堂,讓學(xué)生扮演教師對一個(gè)問題解法從思維的切入點(diǎn)到具體操作再到方法的推廣以及對學(xué)生能力素養(yǎng)要求一一剖析,真正體現(xiàn)了“先生”的傳道授業(yè)解惑.對于分享解法的學(xué)生而言,參與了研究學(xué)習(xí),必定印象深刻,增強(qiáng)信心;對于聽得學(xué)生而言,則是在集體的思維中暢游,積累了更多感悟,必將激發(fā)思維,正像英國作家蕭伯納所說:“如果你有一種思想,我有一種思想,彼此交換,我們每個(gè)人就有了兩種思想,甚至多于兩種思想.”

二、孰對孰錯辯中求真

數(shù)學(xué)中有許多容易混淆的概念、知識點(diǎn),他們既有相似之處也有不同,學(xué)生在解決此類問題時(shí)經(jīng)常會因概念不清導(dǎo)致不同結(jié)果.此時(shí)教師不要做“法官”直接下結(jié)論,而是交由學(xué)生組織“搜證”辯論,對比結(jié)果反查過程.此種情境下,慎辨析的學(xué)生即為小先生,他們匯總一些易混點(diǎn),深度挖掘剖析理解.

案例2 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),方程x2-5|x|+6=0的根的個(gè)數(shù)為.

生1：因?yàn)閤2=|x|2,則|x|2-5|x|+6=(|x|-2)(|x|-3)=0,于是x=±2,±3,共4個(gè)根.

三個(gè)同學(xué)不同的解法得到三個(gè)不同的答案,孰對孰錯呢?教師引導(dǎo)學(xué)生成立討論小組,反查過程,尋找錯因.

經(jīng)討論發(fā)現(xiàn),生1做法錯在認(rèn)為復(fù)數(shù)滿足x2=|x|2,事實(shí)上從代數(shù)運(yùn)算上看,設(shè)復(fù)數(shù)x=a+bi(a,b∈R),則x2=a2+2abi-b2,|x|2=a2+b2,當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)x2=|x|2成立,即x為實(shí)數(shù)時(shí)成立,生1的解法確實(shí)所得都是實(shí)數(shù)解;從幾何意義上看,x2是復(fù)數(shù)的乘法,表示了向量的旋轉(zhuǎn),而|x|2是復(fù)數(shù)模的平方,表示的是長度,兩者沒有等價(jià)關(guān)系.

生3的做法是可以和生1,生2的做法形成對比的,先待定系數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)代入,然后再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解含絕對值的方程利用實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化,避免了討論,結(jié)果正確.

復(fù)數(shù)集是在實(shí)數(shù)集上的擴(kuò)充,很多的運(yùn)算法則也是類比推廣的,而復(fù)數(shù)的幾何意義對應(yīng)向量,復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算也對應(yīng)了向量的加法、減法運(yùn)算,因此三者有著很緊密的聯(lián)系,既有相似但也存在區(qū)別.針對這個(gè)混淆點(diǎn),教師再次引導(dǎo)各小組翻查資料提出一些向量、實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算的對比,供學(xué)生深度辨析.這里總結(jié)各小組提出的辨析問題:

(1) 若a是實(shí)數(shù),則a2=|a|2;

若z為復(fù)數(shù),則z2=|z|2;(×)

(2) 若a,b是實(shí)數(shù),且|a|=|b|,則a=±b;

若z1,z2為復(fù)數(shù),且|z1|=|z2|,則z1=±z2;(×)

(3) 若a,b是實(shí)數(shù),則|ab|=|a||b|;

若z1,z2為復(fù)數(shù),則|z1·z2|=|z1||z2|;( √ )

(4) 若a,b是實(shí)數(shù),且|a+b|=|a-b|,則ab=0;

若z1,z2為復(fù)數(shù),且|z1+z2|=|z1-z2|,則z1z2=0;(×)

(5) 若a,b,c是實(shí)數(shù),a≠0,且ab=ac,則b=c;

若z1,z2,z3為復(fù)數(shù),z1≠0,且z1z2=z1z3,則z2=z3;( √ )

(6) 若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|2+|a-b|2=2|a|2+2|b|2;

若z1,z2為復(fù)數(shù),則|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2;( √ )

(7) 若a,b是實(shí)數(shù),a≠0,且ab=|a|2,則b=a;

若z1,z2為復(fù)數(shù),z1≠0,且z1z2=|z1|2,則z2=z1.(×)

數(shù)學(xué)課堂上當(dāng)不同結(jié)果出現(xiàn)時(shí),老師如果簡單判定給出正確答案,則學(xué)生不知為何而錯,而“小先生制”的數(shù)學(xué)課堂,讓學(xué)生對比結(jié)果判定正誤,搜集資料,參與設(shè)計(jì)辨析題,意在通過多角度大范圍地對比辨析,真正體會知識發(fā)生的過程,掌握方法的遷移而不是知識簡單的復(fù)制,從而提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

三、開放探究發(fā)散創(chuàng)新

發(fā)散思維是思考者根據(jù)已有的知識、經(jīng)驗(yàn)等,從不同角度、沿不同的方向、進(jìn)行各種不同層次的思考,多觸角全方位的尋求與探索新知識.一堂開放的探究課堂上,每一個(gè)有思想的學(xué)生即為小先生,他們自由地展示自己的想法,不論好差.

案例3新函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究

一般地,對于一些重要的思想方法,涉及內(nèi)容知識較多,可開展開放活動探究課,此時(shí)小先生登臺,教師只需事先給學(xué)生分工,學(xué)生提前做好準(zhǔn)備,先小組交流,學(xué)生進(jìn)行自評,互評,最終進(jìn)行各小組成果的匯報(bào)課,小組成員進(jìn)行自評,互評,教師點(diǎn)評.此情境下的“小先生制”數(shù)學(xué)課堂,人人參與,意在將教育化為“春風(fēng)風(fēng)人,夏雨雨人”一樣,人人有得到施展的機(jī)會.

結(jié)語：“小先生制”在高中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用是廣泛的,文中提到的三種情境基本上是在習(xí)題講評中,筆者還將繼續(xù)探索在新授課及試卷講評課等中的應(yīng)用.“小先生制”的應(yīng)用將培養(yǎng)學(xué)生深度理解,充分表達(dá),拓寬視野,發(fā)展思維．因此,教師要充分發(fā)揮“小先生制”的優(yōu)勢所在,不斷在課堂上合理踐行,從而使“小先生”成為課堂的常客,扎實(shí)提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．路漫漫,“小先生”課堂研究之路任重而道遠(yuǎn),學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成之路循序而漸進(jìn).