明確遞推式的特點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

歐陽品林

有些遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題較為復(fù)雜，僅僅根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，很難求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，此時(shí)需仔細(xì)觀察數(shù)列的遞推式，明晰其特點(diǎn)，根據(jù)其形式選用合適的方法進(jìn)行求解.筆者對其中三類遞推數(shù)列通項(xiàng)公式問題及其解法進(jìn)行了總結(jié)，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

類型一：an + 1 = Aan + f （n）（A ≠ 0） 型遞推式

此類型遞推式的前一項(xiàng)可以寫成后一項(xiàng)的倍數(shù)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)的和的形式.在求其通項(xiàng)公式時(shí)，需在等式的兩邊同時(shí)除以 An + 1 ，得 an + 1 An + 1 = an An + f （n） An + 1. 求得此數(shù)列第1項(xiàng)到第 n 項(xiàng)的和，就能得到 an 的表達(dá)式.

例1

解：

當(dāng)遇到 an + 1 = Aan + f （n）（A ≠ 0） 型的遞推式時(shí)，需首先想到將前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的系數(shù)化為相同的.對于本題，只需等式兩邊同時(shí)除以 3n + 1 ，即可通過累加，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

類型二：an + 1 = f （n）an 型遞推式

此類型遞推式的前一項(xiàng)可以寫成后一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)的積的形式.對于此類遞推數(shù)列問題，需采用累乘法求解，即先將遞推式變形為 f （n）= an + 1 an ；然后將第 1 項(xiàng)到第 n 項(xiàng)的積相乘，即 an = a1 ? a2 a1 ? a3 a2 ??? an an - 1 = f （1）? f （2）???f （n - 1）.

例2

解：

當(dāng)遇到形如 an + 1 = f （n）an 的遞推數(shù)列問題時(shí)，就應(yīng)該想到將數(shù)列表示成前、后項(xiàng)的商的形式，然后通過累乘，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

類型三：an + 1 = Aan + B Can + D 型遞推式

此類型遞推式的前一項(xiàng)可以寫成關(guān)于后一項(xiàng)的分式.此時(shí)遞推式對應(yīng)的特征方程為 f （x）= Ax + B Cx + D. 當(dāng)特征方程 f （x）= x 有兩個(gè)解 x1，x2 時(shí)，數(shù)列 { } an - x1 an - x2 為等比數(shù)列；當(dāng)方程 f （x）= x 只有一個(gè)解 x0 時(shí)，則數(shù)列 { } 1 an - x0 是等差數(shù)列.根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解，即可解題.

例3

解：

根據(jù)該遞推式的特點(diǎn)可知其特征方程 f （x）= x 有兩個(gè)解，于是根據(jù)其特征方程進(jìn)行求解，構(gòu)造出等比數(shù)列{ } an - 2 an + 1 .

例4

解：

對于這類型遞推式，需首先研究其特征方程；然后通過解方程求得方程的解，以構(gòu)造等差數(shù)列，便可根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

在解題時(shí)，我們要重點(diǎn)研究已知遞推式的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)，辨別其類型，合理利用總結(jié)出來的規(guī)律和方法，來求出其通項(xiàng)公式，那么在面對一些比較復(fù)雜的遞推數(shù)列問題時(shí)，就不會手忙腳亂了.