指向兒童高階思維發(fā)展的數(shù)學(xué)一致性教學(xué)

李 堅 孫紅英

【摘要】數(shù)學(xué)一致性教學(xué)立足于兒童高階思維能力和核心素養(yǎng)的發(fā)展，采取整體設(shè)計，關(guān)聯(lián)核心概念，溝通內(nèi)在聯(lián)系，把握知識本質(zhì)，挖掘數(shù)學(xué)思想，實現(xiàn)認(rèn)知在更高思維層面上的統(tǒng)一。開展一致性教學(xué)，可讓兒童的認(rèn)知體系能形成整體化與結(jié)構(gòu)化，可讓兒童能深入地理解和把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與蘊含的數(shù)學(xué)思想，可以很好地促進兒童高階思維能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展。一致性教學(xué)與高階思維能力發(fā)展的目標(biāo)是一致的。數(shù)學(xué)一致性教學(xué)可以圍繞“核心概念的統(tǒng)領(lǐng)”、“內(nèi)在聯(lián)系的溝通”、“數(shù)學(xué)思想的凝練”三個維度去開展與實施。

【關(guān)鍵詞】一致性教學(xué)；高階思維；核心概念；內(nèi)在聯(lián)系；數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)教學(xué)在實施結(jié)構(gòu)化教學(xué)的同時，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中充分感悟與理解學(xué)科知識本質(zhì)的一致性，即立足于兒童高階思維和核心素養(yǎng)的發(fā)展，采取整體設(shè)計，關(guān)聯(lián)核心概念，溝通內(nèi)在聯(lián)系，把握知識本質(zhì)，挖掘數(shù)學(xué)思想，實現(xiàn)認(rèn)知在更高思維層面上的統(tǒng)一。“一致性”教學(xué)就是不同數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，都可用同樣的公認(rèn)事實、基本概念、或基本原理與思想方法去解釋，讓不同知識或知識的各個要素融合成一個和諧的整體。實施一致性教學(xué)，可讓兒童的認(rèn)知體系能形成整體化與結(jié)構(gòu)化，可讓兒童能深入地理解和把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與蘊含的數(shù)學(xué)思想，從而促進兒童思維能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展，以有效地降低兒童的認(rèn)知負荷和思維負擔(dān)。

高階思維是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革與研究的熱點問題。通常認(rèn)為，高階思維是一種高層次、高水平的思維形式，是一種發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動或較高層次的認(rèn)知能力。在布魯姆教育目標(biāo)的分類中表現(xiàn)為分析、綜合和評價三個思維層次。數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成依賴數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)最終都要指向?qū)W生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，尤其是高階思維能力的發(fā)展。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在“三會”中明確指出：“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界?！编嵷剐沤淌谔岢觯骸耙诟哂^念下指導(dǎo)與開展教學(xué)活動，要很好地滲透各種重要的數(shù)學(xué)思想與方法，包括高層次思維的發(fā)展，要超越具體知識和技能，深入到思維層面，用思維分析帶動具體知識和技能的學(xué)習(xí)?！?/p>

綜上可知，一致性教學(xué)與高階思維發(fā)展的目標(biāo)是一致的，都指向兒童思維能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展，二者相互促進，相輔相成。踐行一致性教學(xué)可以較好地促進兒童高階思維能力的發(fā)展，因為一致性教學(xué)對應(yīng)著眾多的高階思維能力要素，如：推理與歸納、關(guān)聯(lián)與拓展、抽象與概括、評價與綜合、發(fā)散與創(chuàng)新等；兒童高階思維能力的發(fā)展需要抓手，一致性教學(xué)為高階思維能力的落地生根提供了新的途徑與視角。

在實際教學(xué)中，可以“核心概念的統(tǒng)領(lǐng)”為出發(fā)點、以“內(nèi)在聯(lián)系的溝通”為著力點、以“數(shù)學(xué)思想的凝練”為生長點，去開展與實施著眼于整體建構(gòu)的、指向?qū)W科本質(zhì)和高階思維發(fā)展的一致性教學(xué)。

一、統(tǒng)領(lǐng)核心概念，感受內(nèi)容一致性

馬云鵬教授指出：“知識的關(guān)聯(lián)是通過學(xué)科的核心概念來實現(xiàn)的。核心概念是打通知識之間關(guān)聯(lián)的鑰匙?！?數(shù)學(xué)核心概念是居于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中心具有持久和遷移價值的關(guān)鍵性概念、性質(zhì)、原理或思想方法等，其是高位、抽象和概括的，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)和思維特征。數(shù)學(xué)核心概念對理解和掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識不可缺少，其是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、解決實際問題、感悟數(shù)學(xué)思想與形成結(jié)構(gòu)化知識體系的關(guān)鍵，是提升思維能力與核心素養(yǎng)的主要抓手，是達到數(shù)學(xué)內(nèi)容認(rèn)知一致性的重要途徑。

布魯納強調(diào)：“一門課程在它的教學(xué)過程中，應(yīng)反復(fù)回到這些基本觀念，以這些基本觀念為基礎(chǔ)，直至學(xué)生掌握了這些觀念相適應(yīng)的一整套體系為止?！币虼?，數(shù)學(xué)一致性教學(xué)就應(yīng)該以體現(xiàn)基本原理的主題核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，把一個或幾個核心概念始終貫穿于整個學(xué)習(xí)之中并反復(fù)強化與不斷運用，使得主題內(nèi)零散的內(nèi)容能建立起緊密地關(guān)聯(lián)并形成整體性的結(jié)構(gòu)，以有效地實現(xiàn)知識與方法的吸納、建構(gòu)、遷移與應(yīng)用。

首先，應(yīng)在概念的透徹理解中明晰出核心概念。

概念的學(xué)習(xí)特別是有關(guān)各種數(shù)的概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。數(shù)的概念較多，即使有部分學(xué)生在生活中已經(jīng)有所接觸與了解，但這種了解還是比較片面與膚淺的，還達不到準(zhǔn)確與透徹地程度，尤其是還未能提煉出有關(guān)核心概念從認(rèn)知的一致性角度去理解和表達數(shù)的本質(zhì)。

數(shù)學(xué)知識是人類漫長歷史發(fā)展過程中不斷的積淀與創(chuàng)造，是人類智慧的結(jié)晶，每個數(shù)學(xué)知識包括各種數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展都有其獨特的背景與歷史，并且人們對數(shù)的認(rèn)識是不斷深化和豐富的，數(shù)系也是逐步擴展的。因此，對于數(shù)的認(rèn)識的教學(xué)，就不能讓學(xué)生只根據(jù)各個數(shù)各自所具有的現(xiàn)實背景而簡單地去理解其意義，那樣學(xué)習(xí)就缺乏關(guān)聯(lián)性，認(rèn)知就缺乏整體性，思維水平就達不到高階，而是需要我們幫助學(xué)生能從數(shù)的產(chǎn)生背景、數(shù)系擴展的內(nèi)在邏輯和數(shù)的計數(shù)方法這三個方面去深入地厘清相關(guān)數(shù)的由來與發(fā)展、內(nèi)在的關(guān)聯(lián)與本質(zhì)及其附有的文化屬性與價值，以在對數(shù)的認(rèn)識的不斷深化中逐步地明晰和提煉出核心概念，實現(xiàn)在核心概念的統(tǒng)領(lǐng)下達到對數(shù)的認(rèn)識的“一致性”。

例如，在教學(xué)整數(shù)時，可讓學(xué)生理解整數(shù)是對生活中的數(shù)量的抽象而產(chǎn)生的，并且采用單位和具有位值的十進制方式來計數(shù)，可實現(xiàn)“有限”表示“無限”；在教學(xué)分?jǐn)?shù)時，可以讓學(xué)生明白是在等分物體或度量物體時得不到整數(shù)個而產(chǎn)生的，需要“細分”單位才能準(zhǔn)確地表示數(shù)的大小；在教學(xué)小數(shù)時，可通過安排人民幣或長度單位來解決實際的計數(shù)或度量問題時，需要用“十分”的方式來“細化”單位才能準(zhǔn)確地表示數(shù)的大小，且其與整數(shù)連結(jié)比分?jǐn)?shù)更加自然。這樣，實現(xiàn)了用單位的計數(shù)和度量對數(shù)的產(chǎn)生背景認(rèn)識的一致性，即它們都是源于對數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象，都需用單位來計數(shù)和度量，只不過整數(shù)是單位的逐漸累加，而分?jǐn)?shù)和小數(shù)是單位的逐漸細化。

同時，在教學(xué)中要借助數(shù)的產(chǎn)生背景幫助學(xué)生理清數(shù)系擴展的脈絡(luò)及其之間的聯(lián)系，即整數(shù)是加1的運算，從1開始不斷加1，滿十進一，以致無窮，可歸結(jié)為加法的運算。分?jǐn)?shù)無論是“等分除”還是“包含除”得到的數(shù)，都是一種“新”數(shù)，是為了表示兩個數(shù)相除商不是整數(shù)的情況，可歸結(jié)為除法的運算。而小數(shù)是從1開始的細化，是特殊的分?jǐn)?shù)，是整數(shù)十進制體系向相反方向的拓展和延伸，且運算比分?jǐn)?shù)更為方便。這樣，學(xué)生可從整體上理解了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系的一致性，即數(shù)系擴展是數(shù)的運算的需要。

在此基礎(chǔ)上，再運用“計數(shù)單位”這個核心概念，從整體上對各種數(shù)的計數(shù)方式進行一致性的解釋，幫助學(xué)生真正形成對于數(shù)的認(rèn)識的本質(zhì)理解。但由于“計數(shù)單位”這個核心概念相對較抽象，所以教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知規(guī)律幫助學(xué)生逐步地去明晰和提煉，并需在數(shù)的意義學(xué)習(xí)中初步認(rèn)識、在數(shù)的讀寫中深化理解、在數(shù)的大小比較中強化應(yīng)用。比如整數(shù)認(rèn)知，在低年級教學(xué)20以內(nèi)整數(shù)時，可借助小棒等實物來直觀理解數(shù)的意義與滿十進一，初步了解數(shù)位、位值及其單位“個”與“十”，再通過數(shù)的讀寫與大小比較深化對單位的認(rèn)識。如，從9開始，一個一個的加分別是多少？11表示什么？怎么讀？兩個1的意思一樣嗎？11與13誰大？……在教學(xué)萬以內(nèi)的整數(shù)時，可借助計數(shù)器理解數(shù)的意義、計數(shù)單位和“十進制”計數(shù)方式，并在數(shù)的讀寫、大小比較等中凸顯計數(shù)單位的應(yīng)用與價值。如，從99開始，一個一個的加分別是多少？從900開始，一百一百的加分別是多少？6345其是由幾個千、幾個百、幾個十和幾個一組成的？怎么讀？要讀出什么和什么？ 6345與6341誰大？……在中年級教學(xué)較大的整數(shù)時，可借助數(shù)位順序表繼續(xù)用“計數(shù)單位”去幫助學(xué)生理解與掌握數(shù)的意義、分級、讀寫、大小比較以及“十進制”計數(shù)體系等，理解其計數(shù)方式的實質(zhì)是表示整數(shù)計數(shù)單位個數(shù)的多少，并與低年級的學(xué)習(xí)形成一致性。如，3個憶、8904個萬和5708個一組成的數(shù)是多少？怎么讀？與89045708相比誰大？……對于分?jǐn)?shù)和小數(shù)認(rèn)知，同樣類比整數(shù)的教學(xué)，讓學(xué)生理解它們計數(shù)方式的實質(zhì)也都是表示計數(shù)單位個數(shù)的多少。最后，在總復(fù)習(xí)時，可借助于直觀圖形用核心概念“計數(shù)單位”來統(tǒng)領(lǐng)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的計數(shù)方式：806345=8×100000+0×10000+6×1000+3×100+4×10+5×1，，0.33=3×0.1+3×0.01……在這樣的比較和聯(lián)系中，學(xué)生就能整體地理解它們計數(shù)方式的一致性，即都是用“計數(shù)單位”的個數(shù)來表達數(shù)的大小的。

當(dāng)我們用了研究對象+式的認(rèn)識方式來逐步深化對數(shù)的認(rèn)識，即從數(shù)的產(chǎn)生背景，數(shù)系擴展的內(nèi)在邏輯和數(shù)的計數(shù)方式這三個維度來理解數(shù)的認(rèn)識之后，就會幫助學(xué)生打通數(shù)域之間的關(guān)聯(lián)，理清數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，達到對數(shù)的意義的全方位的、透徹地本質(zhì)理解，并認(rèn)識到核心概念的統(tǒng)領(lǐng)價值，從而能站在更高地思維層面上用“計數(shù)單位”幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識的一致性。

其次，應(yīng)在算理的多元表征中概括出核心概念。

運算教學(xué)不僅要掌握算法，更要理解算理。離開算理支撐只知道算法，計算就是空中樓閣，學(xué)生就會走不穩(wěn)行不遠。沒有提煉算法只理解算理，計算就沒形成技能，學(xué)生就會走不快行不準(zhǔn)。并且算理的理解方式不能單一，必須是多元的表征，要從“數(shù)”和“形”兩方面去把握，才能豐富與深化學(xué)生對運算核心概念的本質(zhì)理解。

雖然小學(xué)數(shù)的運算內(nèi)容眾多、形式復(fù)雜，不僅涉及加減乘除四則運算，以及整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)形態(tài)，還涉及各種運算律和性質(zhì)，但是它們還是可用“計數(shù)單位”這個核心概念來統(tǒng)領(lǐng)并實現(xiàn)算法提煉與算理理解學(xué)習(xí)的一致性。因為，數(shù)的運算是以數(shù)的認(rèn)識為基礎(chǔ)并且與數(shù)的認(rèn)識緊密地融為一體的，同時四則運算之間的聯(lián)系也是緊密的，它們相互依存并互為可逆。因此，在教學(xué)中應(yīng)避免將各種數(shù)的運算割裂開來各說各理，而是應(yīng)該從其局部和整體這兩個方面并借助計數(shù)單位來理解運算本質(zhì)的一致性。

首先，需聯(lián)系數(shù)的認(rèn)識概括核心概念來理解運算本質(zhì)的一致性，實現(xiàn)思維從感性具體到理性具體的上升。如，在教學(xué)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法時，可創(chuàng)設(shè)具體情境借助豎式和算式結(jié)合數(shù)的認(rèn)識運用實物圖形表征和言語表征來理解計算過程，并在橫式中概括算理、在豎式中提煉算法，即它們都是相同數(shù)位對齊或分母相同才能相加減，其一致性的本質(zhì)就是用相同的計數(shù)單位才能做加減；再如，在教學(xué)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法時，也可創(chuàng)設(shè)具體情境借助實物圖形表征和言語符號表征，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)的計數(shù)方式通過比較和觀察理解算理，概括出它們的運算過程和結(jié)果都是：“（計數(shù)單位×計數(shù)單位）×（計數(shù)單位個數(shù)×計數(shù)單位個數(shù)）”，即“新的計數(shù)單位×新的計數(shù)單位個數(shù)”，如圖所示；對于除法，我們可聯(lián)系除法的兩種意義“等分除”與“包含除”，結(jié)合多元表征讓學(xué)生在充分理解算理的基礎(chǔ)上概括出算法：“（計數(shù)單位÷計數(shù)單位）×（計數(shù)單位個數(shù)÷計數(shù)單位個數(shù)）”，即“新的計數(shù)單位×新的計數(shù)單位個數(shù)”。如，80÷4=（10÷1）×（8÷4），0.3÷0.02=（0.1÷0.01）×（3÷2），÷=（÷）×（ ?/ × 。雖然數(shù)的形態(tài)不同，但從運算的局部來看，同一形式的運算其本質(zhì)是一樣的，都能在核心概念“計數(shù)單位”的統(tǒng)領(lǐng)下實現(xiàn)運算的一致性。

其次，需利用四則運算之間的聯(lián)系概括核心概念來理解運算本質(zhì)的一致性，實現(xiàn)思維從理性具體到理性一般的上升。正整數(shù)是加1的結(jié)果，可知加法是所有運算的基礎(chǔ)，所有運算都可以還原為加法。因此，可利用數(shù)軸進行圖形表征，知道加法在數(shù)軸上就是計數(shù)單位向右移動不斷累加的結(jié)果。減法是加法的逆運算，在數(shù)軸上就是計數(shù)單位向左移動不斷累減的結(jié)果。乘法是加法的簡便計算，在數(shù)軸上就是一群數(shù)向右移動不斷累加的結(jié)果。除法是乘法的逆運算也是減法的簡便計算，其在數(shù)軸上就是一群數(shù)向左移動不斷累減的結(jié)果。雖然運算的形式有很多，但從運算的整體來看，它們之間是緊密聯(lián)系的，還是都能在核心概念“計數(shù)單位”的統(tǒng)領(lǐng)下實現(xiàn)運算的一致性。

立足于數(shù)的運算的局部和整體，通過多元表征，聯(lián)系數(shù)的認(rèn)識，溝通不同運算之間的關(guān)聯(lián)，建立系統(tǒng)地數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，統(tǒng)領(lǐng)核心概念“計數(shù)單位”，在算理理解和算法提煉的過程中，以及推理能力尤其是高階思維能力的提升中，讓學(xué)生充分感受數(shù)的運算的內(nèi)容一致性，即數(shù)的運算都是計數(shù)單位的運算。

再次，應(yīng)在方法的自主遷移中歸納出核心概念。

在新知的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的經(jīng)驗、知識和思想方法來實現(xiàn)學(xué)習(xí)的自主遷移。在遷移的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生尋找新舊知識之間的聯(lián)系，辨別新舊知識之間的區(qū)別，歸納出能統(tǒng)領(lǐng)新舊知識的核心概念，實現(xiàn)對新知的深度理解、問題的自主解決和認(rèn)知的一致性認(rèn)識。

在學(xué)習(xí)平面圖形的面積推導(dǎo)與立體圖形的體積推導(dǎo)時，學(xué)生會提出：“為什么在面積推導(dǎo)或體積推導(dǎo)開始，都要先學(xué)長方形或長方體，然后再學(xué)習(xí)其它圖形的推導(dǎo)呢？長方形或長方體的面積或體積推導(dǎo)方法與后繼探究的圖形怎么不一致呢？”學(xué)生有這樣的疑問和困惑，說明對面積和體積的度量還沒有形成一致性的本質(zhì)認(rèn)識，還缺少用核心概念去統(tǒng)領(lǐng)認(rèn)知。因此，在教學(xué)時，需用“度量單位”這個核心概念去幫助學(xué)生理解與把握，即在教學(xué)長方形的面積時或平面圖形面積復(fù)習(xí)與整理時，可引導(dǎo)學(xué)生回顧和思考：面積單位是如何定義的？有沒有面積單位形狀不是正方形的？如何度量一個圖形面積的大小？度量長方形具有的面積單位數(shù)量容易，還是度量其它平面圖形容易？不能直接鋪滿的圖形，其面積公式又該如何推導(dǎo)呢？通過一系列高質(zhì)量地富有挑戰(zhàn)性的問題引領(lǐng)，讓學(xué)生在比較中明晰、聯(lián)系中建構(gòu)、思考中深入，直指圖形測量的核心概念“度量單位”，并在“度量單位”的解釋下形成對平面圖形面積度量認(rèn)識的一致性。然后在立體圖形體積推導(dǎo)的教學(xué)時，可以聯(lián)系與類比平面圖形教學(xué)，提出：“度量單位能不能不用又方又正的正方體？”這樣，讓學(xué)生在遷移中歸納、聯(lián)系中思考、追問中提升，思維得到不斷進階，對圖形測量的學(xué)習(xí)形成更為深刻地一致性認(rèn)識。

二、溝通內(nèi)在聯(lián)系，感受結(jié)構(gòu)一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》明確提出“加強課程內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，突出課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。”馬云鵬教授指出：“內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有助于更好地理解學(xué)科基本原理、有助于實現(xiàn)知識與方法的遷移、有助于準(zhǔn)確把握核心概念的進階?！笨梢?，溝通內(nèi)在聯(lián)系，突出內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，有助于教師準(zhǔn)確地理解和合理地運用核心概念進行教學(xué)，有助于學(xué)生將零散的、碎片的知識主動建構(gòu)為整體化、系統(tǒng)化和邏輯化的知識結(jié)構(gòu)，減少那些毫無價值的、機械重復(fù)的學(xué)習(xí)，實現(xiàn)知識和方法的有效自主遷移以及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一致性，從而促進高階思維能力的發(fā)展。

因此，在教學(xué)中我們要善于引導(dǎo)學(xué)生會用聯(lián)系的、整體的眼光看待問題，善于溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，善于建立結(jié)構(gòu)化地認(rèn)知體系和思維方法，善于達成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一致性。

首先，運用聯(lián)系的觀點增強結(jié)構(gòu)化的意識。

普遍聯(lián)系是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個重要特征，也是數(shù)學(xué)能不斷煥發(fā)生命力的一個重要原因。鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，不應(yīng)求全、而應(yīng)求聯(lián)?！辈捎寐?lián)系的觀點來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以很好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和實現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的一致性。因此，在學(xué)習(xí)中，要采用“聯(lián)系的觀點”進行分析，揭示知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，運用數(shù)學(xué)的一些基本原理讓學(xué)生的認(rèn)知在更高層面上實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的一致性，以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和推理出更多的、新的規(guī)律與結(jié)論。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的兩個這樣問題：“把一個真分?jǐn)?shù)的分子與分母同時增加相同的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值會如何變化？”、“兩車在做相遇運動時，如果其中甲車速度增加，乙車速度不變，則相遇時甲車所行路程與原來相比會有怎樣的變化？”當(dāng)然學(xué)生可能會用設(shè)具體數(shù)的方法求解這兩個問題，不難得出分?jǐn)?shù)值以及甲車所行路程的占比會變大的結(jié)論。但是，教學(xué)不能停留于此，可聯(lián)系“糖水中加糖糖水變甜即含糖率變大”的道理來說明，會讓學(xué)生有“豁然開朗”的感覺，發(fā)現(xiàn)不同領(lǐng)域的內(nèi)容可擁有相同的本質(zhì)與一致性的結(jié)構(gòu)。此外，我們還需要繼續(xù)關(guān)聯(lián)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來解釋其中奧妙，以促進學(xué)生的高階思維能力得到進一步地提升，即當(dāng)分子分母擴大相同的倍數(shù)其分?jǐn)?shù)值是不變的，但當(dāng)分子擴大的倍數(shù)比分母擴大的倍數(shù)多時，分?jǐn)?shù)值自然會變大。同時，還可以追問：“生活中還有哪些數(shù)學(xué)問題也可用這個道理來解釋呢？”“一石頭激起千層浪”，學(xué)生的思維會更加發(fā)散，理解會更加深度。用“聯(lián)系的觀點”處理數(shù)學(xué)知識，可以化抽象為直觀、化孤立為聯(lián)系、化零散為結(jié)構(gòu)、化膚淺為深度、化多樣為一致，并讓學(xué)生在關(guān)聯(lián)中建構(gòu)，在建構(gòu)中統(tǒng)一，很好地達成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一致性。

其次，抓住內(nèi)在的邏輯建立結(jié)構(gòu)化的體系。

布魯納說“一個人越是具有學(xué)科結(jié)構(gòu)化的觀念，就越能毫不疲乏地完成內(nèi)容充實和時間較長的學(xué)習(xí)情節(jié)?！庇髌浇淌谥赋觯骸皩τ谝粋€數(shù)學(xué)概念、命題的理解，不僅要理解它的內(nèi)涵，明晰它的外延，更重要的是要將其置于一個體系中，厘清它與其他概念之間的關(guān)系，形成概念或命題體系”。因此，在教學(xué)中，需要從整體上架構(gòu)學(xué)習(xí)，把知識嵌入數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)當(dāng)中，理清知識體系，探尋知識聯(lián)系，在循序漸進之中引導(dǎo)學(xué)生理解知識的本質(zhì)內(nèi)涵，并用核心概念統(tǒng)領(lǐng)學(xué)習(xí)尋找到知識背后的邏輯意義。

例如，在六年級學(xué)習(xí)體積單位時，教材上出現(xiàn)1厘米線段、1平方厘米的正方形和1立方厘米的正方體，讓學(xué)生比較并說說它們的不同點。如果只讓學(xué)生理解到它們分別是長度、面積和體積的單位這個程度，那么學(xué)生的認(rèn)知水平和思維是低下的。如果我們能從運動、維數(shù)和進率這三個視角及其聯(lián)系進行說明與比較，學(xué)生的認(rèn)知會得到極大地提升，并可實現(xiàn)度量單位在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一。即可先通過動畫演示引導(dǎo)學(xué)生知道：“點動成線、線動成面、面動成體”，長度對應(yīng)著一維，面積對應(yīng)著二維，體積對應(yīng)著三維。再借助圖形或方塊引導(dǎo)學(xué)生理解：一維長度大小只受一個方向的量決定即左右方向，二維面積大小是受兩個方向的量同時決定即左右（長或底）和前后（寬或高）相乘，三維體積大小是受三個方向的量同時決定即左右（長）、前后（寬）和上下（高）相乘，所以一維相鄰單位之間進率表現(xiàn)為101，二維相鄰單位之間進率表現(xiàn)為102，三維相鄰單位之間的進率表現(xiàn)為103。通過大膽想象、巧妙聯(lián)系、發(fā)散思維、深層比較，不僅讓學(xué)生深入理解了體積單位的本質(zhì)內(nèi)涵，又讓學(xué)生在與長度、面積單位的關(guān)聯(lián)中實現(xiàn)了一次對“度量單位”結(jié)構(gòu)體系的一致性認(rèn)識。

三、凝練數(shù)學(xué)思想，感受本質(zhì)一致性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在闡述數(shù)學(xué)本質(zhì)時指出：“數(shù)學(xué)抽象、推理、建模是數(shù)學(xué)發(fā)展所必須的三個最基本的數(shù)學(xué)思想?！笔穼幹薪淌谥赋觯骸皵?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展所必須依賴的，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人應(yīng)該具有的思維特征。”數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)思想凝煉不僅可使學(xué)習(xí)者的思考深邃、學(xué)習(xí)深度與思維提升，而且讓學(xué)習(xí)者還能透過表象實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的一致性理解。

因此，在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識，更為重要的是應(yīng)當(dāng)在性質(zhì)探究、運算律理解以及問題解決中由隱及顯地揭示其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，使孤立、零散的知識能串聯(lián)起來并形成相互關(guān)聯(lián)的整體，使貌似毫不相同的數(shù)學(xué)對象產(chǎn)生內(nèi)在聯(lián)系并能在數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)攝下在新的層面上獲得統(tǒng)一。

1.在性質(zhì)探究中感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)性質(zhì)的掌握和運用是形成數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的基本要求，其直接決定著學(xué)生能否正確地理解數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)，能否將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識在數(shù)學(xué)性質(zhì)背后蘊含的數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)下形成認(rèn)知的一致性。在小學(xué)，需要掌握和運用的數(shù)學(xué)性質(zhì)有很多，但它們通常都比較抽象，要想真正理解和掌握它，需要深入性質(zhì)的本質(zhì)和揭示其背后所蘊含的數(shù)學(xué)思想，才能讓我們的認(rèn)知水平、問題解決的本領(lǐng)以及思維能力得到更好地提升。

例如，在學(xué)習(xí)“能被2、3、5整除的數(shù)的特征”時，如果教師只注重讓學(xué)生去探索、發(fā)現(xiàn)和運用性質(zhì)，忽略性質(zhì)的驗證，即使驗證也只是通過安排有限的舉例而已，那么學(xué)生的思維過程是不嚴(yán)密的，學(xué)生對性質(zhì)的認(rèn)識和理解也是表面與淺層的，難以達到深度的本質(zhì)理解，并且對整除性質(zhì)的認(rèn)知還沒有形成一致性。因此，在實際的教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)一定的探究性活動，讓學(xué)生明白能被2、3、5整除的數(shù)的性質(zhì)背后的道理及其之間的關(guān)聯(lián)，以及它們蘊含的共同數(shù)學(xué)本質(zhì)與思想。所以，在教學(xué)中可以借助計數(shù)器、小正方體模型或方格圖等學(xué)具進行表征演示，直觀的把整數(shù)進行不同形式的拆分，如，3132=3×1000+1×100+3×10+2×1，3132=（3×999+3）+（1×99+1）+（3×9+3）+2×1=（3×999+1×99+3×9）+（3+1+3+2），讓學(xué)生在數(shù)的“分”與“合”之中明白“為什么被2、5整除只看它的個位而被3整除需看各個數(shù)位上的數(shù)字之和”的道理，直指性質(zhì)的本質(zhì)。同時，教學(xué)還可繼續(xù)延伸：“用此方法，能找到被9整除的數(shù)的特征嗎？以及4與25、8與125呢？……”學(xué)生可遷移前面的方法，繼續(xù)借助學(xué)具從數(shù)的“分”與“合”的角度進行操作與理解，不難發(fā)現(xiàn)相關(guān)性質(zhì)及其與前面性質(zhì)的關(guān)聯(lián)。最后再通過整理，讓學(xué)生從整體上去感悟與理解它們都是運用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想在探尋整除的性質(zhì)，本質(zhì)上都是整數(shù)的“分”與“合”，是“同余數(shù)理論思想”的一種實際應(yīng)用，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的化歸與轉(zhuǎn)換、簡化與優(yōu)化。

這樣的教學(xué)安排，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)下實現(xiàn)了對數(shù)的整除性質(zhì)認(rèn)識的本質(zhì)一致性，同時學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力和核心素養(yǎng)也得到了極大提升。

2.在算律理解中啟發(fā)數(shù)學(xué)思想

運算律是通過對一些等式的觀察、比較和分析而抽象、概括出來的運算規(guī)律。運算律是學(xué)生探索算法與理解算理的推理基礎(chǔ)和依據(jù)，在數(shù)與運算中處于核心地位。

小學(xué)階段的運算律主要包括：加法結(jié)合律與交換律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律。以往，教師在教學(xué)運算律時，通常是讓學(xué)生在解決問題的過程中得到一些等式，然后組織觀察、比較、分析，再概括出相關(guān)的運算律，最后運用其去解決運算或?qū)嶋H問題。這是一個具體到抽象、特殊到一般的歸納過程，能很好地發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，但其是一個不完全歸納的過程，學(xué)生的認(rèn)識還不夠深入，思維還不夠嚴(yán)密，還缺少一個借助其他方式來驗證規(guī)律、解釋規(guī)律和說明相關(guān)結(jié)論的正確性的過程，更為重要的是，學(xué)生對運算律中所蘊含的數(shù)學(xué)思想的感悟還不充分，還未能用數(shù)學(xué)思想從整體上實現(xiàn)對運算律內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識和知識體系建構(gòu)的一致性。

首先，需要從“數(shù)”與“形”兩個方面來增強學(xué)生對運算律的理解。也就是在開始學(xué)習(xí)運算律時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用多元方法解決實際問題，然后從“數(shù)”的方面去理解：盡管計算順序不同，但不同算式通過計算其結(jié)果是相等的，又由于它們解決的同一個問題，所以不計算也肯定相等。例如，學(xué)習(xí)加法結(jié)合律時，可設(shè)置這樣的問題情境：課間操場上有21名男生在跳繩，35名女生在跳繩，還有15名女生在踢毽子。操場上跳繩和踢毽子的學(xué)生一共有多少人？學(xué)生可能列出算式“（21+35）+15”即先求出跳繩的人數(shù)再加上踢毽子的人數(shù)。還可能列出算式“21+（35+15）”即先求出女生的人數(shù)再加上男生的人數(shù)。在此基礎(chǔ)上，進行仿寫得到更多類似的算式，然后從計算結(jié)果和問題解決這兩個方面進行驗證和說理，初步明確結(jié)合律。同時，還要借助幾何直觀圖形從“形”的方面來解釋結(jié)合律的成立原因。如圖，即三角形的周長可列式為 （a+b）+c、a+（b+c）或為（a+c） +b，三個算式都指向三角形的周長，所以計算結(jié)果肯定相等，等式也必然成立。這樣，讓學(xué)生經(jīng)歷了從運算律的“數(shù)”和“形”兩個方面來認(rèn)識規(guī)律、驗證規(guī)律和解釋規(guī)律，進一步增強了學(xué)生對運算律的本質(zhì)理解，同時又讓學(xué)生的思維在數(shù)學(xué)思想的啟發(fā)之下更加嚴(yán)密而又富有邏輯。

其次，還要從“變”與“不變”兩個方面來深化學(xué)生對運算律的理解。也就是在整理和運用運算律時，在充分地回顧五個運算律的推導(dǎo)和驗證的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生借助下面的圖形直觀地感悟運算律當(dāng)中蘊含的“變”與“不變”：變的是順序與方法，即可以變換方向列出不同的算式去解決問題。不變的是結(jié)果與思想，即都可借助幾何直觀去解釋一維線段總長、二維面積總和與三維體積大小都是確定與唯一的。通過這樣的教學(xué)安排，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了一個從合情推理到演繹推理的完美之旅，讓學(xué)生真正理解了運算律的關(guān)聯(lián)和本質(zhì)，形成了結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知體系，并在數(shù)學(xué)思想的統(tǒng)領(lǐng)下實現(xiàn)了對運算律本質(zhì)認(rèn)識的一致性。

3.在問題解決中揭示數(shù)學(xué)思想

近些年來，“問題解決”比較盛行，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域中的一個重要版塊與內(nèi)容。但教師在“問題解決”的教學(xué)中，更多關(guān)注的是解決問題的策略形成和方法掌握，較少重視其背后的數(shù)學(xué)思想的感悟和凝練。從而造成這樣一個狀況：盡管學(xué)生已經(jīng)具備了足夠的數(shù)學(xué)知識，也已經(jīng)掌握了一定的解決問題的策略和方法，但卻依然不能靈活、有效地去解決實際問題。

鄭毓信教授指出：“問題解決不能滿足于某些具體結(jié)果或結(jié)論的獲得，而是需要通過實例的考察與解決獲得更為深入的理解，即進一步探尋并關(guān)聯(lián)事實背后隱藏的某種普遍理論和數(shù)學(xué)思想，并能把它們納入到一個新的、統(tǒng)一的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，引出更為普遍性的思維方法或模式，從而幫助學(xué)生學(xué)會‘?dāng)?shù)學(xué)地思維?！币虼?，在問題解決的教學(xué)中，不能只著眼于具體問題的求解，否則就不能打開和發(fā)展學(xué)生的思維，而是需要我們能從整體出發(fā)，站在思維的高度，運用聯(lián)系的眼光，清楚地幫助學(xué)生揭示一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相近、數(shù)學(xué)思想相同的問題所包含的共性，從而實現(xiàn)問題解決內(nèi)容學(xué)習(xí)的一致性。

例如，在六年級學(xué)習(xí)“假設(shè)替換”內(nèi)容時，不能只滿足于“假設(shè)”策略的形成和“替換”方法的掌握，即只滿足于“把兩個或多個未知數(shù)轉(zhuǎn)化成一個未知數(shù)得以解決問題”的方法掌握。還需將“假設(shè)替換”與“假設(shè)調(diào)整”、“假設(shè)消去”以及方程等解決問題的方法與結(jié)構(gòu)進行比較，以幫助學(xué)生在橫向結(jié)構(gòu)上獲得一致性認(rèn)識，即雖然它們解決問題的具體的方法不一樣，但運用的策略都是一致的，都是“假設(shè)”。同時，我們還要進一步地將“假設(shè)問題”與“和差問題”、“和倍問題”、“差倍問題”、“盈虧問題”等類型的問題進行比較，以幫助學(xué)生在縱向結(jié)構(gòu)上獲得一致性認(rèn)識，即雖然它們問題的結(jié)構(gòu)與類型不一樣，但本質(zhì)上都運用了“化歸”的數(shù)學(xué)思想把兩個或多個未知數(shù)轉(zhuǎn)化成一個未知數(shù)。這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會在橫向結(jié)構(gòu)和縱向結(jié)構(gòu)上同時得到延伸和發(fā)展，它們相互支撐、相互補充，學(xué)生的認(rèn)知會更加深入富有邏輯性，知識體系會更加系統(tǒng)富有統(tǒng)一性，思維層次更加上位富有高階性。

以具體的假設(shè)策略為立足點，將問題解決內(nèi)容的教學(xué)從橫向結(jié)構(gòu)和縱向結(jié)構(gòu)上發(fā)散出去，揭示各個相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)的共同本質(zhì)以及它們背后蘊藏的數(shù)學(xué)思想，從而達到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“一般化”與“問題解決”教學(xué)的一致性。

綜上，實施一致性教學(xué)是學(xué)生深入理解知識本質(zhì)、建立知識之間的聯(lián)系、以及感悟數(shù)學(xué)思想的重要抓手，是發(fā)展學(xué)生高階思維能力和核心素養(yǎng)的重要途徑。一致性是一種意識，需要在實踐中不斷增強；一致性是一種能力，需要在過程中不斷培養(yǎng)；一致性是一種思維，需要在學(xué)習(xí)中不斷強化；一致性是一種素養(yǎng)，需要在教學(xué)中不斷落實。一致性教學(xué)是教學(xué)改革的方向，對于指向兒童高階思維發(fā)展的一致性教學(xué)的具體實施原則和方法，還需要進一步討論和研究。

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責(zé)任編輯：陳國慶