基于近似模型的重載仿生腿多目標(biāo)優(yōu)化

陳偉，譚旭瑞，楊闊 ，劉昕暉

（吉林大學(xué) 機械與航空航天工程學(xué)院，吉林 長春 130022）

大型重載六足機器人已逐步成為研究熱點，在農(nóng)業(yè)、工業(yè)等行業(yè)得到了快速發(fā)展和應(yīng)用［1-2］.大型機器人的高效、安全運行需要整機在穩(wěn)定性、承載能力和系統(tǒng)復(fù)雜度之間取得比較理想的平衡，而單腿是整機與地面相互作用的媒介，腿部的靜態(tài)強度、剛度和動態(tài)性能很大程度決定了整機的承載能力、越障能力和安全運行能力.因此，針對腿部結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和輕量化設(shè)計具有重要意義，不僅可以實現(xiàn)腿部結(jié)構(gòu)的輕量化和靜動態(tài)性能提升，還可以帶來“二次減重”，使六足機器人的動力系統(tǒng)也可相應(yīng)地減輕質(zhì)量.在相同工況指標(biāo)下，腿部質(zhì)量越輕，則所需要匹配的發(fā)動機的負荷就越低，不僅能降低功耗，還能有效改善足式機器人的多項性能.

目前，針對大型機械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計主要包括拓撲優(yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化等［3-4］，但前兩種優(yōu)化方法由于對結(jié)構(gòu)形狀改變較大［5］，極大增加制造成本和加工工藝，比較適合概念設(shè)計階段.工程中應(yīng)用更廣泛的是對機械產(chǎn)品整體、結(jié)構(gòu)和零件進行尺寸優(yōu)化.牛文鐵等［6］以機床關(guān)鍵結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)為設(shè)計變量，靜、動態(tài)性能為設(shè)計目標(biāo)，對機床結(jié)構(gòu)和質(zhì)量取得較為理想的優(yōu)化結(jié)果.閆利鵬等［7］利用近似模型技術(shù)和多島遺傳算法對高強鋼盾構(gòu)刀盤進行優(yōu)化設(shè)計，在提升刀盤各項性能的同時，大大縮減了計算時間.以設(shè)計變量、近似模型和優(yōu)化算法相結(jié)合的結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化在車輛結(jié)構(gòu)方面應(yīng)用更為普遍，王登峰等［8］結(jié)合白車身彎扭剛度和振動頻率等使用近似模型聯(lián)合多目標(biāo)優(yōu)化算法為結(jié)構(gòu)評價指標(biāo)進行決策，并取得較好的輕量化效果.

大型六足機器人重載仿生腿結(jié)構(gòu)作為一個復(fù)雜裝配結(jié)構(gòu)［9-10］，包含眾多尺寸變量和約束條件，因此，針對腿部結(jié)構(gòu)進行多工況靜、動態(tài)性能耦合的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計很少.多數(shù)對重載六足機器人仿生腿的結(jié)構(gòu)優(yōu)化僅考慮單一工況，未能體現(xiàn)仿生腿在復(fù)雜工況運行時多性能之間的制約關(guān)系.國內(nèi)對大型重載機器人結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究很少，本文以重載機器人的仿生腿為研究對象，在多學(xué)科優(yōu)化軟件Isight中聯(lián)合Abaqus中的有限元分析和CATIA中的參數(shù)化模型重構(gòu)功能，依次利用試驗設(shè)計、近似模型以及第二代非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ，NSGA-Ⅱ）進行腿部各模塊參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化.在優(yōu)化過程中，將仿生腿拆解成基節(jié)、大腿和小腿模塊單獨優(yōu)化，并且將設(shè)計變量具體細化到各模塊中，可清晰地從近似模型中反映出改變某個變量對該模塊輸出響應(yīng)的影響.并且選取六足機器人行走時承受載荷最大的中腿為研究對象，綜合考慮斜坡和平地工況下的靜、動態(tài)性能，避免優(yōu)化結(jié)果與實際運行情況不符.

1 仿生腿性能分析與優(yōu)化系統(tǒng)集成

1.1 仿生腿靜力學(xué)與模態(tài)分析

圖1 為大型六足機器人及其仿生腿結(jié)構(gòu).借鑒六足綱昆蟲腿部獨特的身體構(gòu)造，保留根關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)和膝關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)自由度，并將股節(jié)和脛節(jié)分別視為仿生腿的大腿和小腿，各關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)簡化為機械模塊之間的銷軸連接，并通過液壓缸驅(qū)動.首先對仿生腿整體進行靜力學(xué)分析和模態(tài)分析，從而評估各項性能以及確定設(shè)計目標(biāo)；再將其拆解為基節(jié)、大腿和小腿模塊進行單獨優(yōu)化；最后將優(yōu)化結(jié)果進行仿真分析，驗證所提出方法的可行性.

圖1 大型六足機器人及其仿生腿結(jié)構(gòu)Fig.1 Large hexapod robot and its bionic leg structure

大型六足機器人在實際行走中，腿部剛度的強弱直接影響整機運行的穩(wěn)定性和控制的準確性，同時為防止機器人在行走過程中仿生腿與整機產(chǎn)生共振，應(yīng)分析仿生腿的模態(tài)頻率，從而減弱外部激勵對仿生腿的影響.六足機器人在實際運行中的常見工況為二步態(tài)平地工況和六步態(tài)35°斜坡工況，其中平地工況腿部主要承受較大的垂向力，斜坡工況除了承受較大的垂向力外還承受一定的偏載.通過對重載仿生腿進行2 種典型工況下的有限元分析，可綜合權(quán)衡腿部結(jié)構(gòu)靜、動態(tài)性能，從而確定優(yōu)化目標(biāo).

有限元分析時約束基節(jié)與車體連接處銷軸孔的5個自由度，只釋放1個繞z軸的旋轉(zhuǎn)自由度，從而模擬基節(jié)與車體的相對轉(zhuǎn)動，并且約束基節(jié)與側(cè)擺缸鉸接處沿x軸方向的位移約束.

在2 種工況下，仿生腿的靜、動態(tài)性能如圖2 所示.由圖2可知，腿部應(yīng)力偏小，最大僅165 MPa，遠小于7075鋁合金的屈服極限；仿生腿在2種工況下的變形較大，尤其在抵御斜坡工況較大偏載時表現(xiàn)出較大變形，其中平地工況最大變形15.3 mm，斜坡工況最大變形29.6 mm；仿生腿首階固有頻率17.201 Hz，該頻率下的振型為整體繞z軸擺動.因此，結(jié)合腿部結(jié)構(gòu)的有限元分析和實際行走情況，確定優(yōu)化設(shè)計的目的是在確保2 種工況下仿生腿滿足強度設(shè)計要求的前提下，增大腿部結(jié)構(gòu)靜態(tài)剛度、首階固有頻率以及輕量化設(shè)計.

圖2 仿生腿靜、動態(tài)性能Fig.2 Static and dynamic performance of bionic legs

1.2 基于Isight的優(yōu)化平臺集成

Isight 是一種基于參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計軟件［11-12］，通過集成和管理復(fù)雜的仿真流程獲取優(yōu)化設(shè)計方案［13-14］.圖3 為本文基于三維建模軟件CATIA、有限元分析軟件Abaqus 以及多學(xué)科優(yōu)化軟件Isight 建立的仿生腿優(yōu)化設(shè)計流程.首先在CATIA 中對仿生腿進行參數(shù)化建模，并通過VB 語言編寫腳本實現(xiàn)三維模型自動更新；其次在有限元軟件Abaqus 中分析仿生腿各模塊的靜、動態(tài)性能，并通過python 語言對分析過程進行二次開發(fā)，從而使CAE自動進行前處理、后處理及求解，從而得到優(yōu)化所關(guān)注的目標(biāo)響應(yīng)（最大應(yīng)力、最大變形、質(zhì)量和首階固有頻率）結(jié)果文件；再次在Isight 平臺中分別提取仿生腿各模塊的設(shè)計變量和分析結(jié)果文件，通過Simcode 組件驅(qū)動bat 批處理文件使CAD 三維模型重構(gòu)和CAE 分析更新求解循環(huán)進行，并且在試驗設(shè)計獲得的大量離散樣本點上擬合精度符合工程需要的近似模型；最后利用NSGA-Ⅱ算法進行優(yōu)化求解.

圖3 仿生腿優(yōu)化設(shè)計流程Fig.3 Bionic leg optimization design process

2 仿生腿試驗設(shè)計與近似模型建立

2.1 仿生腿參數(shù)化模型建立

將仿生腿結(jié)構(gòu)分為基節(jié)、大腿和小腿模塊，分別建立其參數(shù)化模型.結(jié)合有限元分析與加工制造的可行性選取參數(shù)設(shè)計變量.圖4 為仿生腿各模塊參數(shù)化建模，其中基節(jié)模塊包括9 個厚度變量、4 個方形孔尺寸變量；大腿模塊包括4 個厚度變量、2 個U形孔形狀變量；小腿模塊包括5 個厚度變量、2 個U形孔形狀變量，總計26個設(shè)計變量.

圖4 仿生腿各模塊參數(shù)化建模Fig.4 The parametric modeling of each module of the bionic leg

2.2 基于優(yōu)化拉丁超立方的試驗設(shè)計

常見的試驗設(shè)計方法有參數(shù)試驗、正交數(shù)組、中心組合設(shè)計、拉丁超立方設(shè)計以及優(yōu)化拉丁超立方設(shè)計等［15-16］.本文所選取的優(yōu)化拉丁超立方在拉丁超立方的基礎(chǔ)上做出改進，使設(shè)計變量更加均勻地在空間填充，從而得到更加準確的輸入與響應(yīng)的關(guān)系.

利用優(yōu)化拉丁超立方進行2次試驗設(shè)計，第1次以較少的樣本點觀察因子與響應(yīng)的關(guān)系，分析因子的主效應(yīng)、交互效應(yīng)和相關(guān)性；第2 次生成近似模型初始化和誤差分析所需的足夠多的樣本點.綜合考慮計算效率和模型精度，設(shè)定基節(jié)模塊280 個初始樣本點、大腿模塊60 個樣本點、小腿模塊80 個樣本點.基于優(yōu)化拉丁超立方生成的基節(jié)試驗設(shè)計結(jié)果如表1所示，其中bi代表厚度變量，li、hi代表形狀尺寸變量，s1、s2分別代表平地和斜坡工況最大應(yīng)力，u1、u2分別代表平地和斜坡工況最大變形，f1代表首階固有頻率，m代表質(zhì)量.

表1 基節(jié)試驗設(shè)計結(jié)果Tab.1 The results of hip linkage experimental design

在Isight 中建立的仿生腿多工況集成優(yōu)化平臺如圖5 所示，在每組輸入?yún)?shù)所對應(yīng)的輸出響應(yīng)中都自動提取Abaqus 結(jié)果文件中平地和斜坡工況下的最大應(yīng)力、最大變形、首階固有頻率及質(zhì)量.

圖5 仿生腿多工況集成優(yōu)化平臺Fig.5 Integrated optimization platform for bionic legs with multiple operating conditions

2.3 近似模型建立

在對仿生腿各模塊進行多目標(biāo)尋優(yōu)的過程中，每組樣本點都需分別進行2 種工況下的靜力學(xué)分析和模態(tài)分析，計算資源巨大、效率低下，通過建立輸入與輸出之間的近似模型可減少數(shù)值仿真的次數(shù)，提升計算效率，以及平滑設(shè)計空間的數(shù)值噪聲.近似模型用式（1）表示輸入變量與輸出響應(yīng)的關(guān)系.

式中：y(x)為實際輸出響應(yīng)值；y1(x)為用一個已知多項式擬合的近似輸出響應(yīng)值；ε為服從標(biāo)準正態(tài)分布的隨機誤差；x為輸入變量.

常用的近似模型有響應(yīng)面模型（Response Surface Model，RSM）、克里格模型（Kriging Model）和徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（Radial Basis Function Neural Network Model，RBF）等［17-18］.較為常用的響應(yīng)面模型多為一階和二階，其中二階RSM模型為：

式中：Y為輸出；β0為常數(shù)；βi為線性影響系數(shù)；βii為二次項影響系數(shù)；βij為交互項影響系數(shù)；k為設(shè)計變量個數(shù)；ε為近似模型與實際輸出之間的誤差.

所構(gòu)建的近似模型精度直接影響計算的準確性［19-20］，根據(jù)均值、最大值、均方根和復(fù)相關(guān)系數(shù)R2進行誤差分析.對于前3 種誤差分析類型的評價指標(biāo)分別為0.2、0.3 和0.2，其值越小表明擬合效果越好；工程上常根據(jù)R2評價近似模型精度，R2可接受指標(biāo)為0.9，其值介于0 和1 之間，R2越大，表明近似模型的精度越高，R2的具體表達式為：

式中：Yi為第i個樣本點上的響應(yīng)近似值；yi為輸出響應(yīng)值；n為樣本點數(shù)量.

本文分別以RSM、RBF 和Kriging 模型建立各模塊的近似模型，不同近似模型的擬合精度比較如表2所示.通過分析每種近似模型的檢驗指標(biāo)R2，確定采用RSM建立各模塊輸入與輸出參數(shù)的擬合曲面.

表2 不同近似模型的擬合精度比較Tab.2 The comparison of fitting accuracy of different approximate models

基節(jié)模塊輸出響應(yīng)擬合曲面如圖6 所示.由圖6可以清晰地看出平地工況最大應(yīng)力s1、最大變形u1，斜坡工況最大應(yīng)力s2、最大變形u2、首階固有頻率f1，以及質(zhì)量m的輸出響應(yīng)與各尺寸變量之間的關(guān)系.大腿和小腿模塊建立的RSM 與基節(jié)模塊類似，限于篇幅，不再贅述.

圖6 基節(jié)模塊輸出響應(yīng)擬合曲面Fig.6 Hip linkage output response fitting surface

3 基于近似模型的多目標(biāo)優(yōu)化

仿生腿結(jié)構(gòu)各模塊的優(yōu)化問題屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題，需要綜合權(quán)衡眾多響應(yīng)之間的關(guān)系.多目標(biāo)優(yōu)化算法分為歸一化方法和非歸一化方法，歸一化方法將多個目標(biāo)根據(jù)權(quán)重值處理為單目標(biāo)，但是Pareto前沿不存在凸起的形狀，則該算法不能在此處得到Pareto 最優(yōu)解.非歸一化方法利用Pareto 機制直接進行求解，NSGA-Ⅱ算法作為探索性能良好的一種非歸一化方法，尋找Pareto 前沿個體的能力更強，因此選擇NSGA-Ⅱ算法尋優(yōu).

基于所建立的近似模型，仿生腿各模塊的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)表達式為：

基于NSGA-Ⅱ算法的仿生腿多目標(biāo)優(yōu)化流程如圖7所示［21-22］.考慮求解過程中的收斂性以及種群廣度，設(shè)置種群個數(shù)為40，進化代數(shù)為20，交叉概率為0.9，以基節(jié)模塊的優(yōu)化為例，部分目標(biāo)響應(yīng)之間的Pareto最優(yōu)解如圖8所示.

圖7 基于NSGA-Ⅱ算法的仿生腿多目標(biāo)優(yōu)化流程Fig.7 Multi-objective optimization process of bionic legs based on NSGA-Ⅱ

圖8 Pareto最優(yōu)解Fig.8 Pareto optimal solution

仿生腿各模塊的目標(biāo)響應(yīng)與質(zhì)量之間存在相互制約關(guān)系，對腿部各結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化的目的在于滿足強度的前提下，使靜態(tài)剛度、動態(tài)性能與質(zhì)量均盡可能達到最優(yōu)，最終得到基節(jié)、大腿、小腿各模塊的優(yōu)化結(jié)果，分別如表3和表4所示.優(yōu)化結(jié)果表明，各模塊在強度滿足設(shè)計要求的同時，均實現(xiàn)質(zhì)量減輕和靜、動態(tài)剛度提升.

表4 仿生腿性能優(yōu)化結(jié)果Tab.4 The optimization results of the bionic leg performance

4 仿生腿整體優(yōu)化結(jié)果分析

仿生腿各模塊優(yōu)化完成后，對優(yōu)化后的整體結(jié)構(gòu)進行仿真分析.圖9 為優(yōu)化后仿生腿應(yīng)力云圖，仿生腿整體平地和斜坡工況最大應(yīng)力比優(yōu)化前分別增加4.25%、6.30%，仍然滿足強度設(shè)計要求，并有很大余量.

圖9 優(yōu)化后仿生腿應(yīng)力云圖Fig.9 Optimized bionic leg stress

優(yōu)化后仿生腿整體首階固有頻率為17.816，與優(yōu)化前的首階固有頻率相比提高了3.45%.圖10 為優(yōu)化后仿生腿首階固有頻率對應(yīng)振型，與優(yōu)化前相同，均為整體繞z軸擺動.

圖10 優(yōu)化后仿生腿首階固有頻率對應(yīng)振型Fig.10 The vibration shape of the first natural frequency of the bionic leg after optimization

優(yōu)化后仿生腿變形如圖11 所示，與優(yōu)化前相同，最大變形均出現(xiàn)在腿部末端，其中平地和斜坡工況下的最大變形分別降低9.73%和9.46%.以大腿模塊為例，比較優(yōu)化前、后各處沿腿部連桿路徑的變形曲線，優(yōu)化后平地和斜坡工況下的腿部各處變形曲線均位于優(yōu)化前之下，表明腿部各處最大變形均相應(yīng)減小，剛度均明顯改善.

圖11 優(yōu)化后仿生腿變形Fig.11 Bionic leg deformation after optimization

表5為仿生腿性能優(yōu)化結(jié)果比較，優(yōu)化后仿生腿整體強度在滿足設(shè)計要求的前提下，實現(xiàn)平地工況最大變形下降9.73%，斜坡工況最大變形下降9.46%，質(zhì)量降低8.63%，首階固有頻率提升3.45%.

5 結(jié)論

本文以大型六足機器人重載仿生腿為研究對象，提出一種基于近似模型的仿生腿多工況靜、動態(tài)多目標(biāo)優(yōu)化，通過Isight 集成Abaqus 和CATIA，搭建參數(shù)優(yōu)化平臺，實現(xiàn)自動循環(huán)求解優(yōu)化.通過對仿生腿整體性能分析，確定優(yōu)化目標(biāo)，利用試驗設(shè)計獲取輸入?yún)?shù)和輸出響應(yīng)的樣本點，并建立RSM，使用NSGA-Ⅱ算法進行多目標(biāo)優(yōu)化.優(yōu)化后仿生腿平地工況最大變形下降9.73%，斜坡工況最大變形下降9.46%，質(zhì)量降低8.63%，首階固有頻率提升3.45%，平地工況和斜坡工況最大應(yīng)力分別提升6.07%和7.97%，在滿足強度設(shè)計要求的同時仍具有很大余量.證明了本文所提出的針對重載仿生腿的多目標(biāo)優(yōu)化方法的有效性，并對大型機器人及其他機械結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計有一定的指導(dǎo)意義和參考價值.