談?wù)剝深?lèi)數(shù)列最值問(wèn)題的解法

張獻(xiàn)國(guó)

數(shù)列最值問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，常與函數(shù)、不等式、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合.

常見(jiàn)的數(shù)列最值問(wèn)題主要有兩種：（1）求數(shù)列的最大（小）項(xiàng)；（2）求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最大（?。┲?下面結(jié)合實(shí)例，探討一下這兩類(lèi)數(shù)列最值問(wèn)題的解法.

一、求數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)

求單調(diào)數(shù)列 {an} 的最大、最小項(xiàng)的常用方法：（1）在數(shù)列 {an} 中，若 {an - an + 1 ≥ 0， an - an - 1 ≥ 0，則 an 是數(shù)列中的最大項(xiàng)；若 {an - an + 1 ≤ 0， an - an - 1 ≤ 0，則 an 是數(shù)列中的最小項(xiàng)；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求最大、最小項(xiàng).

例1

解：

解答本題，需先仔細(xì)研究數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式；然后將其類(lèi)比函數(shù) f （x）= 1 + 1 2x - 9 ，根據(jù)這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定數(shù)列 {an} 的單調(diào)性，求得數(shù)列的最大、最小項(xiàng).解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)列的特征，根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系，研究函數(shù)和數(shù)列的單調(diào)性.

二、求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最大（?。┲?/p>

求解等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最大（小）值問(wèn)題，通常要利用函數(shù)思想.主要有三種解題的思路：（1）函數(shù)性質(zhì)法.即將等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和看成是關(guān)于 n 的二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值；（2）圖象法.即利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性或增減性來(lái)確定當(dāng) Sn 取得最值時(shí) n 的值；（3）通項(xiàng)法.若 {an ≥ 0， an + 1 ≤ 0，則 Sn 最大；若{an ≤ 0， an + 1 ≥ 0，則 Sn 最小．

例2

解法一：

解法二：

解法三：

求得 a1與d 的關(guān)系式和 Sn 的表達(dá)式后，便可分別采用函數(shù)性質(zhì)法、圖象法、通項(xiàng)法來(lái)求解.解法一、二是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)性質(zhì)和圖象問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)來(lái)解題；解法三則是通過(guò)比較各項(xiàng)的大小關(guān)系，來(lái)確定數(shù)列的最大項(xiàng).

從上述分析可以發(fā)現(xiàn)，解答此類(lèi)問(wèn)題，要從已知條件出發(fā)，尋找數(shù)列的特點(diǎn)和變化規(guī)律，將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，靈活運(yùn)用數(shù)列、函數(shù)知識(shí)來(lái)解題.