二維局域共振周期格柵結(jié)構(gòu)的低頻振動(dòng)帶隙特性研究

李文博,章橋新

(武漢理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,武漢 430070)

0 引 言

在實(shí)際工程應(yīng)用中,低頻振動(dòng)和噪聲的控制一直是難以解決的問題[1]。低頻彈性波在傳播過程中穿透力強(qiáng),難以衰減,對(duì)大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械設(shè)備都是有害的,尤其是對(duì)機(jī)床和精密儀器。車削螺紋過程中機(jī)床、刀具和工件所產(chǎn)生的振動(dòng),引起刀—工切削接觸關(guān)系不斷變化,導(dǎo)致切削層厚改變,從而使切削力發(fā)生變化,切削過程處于不穩(wěn)定狀態(tài),直接影響螺紋加工質(zhì)量和加工效率[2]。潛艇在巡航時(shí),主推進(jìn)電機(jī)、柴油機(jī)、發(fā)電機(jī)組等機(jī)械設(shè)備的低頻振動(dòng)通過基座或支架傳遞到船體,激勵(lì)船體振動(dòng)向水中輻射聲波,從而影響潛艇的隱蔽性[3]。戰(zhàn)機(jī)在飛行過程中,發(fā)動(dòng)機(jī)工作、導(dǎo)彈發(fā)射、特殊的飛行動(dòng)作等都會(huì)對(duì)飛機(jī)本身產(chǎn)生嚴(yán)重振動(dòng)和沖擊[4]。機(jī)械振動(dòng)不但會(huì)造成結(jié)構(gòu)的疲勞損傷甚至破壞,影響設(shè)備的工作性能和壽命,還會(huì)危害人們的身心健康,特別是次聲頻段的彈性波易與機(jī)體器官發(fā)生共振[5-6]。

針對(duì)低頻減振問題,目前常見的措施主要包括結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與參數(shù)優(yōu)化、附加動(dòng)力吸振器、附加阻尼材料、增加阻振質(zhì)量,以及主動(dòng)控制等[7]?？傮w來看,以上技術(shù)經(jīng)過多年的發(fā)展,其有效性已被大量的應(yīng)用實(shí)踐證明。然而,在應(yīng)用中還存在一些問題,例如:傳統(tǒng)單自由度動(dòng)力吸振器作用頻段窄,對(duì)于復(fù)雜彈性結(jié)構(gòu),并不一定能使結(jié)構(gòu)整體振動(dòng)有效降低[8];自由阻尼工藝簡(jiǎn)單、實(shí)施方便,但效果較弱,約束阻尼又使結(jié)構(gòu)質(zhì)量增大[9]。針對(duì)以上問題,基于聲學(xué)超材料的輕質(zhì)周期格柵結(jié)構(gòu)提供了有效的解決途徑。

周期格柵結(jié)構(gòu)是指由桿單元構(gòu)成的原胞(最小的基本結(jié)構(gòu)單元),按照指定的特征方向進(jìn)行周期性排列所形成的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)由于具有高比強(qiáng)度、高比剛度、隔熱和隔振等特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于航空航天、艦船潛艇、機(jī)械裝備等結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中[10]。目前對(duì)二維格柵結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)性能(剛度、強(qiáng)度等)已經(jīng)進(jìn)行了深入的研究[11]。同時(shí),減振特性作為結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要性能,如何實(shí)現(xiàn)消除和控制二維周期格柵結(jié)構(gòu)中彈性波的傳播或振動(dòng)也是很值得重視的問題。

通常情況下,振動(dòng)都是以彈性波的方式在結(jié)構(gòu)中進(jìn)行傳播。從本質(zhì)上來說,結(jié)構(gòu)的振動(dòng)可以歸結(jié)為彈性波在介質(zhì)中的傳播效應(yīng)。對(duì)彈性波在介質(zhì)中傳播特性的研究,是振動(dòng)控制研究領(lǐng)域的核心問題[12]。其實(shí),彈性波在周期支撐或加筋的各種梁板以及桁架等結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)顯現(xiàn)的帶隙特性較早就已被發(fā)現(xiàn)[13-14]。彈性波在周期結(jié)構(gòu)中傳播時(shí),受其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的作用,在一定頻率范圍(帶隙)內(nèi)被阻止傳播,而在其他頻率范圍(通帶)可以無損耗地傳播。Phani等[15]利用Floquet-Bloch原理研究了4種具有代表性的二維周期格柵結(jié)構(gòu)(正方形、三角形、六邊形以及Kagome結(jié)構(gòu))的能帶結(jié)構(gòu)及其帶隙特性,研究發(fā)現(xiàn),4種結(jié)構(gòu)的帶隙頻率都在幾千甚至幾萬赫茲以上,很難在低頻產(chǎn)生帶隙。2000年,Liu等[16]首次提出了局域共振型聲子晶體的概念,用硅橡膠包裹鉛球按照簡(jiǎn)單立方晶格排列在環(huán)氧樹脂基體中,理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都證實(shí)該單元尺寸為 2 cm 的結(jié)構(gòu)具有400 Hz左右的低頻帶隙,比同樣尺寸的Bragg散射型聲子晶體的第一帶隙頻率降低了兩個(gè)數(shù)量級(jí)。Liu等[17]將二維手性周期格柵結(jié)構(gòu)與彈性包覆體結(jié)合,提出了一種用于低頻應(yīng)用的手性超材料復(fù)合結(jié)構(gòu)。Martinsson等[18]對(duì)均勻密度與非均勻密度桿組成的方形格柵結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)僅非均勻密度的格柵結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生振動(dòng)帶隙。Zhao等[19]通過引入Koch分形結(jié)構(gòu),讓原本不會(huì)產(chǎn)生帶隙的正方形格柵結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一定寬度的低頻帶隙,而且隨著分形迭代次數(shù)的增加,帶隙的數(shù)量越多,帶隙的頻率越低。Zhang等[20]基于拓?fù)鋬?yōu)化的方法對(duì)六邊形周期格柵結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化,優(yōu)化后的六邊形格柵結(jié)構(gòu)具有更低頻率的帶隙。王建偉[21]設(shè)計(jì)含壓電分流電路的周期格柵結(jié)構(gòu),通過不同分流電路的組合,實(shí)現(xiàn)更寬頻率范圍的振動(dòng)衰減。Han等[22]將正方形格柵結(jié)構(gòu)的桿單元周期性截?cái)?讓部分桿單元一端不受約束,從而產(chǎn)生低頻帶隙。

本文提出一種新型二維局域共振周期格柵結(jié)構(gòu),結(jié)合有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)的帶隙特性進(jìn)行了研究。首先,計(jì)算無限周期結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu),并結(jié)合振動(dòng)模態(tài)分析了局域共振帶隙的產(chǎn)生機(jī)理。其次,基于局域共振單元的等效模型分析了結(jié)構(gòu)的材料和尺寸參數(shù)對(duì)帶隙的影響。最后,通過數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)試對(duì)有限周期的傳輸特性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 單元模型

根據(jù)帶隙形成的機(jī)理,若通過小尺寸結(jié)構(gòu)控制低頻彈性波傳播,局域共振結(jié)構(gòu)是一個(gè)很好的選擇。局域共振機(jī)理認(rèn)為,在基體和散射體中間加入柔軟的包覆層,各個(gè)散射體在特定頻率下產(chǎn)生共振,并與彈性波相互作用,從而抑制其傳播。

新型局域共振周期格柵結(jié)構(gòu)的組成單元如圖1(a)所示,該結(jié)構(gòu)就是基于局域共振的思想,以正方形格柵結(jié)構(gòu)為基體框架,在環(huán)形框架內(nèi)部引入包覆層和散射體,從而形成局域共振單元。其中:原胞的晶格常數(shù)為a;基體框架的寬度為b;散射體的半徑為r1;包覆層的外徑為r2。

2 帶隙計(jì)算及其特性

2.1 基于有限元法的帶隙結(jié)構(gòu)計(jì)算

Floquet-Bloch理論可將無限周期結(jié)構(gòu)的自由度凝聚在代表體單元的主控節(jié)點(diǎn)上。因此,周期格柵結(jié)構(gòu)彈性波傳播問題可采用有限元法在單胞域內(nèi)求解。依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的有限元處理方法,在不考慮材料阻尼的情況下,二維周期格柵結(jié)構(gòu)的單個(gè)結(jié)構(gòu)單元(單胞)的動(dòng)力學(xué)方程可表述為[23]:

(K-ω2M)q=F

(1)

式中:K和M分別代表原胞結(jié)構(gòu)單元的總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣;q和F分別代表廣義節(jié)點(diǎn)位移向量和力向量;ω代表角頻率。

位移向量q和力向量F可以寫成如下形式:

q={qlqrqbqtqi}T

(2)

F={FlFrFbFtFi}T

(3)

式中:下標(biāo)l、r、b、t和i分別對(duì)應(yīng)單元的左、右、下、上和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。

根據(jù)Bloch定理,原胞中邊界上的節(jié)點(diǎn)位移向量和力向量具有周期性,即:

q(r+a)=ei(k·a)q(r)

(4)

F(r+a)=ei(k·a)F(r)

(5)

式中:r為位置矢量;a為晶格常數(shù)矢量;k為波矢。

根據(jù)周期性,單胞其他邊界的位移和力向量均可用其中一個(gè)邊界的向量表示,而且單胞內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力為零。經(jīng)過運(yùn)算,式(1)可寫成:

(Kr-ω2Mr)qr=0

(6)

式中:Kr、Mr、qr均為關(guān)于波矢k的矩陣。因此,只要給定任意位置的波矢k,便可到得到一組對(duì)應(yīng)的特征頻率ω。求解時(shí),只需令波矢k沿著布里淵區(qū)的邊界M→?！鶻→M進(jìn)行掃描,如圖1(b)所示,即可得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的頻散曲線。

基于有限元法在COMSOL中對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅰ進(jìn)行特征頻率分析。其中基體材料選用鋁,中間包覆層材料選用硅橡膠,散射體材料選用鉛塊。材料及結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)分別如表1、2所示。經(jīng)過計(jì)算,圖2為其能帶結(jié)構(gòu)圖。從圖中可以看出,結(jié)構(gòu)Ⅰ在101.0～147.2 Hz形成了較寬的帶隙,且頻散曲線在波矢的絕大部分都為平直的,這也是局域共振型帶隙的標(biāo)志,然而帶隙的起始頻率仍然不夠低。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

圖2 結(jié)構(gòu)Ⅰ的能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Band structure diagram of structure Ⅰ

2.2 帶隙模態(tài)特性分析

為了進(jìn)一步說明帶隙的形成機(jī)理,圖3給出了前四階頻散曲線上特殊點(diǎn)的振動(dòng)模態(tài)。其中圖3(a)～(c)為前三階頻散曲線在波矢X方向上對(duì)應(yīng)的模態(tài),圖3(d)為第四階頻散曲線在波矢X方向上對(duì)應(yīng)的模態(tài)。

圖3 結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)圖Fig.3 Structural vibration mode diagram

其中圖3(a)對(duì)應(yīng)著圖2中A點(diǎn)(66.41 Hz)的振動(dòng)模態(tài)。在這種共振模式下,鉛塊和硅橡膠包覆層受到扭轉(zhuǎn)剪切變形,僅對(duì)基體產(chǎn)生扭矩作用,而沒有x或y方向的合力作用,對(duì)基體的振動(dòng)無法產(chǎn)生抑制作用,因此基體中的長波行波難以與該共振模式發(fā)生相互耦合作用,從而未導(dǎo)致局域共振帶隙的產(chǎn)生。

圖3(b)和(c)分別對(duì)應(yīng)著圖2中B1點(diǎn)(100.80 Hz)、B2點(diǎn)(101.03 Hz)的振動(dòng)模態(tài),即帶隙起始頻率處。在這種共振模式下,鉛塊表現(xiàn)為整體橫向或縱向的平移振動(dòng),硅橡膠包覆層因此受壓縮或拉伸作用,從而在x或y方向上形成對(duì)基體的作用力。這種作用力會(huì)與振源對(duì)基體的外部激勵(lì)力進(jìn)行反向疊加,發(fā)生耦合作用,即發(fā)生反共振現(xiàn)象,導(dǎo)致作用在基體上的合力趨于零,基體的振動(dòng)在此刻被完全抵消,從而導(dǎo)致了帶隙的產(chǎn)生。另外,由于振動(dòng)單元結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,橫向和縱向兩種振動(dòng)模式是等效的,因此兩種模態(tài)在離Γ點(diǎn)較遠(yuǎn)的倒空間范圍發(fā)生了能帶簡(jiǎn)并。

圖3(d)對(duì)應(yīng)著圖2中C點(diǎn)(147.19 Hz)的振動(dòng)模態(tài),即帶隙截止頻率處。在這種共振模式中,基體和鉛塊在硅橡膠包覆層的彈性連接下都表現(xiàn)為整體的平移振動(dòng),但二者的振動(dòng)方向相反。而相鄰單元也是同樣的振動(dòng)模式,且振動(dòng)相位相同,此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)也會(huì)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。

綜上所述,該局域共振格柵結(jié)構(gòu)中低頻帶隙是基體中長波行波與周期局域振子的諧振特性相互耦合的結(jié)果,該耦合作用是否存在,是決定局域共振帶隙能否產(chǎn)生的關(guān)鍵。

3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化

3.1 對(duì)包覆層的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

在結(jié)構(gòu)Ⅰ的基礎(chǔ)上,對(duì)包覆層的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改動(dòng),圖4所示為優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)單元。其中包覆層內(nèi)側(cè)與散射體接觸部分的圓心角為θ1;包覆層中間連接部分的圓心角為θ2;另外包覆層在徑向被等分為三部分,每部分寬度為e;包覆層與散射體接觸區(qū)域的個(gè)數(shù)為N,其他參數(shù)與結(jié)構(gòu)Ⅰ相同。單元結(jié)構(gòu)的材料和尺寸參數(shù)分別如表1和表2所示。

表2 結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)Table 2 Structural dimension parameters

圖4 優(yōu)化后單元結(jié)構(gòu)Ⅱ及其布里淵區(qū)Fig.4 Optimized cell structure Ⅱ and its Brillouin zone

同樣基于有限元法在COMSOL中對(duì)結(jié)構(gòu)Ⅱ進(jìn)行特征頻率分析。其能帶結(jié)構(gòu)圖如圖5所示,由圖可知,結(jié)構(gòu)Ⅱ在45.2～68.1 Hz形成了一定寬度的低頻帶隙,相比結(jié)構(gòu)Ⅰ,結(jié)構(gòu)Ⅱ的帶隙起始頻率降低了一半,另外觀察能帶結(jié)構(gòu)圖可以發(fā)現(xiàn),結(jié)構(gòu)Ⅱ的第二、三階頻散曲線與第一階頻散曲線發(fā)生了簡(jiǎn)并,這是打開低頻帶隙的關(guān)鍵因素。

圖5 結(jié)構(gòu)Ⅱ的能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Band structure diagram of structure Ⅱ

3.2 改變結(jié)構(gòu)的材料與尺寸參數(shù)

圖6 單胞與帶邊模式的簡(jiǎn)化模型Fig.6 Simplified model of unit cell and band-edge mode

(7)

(8)

式中:E和v分別為硅橡膠的彈性模量和泊松比。通過分析簡(jiǎn)化系統(tǒng)的共振模式及其固有頻率,便可以對(duì)局域共振帶隙的邊界進(jìn)行估算,同時(shí)為調(diào)節(jié)帶隙提供理論指導(dǎo)依據(jù)。

對(duì)于局域共振帶隙起始頻率處的振動(dòng)模式,其內(nèi)部相當(dāng)于一個(gè)單自由度的“質(zhì)量-彈簧”系統(tǒng),如圖6(b)所示,對(duì)應(yīng)的共振模式體現(xiàn)為原胞內(nèi)部散射體的整體平移振動(dòng),用該振子的固有頻率所估計(jì)的局域共振帶隙起始頻率為[23]:

(9)

將m1和k分別代入式(9),求得f1約為46.01 Hz,與仿真的帶隙起始頻率45.2 Hz基本一致。

而對(duì)于局域共振帶隙截止頻率處的振動(dòng)模式,其內(nèi)部相當(dāng)于一個(gè)雙自由度的“質(zhì)量-彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng),如圖6(c)所示,對(duì)應(yīng)的共振模式表現(xiàn)為散射體和基體質(zhì)量在彈簧的連接下,以相對(duì)振動(dòng)的方式發(fā)生共振,用該振子的固有頻率所估計(jì)的局域共振帶隙截止頻率為[23]:

(10)

將m1、m2和k分別代入式(10),求得f2約為70.84 Hz,與仿真的帶隙截止頻率68.1 Hz基本一致。

從公式(9)和(10)可知,改變相應(yīng)部分的等效質(zhì)量或剛度就可以調(diào)節(jié)帶隙的頻率位置和寬度,而等效質(zhì)量和等效剛度又受到結(jié)構(gòu)尺寸的影響。因此,為了深入分析結(jié)構(gòu)不同尺寸和材料時(shí)帶隙的影響規(guī)律,以結(jié)構(gòu)Ⅱ?yàn)槔M(jìn)行研究。圖7給出了結(jié)構(gòu)Ⅱ的第一共振帶隙隨鉛塊半徑r1、硅橡膠包覆層外徑r2、夾角θ1、夾角θ2、接觸區(qū)域個(gè)數(shù)N和基體材料的變化曲線。

首先,研究在只改變參數(shù)r1而其他參數(shù)不變的情況下帶隙的變化情況。由圖7(a)可以看出,隨著鉛塊半徑的增大,帶隙的起始頻率和截止頻率均增大,但是起始頻率的變化率較小,所以帶隙的寬度變寬,可見該結(jié)構(gòu)帶隙的位置和寬度與鉛塊的半徑密切相關(guān)。鉛塊半徑r1增大,則鉛塊質(zhì)量m1隨之增大,但在r2不變的情況下,硅橡膠包覆層的寬度r2-r1會(huì)變小,隨之包覆層的等效剛度k增大。根據(jù)式(9),在m1和k同時(shí)增大的情況下,仿真結(jié)果表明帶隙的起始頻率f1降低,說明鉛塊半徑r1增大對(duì)等效剛度k的影響相比鉛塊質(zhì)量m1更大一些。

其次,研究在只改變參數(shù)r2而其他參數(shù)不變的情況下帶隙的變化情況。由圖7(b)可以看出,隨著硅橡膠包覆層外徑r2的增大,帶隙的起始頻率和截止頻率均減小,帶隙寬度也減小。根據(jù)式(9)和(10),當(dāng)參數(shù)r2增大,則包覆層的等效剛度k就會(huì)減小,因此帶隙的起始頻率f1和截止頻率f2都會(huì)降低,且f2的變化率更大。

接著,研究在只改變參數(shù)θ1而其他參數(shù)不變的情況下帶隙的變化情況。由圖7(c)可以看出,隨著夾角θ1的增大,帶隙的起始頻率和截止頻率均增大,且?guī)蹲儗?。根?jù)式(9)和(10),當(dāng)參數(shù)θ1增大,則包覆層的等效剛度k就會(huì)增大,且對(duì)截止頻率f2的影響更大。

研究在只改變參數(shù)θ2而其他參數(shù)不變的情況下帶隙的變化情況。由圖7(d)可以看出,夾角θ2的改變對(duì)帶隙幾乎沒有影響,由此可見,改變夾角θ2對(duì)包覆層等效剛度k的影響很小。

接著,研究只改變參數(shù)N對(duì)帶隙的影響。此時(shí)為了方便建模,將θ1改為10°,θ2改為30°,而其他參數(shù)保持不變。由圖7(e)可以看出,帶隙的起始頻率和截止頻率均增大,且?guī)蹲儗?由此可見改變參數(shù)N也會(huì)使包覆層的等效剛度k增大。

最后,研究只改變基體材料對(duì)帶隙的影響。由圖7(f)可以看出,基體材料的改變對(duì)帶隙的截止頻率影響較大,而且基體材料的密度越小,截止頻率就越大,隨之帶寬也就越大。

根據(jù)以上分析可知,通過增大包覆層外徑r2可以降低帶隙的起始頻率,而適當(dāng)?shù)脑龃筱U塊半徑r1、夾角θ1和參數(shù)N可以起到放大帶隙寬度的作用,同時(shí)選取密度較小的基體可以增大截止頻率,從而獲得低頻且較寬的帶隙。

4 有限周期結(jié)構(gòu)傳輸特性驗(yàn)證

雖然理想聲子晶體在其帶隙范圍內(nèi)有完美的彈性波屏蔽效果,但這是基于無限周期結(jié)構(gòu)的結(jié)果,即使較小的衰減效果也可以通過不斷地累積從而達(dá)到實(shí)現(xiàn)消除彈性波的目的。而在實(shí)際的應(yīng)用中,只能取用有限周期結(jié)構(gòu),這使得帶隙結(jié)構(gòu)中帶隙頻率范圍內(nèi)的某些彈性波可能無法衰減到一定程度而依然可以透過有限周期結(jié)構(gòu)。因此,對(duì)于聲子晶體,只用能帶結(jié)構(gòu)作為參考還不夠,只有通過對(duì)有限周期結(jié)構(gòu)的傳輸特性進(jìn)行模擬仿真以及實(shí)驗(yàn)測(cè)試,才能進(jìn)一步驗(yàn)證該結(jié)構(gòu)的減振特性。

4.1 有限元模擬

在有限元軟件COMSOL中,首先按照單元結(jié)構(gòu)的參數(shù)建立有限周期結(jié)構(gòu)模型。為了得到更好的效果,模型的基體材料采用有機(jī)玻璃,包覆層和散射體的材料依然采用硅橡膠和鉛,結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)都采用表2中結(jié)構(gòu)Ⅱ的參數(shù)。其中模型在x方向上具有10個(gè)周期,在y方向上只設(shè)置1個(gè)周期。然后在模型的一端施加y方向的單位加速度激勵(lì),并使頻率掃過0～200 Hz,最后在另一端拾取相應(yīng)的加速度響應(yīng),即可得到頻率響應(yīng)函數(shù)。頻率響應(yīng)函數(shù)的定義如式(11):

(11)

式中:X和X0分別為拾取端和激勵(lì)端的加速度;T為頻率響應(yīng)函數(shù)值。

為了方便作對(duì)比,圖8給出了結(jié)構(gòu)Ⅱ的能帶結(jié)構(gòu)和頻率響應(yīng)函數(shù)曲線。從圖8(a)中可以看到,在低頻段44.7～86.1 Hz產(chǎn)生了較寬的帶隙(圖中陰影部分),在這段頻率范圍內(nèi)不存在頻散曲線,即彈性波無法傳播;從圖8(b)可以看到,有限周期結(jié)構(gòu)在45.0～80.7 Hz,彈性波的傳播也存在較大的衰減,在57.0 Hz處的衰減最大,其值達(dá)到了41.8 dB。通過兩圖的對(duì)比發(fā)現(xiàn),有限周期結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)與對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)保持了較好的一致性,驗(yàn)證了帶隙的準(zhǔn)確性。

圖8 結(jié)構(gòu)Ⅱ能帶結(jié)構(gòu)及有限周期結(jié)構(gòu)頻響曲線Fig.8 Band structure and frequency response curve of finite periodic structure of structure Ⅱ

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性,對(duì)局域共振周期格柵結(jié)構(gòu)進(jìn)行制備,實(shí)驗(yàn)樣件的材料和尺寸參數(shù)與4.1小節(jié)相同,圖9(a)為1×10周期排列的測(cè)試樣件,圖9(b)為結(jié)構(gòu)的原胞單元。同時(shí)搭建了振動(dòng)測(cè)試分析實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),如圖9(c)所示。在試驗(yàn)測(cè)試中,為了避免鉛塊的質(zhì)量對(duì)有機(jī)玻璃板的垂直于板面振動(dòng)的影響,保持樣件側(cè)立放置并通過繩子將其水平吊裝在支架下,在測(cè)試樣件的輸入端和輸出端分別安裝加速度傳感器,試驗(yàn)中采用的是B&K 4507B型加速度傳感器,用于監(jiān)測(cè)垂直于板面的振動(dòng)加速度幅值。然后通過激勵(lì)錘敲擊測(cè)試樣件的輸入端,使其產(chǎn)生相應(yīng)的激勵(lì)信號(hào);安裝在板面兩端的加速度傳感器將獲取的振動(dòng)加速度信號(hào)傳回分析系統(tǒng),實(shí)驗(yàn)采用的是B&K Type3660-c-100型系統(tǒng),經(jīng)過分析系統(tǒng)的分析和處理,最終得到測(cè)試樣件的頻率響應(yīng)函數(shù)。

圖9 測(cè)試樣件及試驗(yàn)測(cè)試方案Fig.9 Test samples and test plans

實(shí)驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果如圖10所示,為了對(duì)比分析,對(duì)不包含局域共振單元(只有基體框架)和包含局域共振單元的兩種情況分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試。從圖中可以看出,不包含局域共振單元的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果在整個(gè)測(cè)試頻率范圍內(nèi)頻率響應(yīng)函數(shù)值幾乎都大于零,即不存在彈性波的衰減;仿真結(jié)果在A點(diǎn)出現(xiàn)了一個(gè)峰值,因?yàn)锳點(diǎn)位于基體框架一階固有頻率(64 Hz)附近;另外,考慮到有機(jī)玻璃是一種黏彈性材料,仿真設(shè)置了一定的阻尼,其損耗因子約為0.073 6[25],因此固有頻率處的響應(yīng)幅值也不會(huì)特別大。從包含局域共振單元的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,其頻率響應(yīng)函數(shù)值在40～90 Hz都至少小于-10 dB,最小值為-36 dB,即對(duì)彈性波的傳播起到很好的衰減抑制作用,具有較好的減振效果。同時(shí)與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,兩條頻率響應(yīng)函數(shù)曲線均存在一個(gè)振動(dòng)衰減區(qū),其頻率范圍吻合較好,驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)具有良好的低頻減振性能;另外,仿真結(jié)果在B、C點(diǎn)出現(xiàn)了尖峰,因?yàn)锽、C點(diǎn)分別處于帶隙的起始頻率和截止頻率附近,結(jié)構(gòu)發(fā)生了共振,此時(shí)仿真得到的響應(yīng)幅值也是較大的。

圖10 實(shí)驗(yàn)測(cè)試與仿真結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of experimental test and simulation results

總之,通過有限元仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)試,二維局域共振周期格柵結(jié)構(gòu)的低頻帶隙特性得到了很好的證實(shí)。

5 結(jié) 論

本文將局域共振單元引入周期格柵結(jié)構(gòu)中,并對(duì)包覆層結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),使其帶隙頻率比傳統(tǒng)局域共振單元降低了近50%,具有更優(yōu)越的低頻振動(dòng)帶隙特性。研究發(fā)現(xiàn)振動(dòng)帶隙的產(chǎn)生是基體中傳播的彈性波與內(nèi)部共振單元的局域共振模態(tài)耦合作用的結(jié)果。彈性波的能量被局限在共振單元內(nèi),并在散射體的動(dòng)能和包覆層的應(yīng)變能之間不斷轉(zhuǎn)換。通過改變結(jié)構(gòu)的材料和尺寸參數(shù),其可以在40～90 Hz的低頻范圍打開寬度50 Hz的完全帶隙,從而滿足低頻減振的需要。另外,本文分別進(jìn)行有限元計(jì)算和試驗(yàn)測(cè)試,兩種結(jié)果實(shí)現(xiàn)了很好地吻合,證實(shí)了這種周期格柵結(jié)構(gòu)在低頻范圍可以獲得較寬的振動(dòng)帶隙,具有較好的減振特性。

綜上所述,新型二維局域共振周期格柵結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為格柵結(jié)構(gòu)的減振研究提供了一種獲得低頻振動(dòng)帶隙的有效方法,在低頻減振降噪領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景。