一類分?jǐn)?shù)金融資產(chǎn)價格過程的近似解及其期權(quán)定價

王繼霞,肖曉芳

(河南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453007)

在金融一體化的背景下,描述各金融資產(chǎn)價格之間的長記憶性是金融時間序列分析中的一個重要研究內(nèi)容.關(guān)于時間序列長記憶性的研究最早可以追溯到1951年,HURST[1]基于800多年的數(shù)據(jù)對尼羅河的長期水流特征進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)尼羅河的水位特征具有自相似性和長記憶性.此后,人們在股票、利率、匯率等許多金融時間數(shù)據(jù)中也發(fā)現(xiàn)了這種現(xiàn)象,并對這種現(xiàn)象進(jìn)行了更深入的研究.比如BAILLIE[2]討論了對長記憶波動過程及其在金融中的應(yīng)用;BERAN[3]和GRANGER等[4]研究了一類平穩(wěn)過程的長期相關(guān)性等.RATTIKAN[5]研究了分?jǐn)?shù)過程驅(qū)動的分?jǐn)?shù)Hull-White模型,代替了由標(biāo)準(zhǔn)布朗運動驅(qū)動的傳統(tǒng)Hull-White利率模型.此外,RATTIKAN[6]將幾何布朗運動驅(qū)動的Black-Scholes模型改進(jìn)為分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型,并驗證了分?jǐn)?shù)Black-Scholes模型可以更好地擬合IBM歷史股票數(shù)據(jù).

近年來,關(guān)于我國金融市場長相依性特征的研究也很多,比如,李志生等[7]根據(jù)有效市場理論及分形市場假說,應(yīng)用序列相關(guān)檢驗及R/S檢驗法分析研究出我國股票市場具有顯明的長相依性.苑瑩等[8]運用一系列檢驗方法研究了我國的股市收益率和成交量的長相依性特征.肖煒麟等[9]對金融市場數(shù)據(jù)進(jìn)行了實證研究,發(fā)現(xiàn)金融資產(chǎn)價格具有長相依性.張躍軍等[10]研究了原油價格波動,證明原油市場波動存在結(jié)構(gòu)性變化和長記憶特征.長記憶性側(cè)重探究價格序列本身在較遠(yuǎn)時間間隔時是否仍具有持續(xù)依賴關(guān)系.將時間序列長記憶性特征分析運用于金融環(huán)境,可以準(zhǔn)確把握金融市場的運行規(guī)律并構(gòu)造符合實際的精確預(yù)測模型.

由于金融環(huán)境的不確定性,使得金融資產(chǎn)的價格過程呈現(xiàn)出長記憶特征,這意味著經(jīng)典的布朗運動在某種程度上不能很好地描述資產(chǎn)價格過程,很多已有的研究表明利用分?jǐn)?shù)布朗運動能有效捕捉資產(chǎn)價格長相依這一現(xiàn)象.然而,由分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的金融模型卻在金融市場中存在套利機(jī)會.為解決這一問題,本文針對金融環(huán)境中存在的長記憶現(xiàn)象,構(gòu)建具有半鞅性質(zhì)的分?jǐn)?shù)高斯過程驅(qū)動的金融資產(chǎn)價格模型,并得到模型解的閉式表達(dá)式及其期權(quán)定價公式.本文所構(gòu)建的模型在金融市場中不存在套利機(jī)會,這給人們研究期權(quán)定價問題帶來了方便.

1 金融資產(chǎn)價格模型與近似模型構(gòu)建

設(shè){Xt,t≥0}為金融資產(chǎn)的價格過程,滿足由分?jǐn)?shù)布朗運動驅(qū)動的如下隨機(jī)微分方程,

(1)

本文所研究的模型是很多金融中著名模型的推廣,如下面的注釋.

注1(a)當(dāng)函數(shù)γ(t)=0時,模型(1)為金融中著名的分?jǐn)?shù)Hull-White模型.

(b)當(dāng)函數(shù)α(t)=0且σ(t)=0時,模型(1)為分?jǐn)?shù)Black-Derman-Toy模型.

(c)當(dāng)函數(shù)α(t)=α,β(t)=β,σ(t)=σ,且γ(t)=0時,其中α,β,σ為常數(shù),則模型(1)為金融中的分?jǐn)?shù)Vasicek模型.

(d)當(dāng)函數(shù)α(t)=α,β(t)=β,γ(t)=γ,且σ(t)=0時,模型(1)為分?jǐn)?shù)Dothan模型.

因此模型(1)是一類分?jǐn)?shù)金融資產(chǎn)價格過程[11].

由文獻(xiàn)[12]知,分?jǐn)?shù)布朗運動可以表示為:

(2)

其中Γ(·)是伽馬函數(shù),(Wt)t≥0是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,且

(3)

(4)

(5)

下面將給出模型(5)的由半鞅驅(qū)動的近似模型,并討論該模型的解.對?ε>0,定義

(6)

其中{Wt,t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.注意到下面的積分

因此

(7)

令

(8)

則式(7)可表示成

(9)

(10)

這里‖·‖表示L2(Ω)中的范數(shù),C(H)為僅依賴于H的常數(shù).由式(10)可得,當(dāng)ε→0時,

(11)

下面構(gòu)建模型(5)的近似模型,對?ε>0,考慮如下隨機(jī)微分方程:

(12)

下面的定理1給出了模型(12)中解的表達(dá)式.

(13)

其中

(14)

證明由式(9)可得,

(15)

把式(15)代入式(12)可得:

(16)

顯然模型(16)是由標(biāo)準(zhǔn)布朗運動{Wt,t≥0}驅(qū)動的線性隨機(jī)微分方程,且是如下形式的線性隨機(jī)微分方程:

dX(t)=(m(t)+n(t)X(t))dt+(p(t)+q(t)X(t))dWt.

(17)

已知m(t),n(t),p(t),q(t)是t的連續(xù)函數(shù),則式(17)的解是唯一存在的.

由文獻(xiàn)[17]可知,式(17)的解的形式如下:

(18)

其中

(19)

(20)

其中

(21)

證畢.

2 模擬研究

其中N是區(qū)間[0,t]上的分割區(qū)間個數(shù),由于{Wt,t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,故有

其中{ξk,k=0,1,2,…,N-1}是獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量.

模擬步驟如下:

(i)參數(shù)設(shè)定:設(shè)定T=1,分別設(shè)定H=0.125,0.375,0.625,0.875,ε=0.062 5,0.125 0,0.250 0,0.500 0.

(ii)Ni為區(qū)間[0,ti]上分割區(qū)間數(shù),i=1,2,…,500,生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)數(shù)g1,g2,…,gNi-1,計算

(22)

(iv)模擬上述程序20次.

(23)

(24)

(25)

此外,由定理1可得模型(24)的解為:

(26)

3 基于近似模型的幾何平均亞式期權(quán)定價

(27)

由半鞅驅(qū)動的金融模型在金融市場環(huán)境中是無套利的,下面研究模型(27)的期權(quán)定價問題.設(shè)K為敲定價格,T是到期日,則看漲期權(quán)的支付為(AT-K)+,看跌期權(quán)的支付為(K-AT)+.這里AT表示在執(zhí)行時間[0,T]上金融資產(chǎn)的平均價格,其計算公式為:

(28)

假設(shè)無風(fēng)險利率為常數(shù)r,市場無摩擦,期權(quán)在到期日才能執(zhí)行,則幾何平均亞式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價公式分別為:

C(K,T)=e-rTE[(AT-K)+].

(29)

和

P(K,T)=e-rTE[(K-AT)+].

(30)

下面的定理給出了期權(quán)定價公式的表達(dá)式.

(31)

和

(32)

證明由式(15)知,模型(27)可以寫為:

(33)

所以模型(27)在風(fēng)險中性測度下的解為:

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)