單自由度主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)輸入時滯穩(wěn)定性研究

金超武 ，馬彥超，周瑾，徐園平，葉周鋮

（南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016）

主動磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearing，AMB）利用可控電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮在設(shè)定的工作位置，因其具有無機械接觸、高轉(zhuǎn)速、低功耗、可在線檢測以及可主動控制等優(yōu)點而得以在壓縮機、膨脹機等高速旋轉(zhuǎn)機械中廣泛應(yīng)用［1］.當(dāng)用于控制與驅(qū)動AMB 的電子設(shè)備對環(huán)境比較敏感，需將相關(guān)電子設(shè)備與磁懸浮軸承本體進行分離時（例如深海鉆井平臺、風(fēng)力發(fā)電等應(yīng)用場所），由于控制系統(tǒng)與執(zhí)行單元的分布設(shè)置，控制回路中的時滯量進一步增加，這將導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)的時滯問題更加凸顯［2］，嚴重時甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn).在主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，控制器內(nèi)控制算法運算執(zhí)行、信號在功率放大器電路中的傳導(dǎo)轉(zhuǎn)換等因素的存在，使得輸入磁懸浮軸承的控制電流內(nèi)存在一定的時滯，該時滯稱為控制器輸入時滯［3］（后文簡稱輸入時滯）.在輸入時滯的影響下，主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)將表現(xiàn)出復(fù)雜的動力學(xué)行為，如周期、擬周期以及混沌等形式［4］，并且隨著轉(zhuǎn)速的提高以及對系統(tǒng)動力學(xué)行為的研究要求越來越精細，有關(guān)時滯對系統(tǒng)影響的研究顯得愈發(fā)迫切.

近30 年來，針對主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的時滯問題，眾多學(xué)者對此進行了許多突破性的研究，為研究系統(tǒng)時滯問題采用各類數(shù)值分析方法，提供強有力的分析工具.為了分析時滯系統(tǒng)的動力學(xué)特性，Ruan 等［5］利用特征值法對Hopf 分岔的分岔方向、振幅以及周期等方面進行了研究，并概括了切實可行的計算公式.在此基礎(chǔ)上，Wang 等［6］對特征方程的一些臨界情況，例如零點為單根或雙根等進行了討論，并研究了在上述情況下不動點的穩(wěn)定性和零解附近的動力學(xué)問題.利用所得的基本定理，可以很好地判斷該類磁懸浮軸承系統(tǒng)Hopf分岔的存在性以及平衡點的漸近穩(wěn)定性.Xu 等［7］將具有時滯的主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為研究對象，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔存在情況進行了研究，并進行了動力學(xué)方面的分析.王珍［8］研究了一類具時滯的磁懸浮系統(tǒng)模型，對系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性和Hopf 分岔等進行了分析，并研究了系統(tǒng)時滯量、比例增益以及微分增益等參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的影響規(guī)律.Su 等［9］對基于PD 控制的AMB 系統(tǒng)的時滯問題進行了研究，討論了系統(tǒng)時滯對磁懸浮軸承系統(tǒng)的影響，推導(dǎo)了引起系統(tǒng)不穩(wěn)定的最大延遲時間的顯式公式和數(shù)值解，并給出了單自由度AMB 系統(tǒng)時滯效應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果.鄭凱等［10-11］對AMB 系統(tǒng)進行了時滯動力學(xué)建模，發(fā)現(xiàn)即使是控制反饋回路中的微小時滯也會對高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響.Li 等［12］利用數(shù)值方法研究了速度反饋控制回路的時滯對單自由度AMB 系統(tǒng)強迫振動的影響，驗證了時滯增加將使穩(wěn)定周期運動的幅度增大，系統(tǒng)可能會出現(xiàn)失控現(xiàn)象.

上述研究表明，時滯將影響主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的性能及穩(wěn)定性.但是，當(dāng)前對于主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時滯研究主要存在兩大局限性：①大多是從單一角度研究時滯對主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響，未從多角度進行體系化的研究；②大多集中在理論研究層面，試驗研究匱乏.

針對上述局限性，本文對基于PID 控制的主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的輸入時滯問題開展研究，從控制器參數(shù)、Hopf分岔以及閉環(huán)系統(tǒng)幅頻、相頻特性等多個角度研究輸入時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并進行了相關(guān)仿真與實驗.通過對輸入時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性進行多角度的分析，為實際工程應(yīng)用中的控制器參數(shù)調(diào)試提供指導(dǎo)，降低輸入時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

1 理論分析

1.1 主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界時滯

圖1 為具有輸入時滯的AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效模型，主要包含控制器、功率放大器、電磁鐵-轉(zhuǎn)子以及位移傳感器等.

圖1 具有輸入時滯的AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效模型Fig.1 Equivalent model of AMB-rotor control system with input time delay

將輸入時滯引入系統(tǒng)后，該系統(tǒng)的運動微分方程可表示為：

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；x（t）為轉(zhuǎn)子位移；τ為輸入時滯；ix為控制電流；kx、ki分別表示AMB 的位移剛度和電流剛度.ix（t）可進一步表示為：

式中：ks為位移傳感器增益；ka為功率放大器增益；kP、kI以及kD分別表示PID 控制器的比例增益、積分增益以及微分增益.聯(lián)立式（1）和式（2）進行拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)特征方程為：

當(dāng)τ值較小時，基于等價無窮小原理，將式（3）中的e-τs替換為1-τs后，可進一步得：

由勞斯方程可知，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的全部系數(shù)及勞斯表的第一列元素均為正數(shù).因此可以得到不等式組：

對式（5）求解得：

值得注意的是，由于在式（4）中采用了近似替換，本節(jié)后續(xù)推導(dǎo)得到的臨界時滯為近似值.基于式（6）可知，系統(tǒng)臨界時滯的近似值τ臨=min（τ1，τ2，τ3，τ4）.

1.2 Hopf分岔

時滯常使系統(tǒng)出現(xiàn)各種形式的分岔及混沌運動，而Hopf 分岔點是系統(tǒng)由定常狀態(tài)通向復(fù)雜動力學(xué)狀態(tài)的門檻，所以Hopf 分岔的研究最為廣泛.Hopf 分岔是指參數(shù)在變化過程中經(jīng)過分岔值τ0時，系統(tǒng)由定點穩(wěn)定性突變產(chǎn)生極限環(huán)的現(xiàn)象，也是一種重要的動態(tài)分岔現(xiàn)象，如圖2 所示.初始狀態(tài)穩(wěn)定的系統(tǒng)在發(fā)生Hopf 分岔時，其特征值的實部由負經(jīng)分岔值（特征值實部為0）變?yōu)檎?，系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性將發(fā)生變化.Hopf 分岔發(fā)生時處于穩(wěn)定與失穩(wěn)之間的臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時系統(tǒng)的穩(wěn)定運行將無法得到保證.Hopf 分岔是時滯在惡化系統(tǒng)穩(wěn)定性時所表現(xiàn)出來的重要的動力學(xué)特征，同時亦是眾多學(xué)者對于時滯問題的研究重點.因此，在研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，有必要對Hopf分岔進行研究.

圖2 Hopf分岔過程Fig.2 Hopf bifurcation process

Hopf 分岔存在時要滿足兩個重要的條件：一是系統(tǒng)在特定參數(shù)下存在一對共軛純虛根；二是滿足橫截條件，即根軌跡穿越虛軸時速度不為0，換言之，根軌跡在穿越虛軸時特征值實部的導(dǎo)數(shù)不為0［13］.

1.2.1 Hopf分岔的存在性分析

假設(shè)系統(tǒng)特征方程存在一對共軛純虛根，記為s=iω（ω=±α，α＞0），將其代入式（3），得

聯(lián)立歐拉公式eix=cosx+i sinx，并分離實部、虛部后得到方程組：

式中：

將式（8）中兩式的兩邊同時平方再相加，得

由于sin2(τω)+cos2(τω)=1，與式（8）聯(lián)立，并令t=ω2（t＞0），得

式中：a=-2q-d2；b=q2-p2+2dr；c=-r2.

因此，系統(tǒng)特征方程存在一對共軛純虛根等價于式（10），存在正實根.由于

由零點存在性定理可知，式（10）至少存在一個正實根t0，相應(yīng)地系統(tǒng)特征方程至少存在一對共軛純虛根，此時系統(tǒng)內(nèi)的輸入時滯記為τ0.

1.2.2 橫截條件的滿足性分析

要證明該系統(tǒng)滿足橫截條件，即根軌跡穿越虛軸時速度不為0，只要考慮根軌跡在穿越虛軸時特征值實部的導(dǎo)數(shù)不為0，即證明.本節(jié)討論的成立條件.

聯(lián)立式（3）和式（12）得：

將τ=τ0，s=iω代入式（13），并求實部，得

2 仿真分析

2.1 Hopf分岔存在性數(shù)值仿真

結(jié)合1.1 節(jié)和1.2.1 節(jié)的分析可知，系統(tǒng)特征方程存在一對共軛純虛根.表1為AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù).PID 控制器的kP=2.2、kI=1、kD=0.001 5，通過對式（6）～式（15）進行計算，得τ臨、τ0、ω的理論近似值分別為0.681 ms、0.646 ms、592 rad/s.由此得到Hopf分岔對應(yīng)頻率為：

表1 AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of AMB-rotor system

在某一確定參數(shù)τ下，系統(tǒng)特征值存在一對共軛純虛根且滿足橫截條件.因此，系統(tǒng)將發(fā)生Hopf分岔.

本節(jié)以前文中理論分析為指導(dǎo)，對Hopf 分岔的存在性進行數(shù)值仿真，Hopf 分岔后極限環(huán)幅值隨輸入時滯的變化曲線如圖3 所示.從圖3 中可以看出，τ0為0.643～0.644 ms，與理論計算值0.646 ms 非常接近；Hopf分岔發(fā)生后，極限環(huán)的幅值隨著輸入時滯的增加而增大.為了清晰地呈現(xiàn)出Hopf 分岔過程，本節(jié)分別對τ=0.610 ms（τ＜τ0）、τ=0.644 ms（τ0＜τ＜τ臨）以及τ=0.700 ms（τ＞τ臨）3 種狀態(tài)下各自對應(yīng)的系統(tǒng)相軌跡進行分析.

圖3 Hopf分岔后極限環(huán)幅值隨輸入時滯的變化曲線Fig.3 Limit ring amplitude curve with input time delay after Hopf bifurcation

圖4 為τ=0.610 ms 時Hopf 分岔前系統(tǒng)相軌跡.由圖4可知，當(dāng)τ＜τ0時，系統(tǒng)最終將收斂至一點，此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即1.2 節(jié)提到的“定點穩(wěn)定性”.圖5為τ=0.644 ms 時Hopf 分岔時系統(tǒng)的響應(yīng).由圖5（a）～圖5（d）可知，在τ＞τ0且τ＜τ臨時，系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，最終獲得了穩(wěn)定的周期解，并產(chǎn)生了極限環(huán).當(dāng)系統(tǒng)初始時刻位于極限環(huán)內(nèi)部時，相軌跡將由內(nèi)向外逐漸接近極限環(huán)；反之，相軌跡將由外向內(nèi)逐漸接近極限環(huán).由圖5（e）可知，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分岔時，頻譜主要包含極限環(huán)運行頻率對應(yīng)譜線，即94 Hz的主頻譜線，該頻率與理論計算值幾乎一致.此外，頻譜圖中還包含主頻的倍頻譜線，此處主要為主頻的3倍頻譜線.

圖4 τ=0.610 ms時Hopf分岔前系統(tǒng)相軌跡Fig.4 System trajectory before Hopf bifurcation at τ=0.610 ms

圖5 τ=0.644 ms時Hopf分岔時系統(tǒng)的響應(yīng)Fig.5 Response of system when Hopf bifurcation at τ=0.644 ms

仿真結(jié)果表明，當(dāng)τ＞τ臨≈0.681 ms 時，系統(tǒng)相軌跡將發(fā)散失穩(wěn)，但是在τ接近τ臨時系統(tǒng)的發(fā)散趨勢緩慢.為了清晰地呈現(xiàn)相軌跡發(fā)散失穩(wěn)的過程，τ=0.700 ms 時極限環(huán)破裂后系統(tǒng)相軌跡，如圖6 所示.結(jié)合圖5（a）～圖5（d）和圖6可以看出，隨著輸入時滯的進一步增加，極限環(huán)發(fā)生破裂，相軌跡發(fā)散失穩(wěn).

圖6 τ=0.700 ms時極限環(huán)破裂后系統(tǒng)相軌跡Fig.6 System trajectory after limit ring rupture at τ=0.700 ms

2.2 控制參數(shù)對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的仿真分析

由式（6）中的τ3、τ4可知，kI主要位于分母，而kx位于分子且其量級較大，弱化了kI對系統(tǒng)臨界時滯的影響.因此，本節(jié)在滿足相關(guān)控制參數(shù)均可保證實際系統(tǒng)在無時滯干擾下穩(wěn)定運行的這一條件下，主要分析PID 控制器中比例增益及微分增益對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，詳細研究了如何通過調(diào)整控制參數(shù)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，使系統(tǒng)在工程應(yīng)用中遠離臨界穩(wěn)定區(qū)域.

2.2.1 比例增益對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的仿真分析

PID 控制器的kI=1、kD=0.001 5、kP分別取2.0、2.2 以及2.4，輸入時滯τ從0 變化到0.700 ms，變化步長為0.02，對式（3）求解得到系統(tǒng)的特征根，并繪制出不同kP下系統(tǒng)隨τ變化的根軌跡如圖7所示.

圖7 不同kP下系統(tǒng)隨τ變化的根軌跡圖Fig.7 Root locus diagram of system over τ at different kP

由圖7 可以看出，系統(tǒng)特征值由一實根和一對共軛復(fù)根組成，當(dāng)kP一定時，隨著τ的增加，該實根保持不變，而共軛復(fù)根發(fā)生變化.隨著kP的增加，由共軛復(fù)根組成的兩組特征根逐漸從左半平面靠近虛軸，并最終越過虛軸進入右半平面，導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn).為了更直觀地說明kP變化對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對τ=0.644 ms、kP分別取2.0、2.2 及2.4 時系統(tǒng)相軌跡的變化情況進行分析，如圖8所示.

圖8 τ=0.644 ms時不同kP下系統(tǒng)的相軌跡對比Fig.8 Phase trajectory comparison of systems under different kPat τ=0.644 ms

從圖8 中可以看出，隨著kP的增加，系統(tǒng)的相軌跡由內(nèi)向外逐漸從定點穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定周期運動，最后變?yōu)榘l(fā)散失穩(wěn)，更加形象地說明了kP的增加將放大輸入時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有阻礙作用.此外，將系統(tǒng)不出現(xiàn)正實部特征根時對應(yīng)的輸入時滯（即臨界時滯）定義為該系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度.為了準(zhǔn)確地分析系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，將輸入時滯τ調(diào)整為0～1.5 ms，kP為1.0～2.5，求解得到不同kP下系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的變化情況，如圖9 所示.從圖9中可以看出，隨著kP的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定域逐漸收窄.結(jié)合式（5）分析可知，隨著kP增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度將由不等式τ2決定，此時kP與系統(tǒng)穩(wěn)定裕度呈反比關(guān)系，這表明kP的增加將放大輸入時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性起阻礙作用.

圖9 kP對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.9 Effect of kPon stability of time-delay system

2.2.2 微分增益對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的仿真分析

為分析kD對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，PID 控制器中kP=2.2、kI=1、kD分別取0.001 0、0.001 5以及0.002 0，τ從0 變化到0.700 ms，變化步長為0.02，對式（3）求解得到系統(tǒng)的特征根，并繪制出不同kD下系統(tǒng)隨τ變化的根軌跡，如圖10所示.

圖10 不同kD下系統(tǒng)隨τ變化的根軌跡圖Fig.10 Root locus diagram of system over τ at different kD

從圖10 中可以看出，當(dāng)kD一定時，隨著τ的增加，該實根保持不變，而共軛復(fù)根發(fā)生變化.隨著kD的增加，由共軛復(fù)根組成的兩組特征根逐漸從右半平面靠近虛軸，并最終越過虛軸完全進入左半平面，系統(tǒng)由不穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài).為了更直觀地說明kD變化對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對τ=0.644 ms、kD分別取0.001 0、0.001 5 及0.002 0 時系統(tǒng)相軌跡的變化情況進行了分析，如圖11所示.

圖11 τ=0.644 ms時不同kD下系統(tǒng)的相軌跡對比Fig.11 Phase trajectory comparison of systems under different kDat τ=0.644 ms

從圖11 中可以看出，隨著kD的增加，系統(tǒng)的相軌跡由外向內(nèi)逐漸從發(fā)散失穩(wěn)變?yōu)榉€(wěn)定周期運動，最后變?yōu)槎c穩(wěn)定，更加形象地說明了kD的增加有利于提高時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

為了準(zhǔn)確地分析系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，將輸入時滯τ調(diào)整為0～1.5 ms，kD為0.001～0.002，求解得到不同kD下系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的變化情況，如圖12 所示.從圖12中可以看出，隨著kD的增加，時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定域呈線性增加趨勢.結(jié)合式（5）分析可知，由于kD值較小，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度由不等式τ2決定，即kD/kP，kD位于分子，因此，kD與系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度呈線性關(guān)系，這也表明適當(dāng)增加kD將弱化輸入時滯對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

圖12 kD對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.12 Effect of kDon stability of time-delay system

2.3 輸入時滯對閉環(huán)系統(tǒng)幅頻、相頻特性的影響

主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，且系統(tǒng)的工作環(huán)境復(fù)雜，外部存在較多的多源信號干擾.考慮到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以顯示出該動態(tài)系統(tǒng)諸如諧振、相移等許多重要性質(zhì)和特點，因此本節(jié)分別對不同輸入時滯下的主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)進行掃頻仿真，旨在探究輸入時滯對系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性的影響，進而確定輸入時滯對閉環(huán)系統(tǒng)抑制外部干擾能力的影響規(guī)律.主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)的掃頻示意圖如圖13 所示，通過在閉環(huán)系統(tǒng)的輸入端疊加正弦掃頻信號，即激振信號，使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)各環(huán)節(jié)均疊加有與該激振信號同頻的信號；而后同時采集輸入端的激振信號以及輸出端的位移響應(yīng)信號；最后將采集的信號利用離線快速傅里葉變換處理得到整個主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子閉環(huán)系統(tǒng)在相應(yīng)頻率下的幅頻特性和相頻特性.該閉環(huán)系統(tǒng)幅頻和相頻響應(yīng)隨輸入時滯變化的曲面圖分別如圖14和圖15所示.

圖13 閉環(huán)系統(tǒng)的掃頻示意圖Fig.13 Sweep frequency diagram of closed loop system

圖14 閉環(huán)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)隨輸入時滯變化的曲面圖Fig.14 Surface diagram of amplitude-frequency response of closed-loop system varies with input time delay

圖15 閉環(huán)系統(tǒng)相頻響應(yīng)隨輸入時滯變化的曲面圖Fig.15 Surface diagram of frequency response of closed loop system varies with input time delay

從圖14 可以看出，隨著輸入時滯的增加，系統(tǒng)諧振頻率的峰值顯著增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰化現(xiàn)象加劇，使系統(tǒng)穩(wěn)定周期運動的幅度增大，反映出系統(tǒng)對外部干擾的反應(yīng)愈發(fā)強烈，同時表明系統(tǒng)的穩(wěn)定性在此過程中明顯惡化.從圖15 可以看出，隨著輸入時滯的增加，相頻響應(yīng)曲線逐漸靠近并最終穿越-180°平面，且穿越該平面時對應(yīng)的頻率以形如冪函數(shù)（其指數(shù)小于0）的形式逐漸減小，系統(tǒng)變得愈發(fā)不穩(wěn)定.綜合上述兩點可以看出，隨著輸入時滯的增加，閉環(huán)系統(tǒng)抑制外部干擾的能力減弱，即系統(tǒng)穩(wěn)定性下降.

3 實驗研究

3.1 實驗設(shè)備介紹

本實驗基于磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子實驗臺進行，其中主要包含控制器、上位機、變頻器、功率放大器、傳感器板、電源開關(guān)、磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、示波器.AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實驗平臺如圖16 所示.基于數(shù)字信號處理和控制工程（digital Signal Processing and Control Engineering，dSPACE）進行控制算法的實現(xiàn)以及信號在線分析，其采樣頻率設(shè)置為20 kHz，利用PID控制器使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮.為了模擬壓縮機等磁懸浮旋轉(zhuǎn)機械在遠程運行時產(chǎn)生的傳輸延時，在該實驗臺的控制回路中人為增加一延時環(huán)節(jié)作為外部輸入時滯.后文所提時滯均指人為增加的外部輸入時滯.

圖16 AMB-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實驗平臺Fig.16 AMB-rotor system test platform

3.2 Hopf分岔存在性實驗研究

圖17 為τ=0.75 ms 時Hopf 分岔前系統(tǒng)相軌跡圖.從圖17 中可以看出，系統(tǒng)相軌跡最終將收斂至一點，此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即1.2節(jié)提到的“定點穩(wěn)定性”，與仿真趨勢（圖4）保持一致.

圖17 τ=0.75 ms時Hopf分岔前系統(tǒng)相軌跡圖Fig.17 System trajectory before Hopf bifurcation at τ=0.75 ms

圖18和圖19分別為τ=0.76 ms時Hopf分岔系統(tǒng)相軌跡圖和頻譜圖.從圖18 中可以看出，此時系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔，最終獲得了穩(wěn)定的周期解，結(jié)合理論和仿真分析可知，此時系統(tǒng)出現(xiàn)了極限環(huán)，與仿真趨勢［圖5（a）～圖5（d）］保持一致.從圖19 中可以看出，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時，其頻譜主要包含極限環(huán)運行頻率對應(yīng)譜線，即101 Hz的主頻譜線，以及主頻的倍頻譜線，此處主要為主頻的2倍頻譜線和3倍頻譜線，與仿真［圖5（e）］基本保持一致.

圖18 τ=0.76 ms時Hopf分岔系統(tǒng)相軌跡圖Fig.18 System phase trajectory diagram when Hopf bifurcation at τ=0.76 ms

圖19 τ=0.76 ms時Hopf分岔系統(tǒng)頻譜圖Fig.19 System spectrum diagram when Hopf bifurcation at τ=0.76 ms

圖20 展示了τ=0.77 ms 時極限環(huán)破裂后系統(tǒng)相軌跡.結(jié)合圖18 和圖20 可以看出，隨著輸入時滯的進一步增加，極限環(huán)破裂，相軌跡發(fā)散失穩(wěn)，與仿真趨勢（圖6）保持一致.需要指出的是，理論求得的τ0≈ 0.637 ms、τ臨≈0.682 ms 與實際系統(tǒng)的0.75 ms≤τ0＜0.76 ms、0.76 ms＜τ臨≤0.77 ms 雖然在量級上相同、數(shù)值上相近，但仍存在一定的誤差，分析原因主要有：①由于在理論及仿真中為簡化系統(tǒng)建模，忽略了電磁力的非線性等因素，導(dǎo)致所建模型與實際系統(tǒng)存在一定誤差；②在求解系統(tǒng)臨界時滯τ臨時，采用了近似替換，即計算求得的τ臨為近似值；③實驗過程中包含環(huán)境因素在內(nèi)的實驗誤差干擾.

圖20 τ=0.77 ms時極限環(huán)破裂后系統(tǒng)相軌跡Fig.20 System phase trajectory after limit cycle rupture at τ=0.77 ms

3.3 控制參數(shù)對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

3.3.1 比例增益對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

在磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子實驗臺中，PID 控制器的kI=1、kD=0.001 5.為了驗證理論及仿真分析的正確性以及更直觀的說明kP變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對τ=0.76 ms，kP分別取2.0、2.2 及2.4 時系統(tǒng)相軌跡的變化情況進行了分析，如圖21所示.

圖21 τ=0.76 ms時不同kP下系統(tǒng)的相軌跡對比Fig.21 Phase trajectory comparison of the systems under different kPat τ=0.76 ms

從圖21中可以看出，隨著kP的增加，系統(tǒng)的相軌跡由內(nèi)向外逐漸從定點穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定周期運動，最后變?yōu)榘l(fā)散失穩(wěn)，與仿真趨勢（圖8）保持一致.與仿真不同的是，由于實驗臺中存在保護軸承，系統(tǒng)的相軌跡不會無限發(fā)散，而是被保護軸承限制在一相對空間內(nèi)，此時轉(zhuǎn)子與保護軸承已發(fā)生碰撞.

3.3.2 微分增益對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

在主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子實驗臺中，PID 控制器的kP=2.2，kI=1.為了驗證理論及仿真分析的正確性以及更直觀地說明kD變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對τ=0.76 ms，kD分別取0.001 0、0.001 5 及0.002 0 時系統(tǒng)相軌跡的變化情況進行了分析，如圖22所示.

圖22 τ=0.76 ms時不同kD下系統(tǒng)的相軌跡對比Fig.22 Phase trajectory comparison of the systems under different kDat τ=0.76 ms

從圖22 中可以看出，隨著kD的增加，系統(tǒng)的相軌跡由外向內(nèi)逐漸從發(fā)散失穩(wěn)變?yōu)榉€(wěn)定周期運動，最后變?yōu)槎c穩(wěn)定，更加形象地說明了kD的增加將弱化輸入時滯對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，有利于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，與仿真趨勢（圖11）保持一致.

4 結(jié)論

本文以PID 控制的單自由度主動磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，研究了輸入時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.在理論層面，推導(dǎo)了系統(tǒng)失穩(wěn)臨界時滯的近似值，對系統(tǒng)內(nèi)Hopf 分岔的發(fā)生條件及存在性進行了分析；在仿真方面，分析了控制參數(shù)kP、kD對時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，驗證了Hopf分岔的存在性，并通過探究輸入時滯對閉環(huán)系統(tǒng)幅頻和相頻特性影響的角度來反映輸入時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；最后針對仿真內(nèi)容進行了相應(yīng)的實驗研究.結(jié)果表明：

1）kP較大時，其與系統(tǒng)穩(wěn)定裕度呈反比關(guān)系，kP的增加將放大輸入時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性起阻礙作用；系統(tǒng)的穩(wěn)定域隨kD的增加呈線性增加趨勢，適當(dāng)增加kD將弱化輸入時滯對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.因此，在解決實際工程應(yīng)用面臨的時滯問題時，應(yīng)當(dāng)通過適當(dāng)減小kP值或增大kD值的方式來提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

2）當(dāng)系統(tǒng)輸入時滯小于τ0時，未發(fā)生Hopf 分岔，系統(tǒng)表現(xiàn)為“定點穩(wěn)定性”；而當(dāng)輸入時滯大于τ0且小于τ臨時，系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分岔，最終獲得穩(wěn)定的周期解，并產(chǎn)生極限環(huán)，此時系統(tǒng)的頻譜主要為極限環(huán)運行頻率（主頻）對應(yīng)譜線以及主頻的倍頻譜線；隨著輸入時滯的進一步增加，極限環(huán)破裂，系統(tǒng)最終發(fā)散失穩(wěn).

3）隨著輸入時滯的增加，閉環(huán)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰化現(xiàn)象加劇，系統(tǒng)諧振頻率的峰值顯著增大；相頻響應(yīng)曲線逐漸靠近并最終穿越-180°平面，且穿越該平面時對應(yīng)的頻率以形如冪函數(shù)（其指數(shù)小于0）的形式逐漸減小.這表明在輸入時滯影響下，系統(tǒng)對外部干擾的反應(yīng)強烈，抑制外部干擾的能力減弱，系統(tǒng)的穩(wěn)定性下降.