例談比較函數(shù)式大小的思路

趙靜

比較函數(shù)式大小的問(wèn)題比較常見(jiàn)，側(cè)重于考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)與圖象.由于大部分函數(shù)式的指數(shù)、底數(shù)、真數(shù)不同，很難直接比較出它們的大小，所以往往就需要采用一些相應(yīng)的技巧，才能達(dá)到解題的目的.本文主要介紹比較函數(shù)式大小的幾種思路，以幫助同學(xué)們提升解題的效率.

一、利用函數(shù)的性質(zhì)

在比較函數(shù)式的大小時(shí)，常常會(huì)用到函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、對(duì)稱性、奇偶性、周期性等.先將指數(shù)、底數(shù)、真數(shù)不同的函數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)、底數(shù)、真數(shù)相同的函數(shù)；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)式的大小.一般來(lái)說(shuō)，增函數(shù)的自變量越大，函數(shù)值越大；減函數(shù)的自變量越小，函數(shù)值越大.

例1

解：

解答本題，需靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì).首先根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，將三個(gè)函數(shù)式的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間 （0，+∞） 內(nèi)；然后利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)式的大小.

二、借助中間量

當(dāng)要比較的兩個(gè)函數(shù)式之間沒(méi)有任何聯(lián)系時(shí)，往往可以借助中間量來(lái)比較它們的大小.在選取中間量時(shí)，需要找到和兩個(gè)函數(shù)式都有一定聯(lián)系的量，通常會(huì)選取 0、1、-1 等特殊值作為中間量，這樣便于調(diào)換指數(shù)函數(shù)的指數(shù)、底數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)、底數(shù).

例2

解：

我們選取 1 = log 3 3 作為 a、b 之間的中間量，0 作為 b、c 之間的中間量，便可根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式來(lái)比較出三個(gè)函數(shù)式的大小.

三、運(yùn)用圖象法

圖象法是判斷函數(shù)式大小關(guān)系的一種常用方法，圖象往往比數(shù)字更加直觀.在解題時(shí)，要先在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出要比較的幾個(gè)函數(shù)式的圖象；再結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過(guò)觀察，比較出函數(shù)式的大小.

例3

解：

要比較三個(gè)函數(shù)式的大小，只需比較 log23.4 、 log43.6 、log3 10 3 的大小.在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，確定三個(gè)函數(shù)值的位置，即可通過(guò)觀察比較出三個(gè)函數(shù)值的大小.最后根據(jù) y = 5x 的增減性得出結(jié)論.

比較函數(shù)式的大小，首先要明確要比較的函數(shù)式之間的關(guān)系和區(qū)別，并將函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使其建立一定的?lián)系，以便利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象進(jìn)行比較.同學(xué)們需對(duì)解答此類問(wèn)題的思路、方法進(jìn)行歸納總結(jié)，才能在解題時(shí)做到運(yùn)用自如.