第一型無窮曲線積分及其條件收斂判別法

邱惠銘 何桂添 唐國(guó)吉

摘?要：給出無窮曲線及第一型無窮曲線積分的定義，并獲得了它的計(jì)算公式，得到了第一型無窮曲線積分依曲線方程類型的不同可相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為無窮積分或瑕積分的結(jié)論，這些結(jié)果完善了趙清理等人［5］的結(jié)果。該文還證明了第一型無窮曲線積分的兩個(gè)重要的收斂判別法，無窮積分的Dirichlet判別法和Abel判別法是該文結(jié)果的特殊情況。

關(guān)鍵詞：無窮曲線；第一型無窮曲線積分；單調(diào)性；Dirichlet判別法；Abel判別法

中圖分類號(hào)：O172.2

The?First?Type?of?Infinite?Curve?Integral?and

Its?Conditional?Convergence?Criterion

Qiu?Huiming?He?Guitian?Tang?Guoji*

School?of?Mathematics?and?Physics，Guangxi?University?for?Nationalities?GuangxiNanning?530006

Abstract：The?definition?of?infinite?curve?and?the?first?type?of?infinite?curve?integral?is?given，and?its?calculation?formula?is?obtained.The?conclusion?that?the?first?type?of?infinite?curve?integral?can?be?transformed?into?infinite?integral?or?defective?integral?according?to?the?different?type?of?curve?equation?is?obtained.These?results?improve?the?results?of?Zhao?Qingzhu?et?al.This?paper?also?proves?two?important?convergence?tests?for?the?first?type?of?infinite?curve?integral，the?Dirichlet?test?and?the?Abel?test?for?infinite?integral?are?the?special?cases?of?this?paper's?results.

Keywords：infinite?curve；?Infinite?curve?integral?of?type?I；?Monotony；?Dirichlet?discriminant；?Abel?test

1?概述

郇中丹教授在文獻(xiàn)［1］中談“數(shù)學(xué)分析”課程改革的幾點(diǎn)意見中指出，目前國(guó)內(nèi)《數(shù)學(xué)分析》教材或教學(xué)實(shí)踐中存在的主要問題之一是：一元微積分的討論不厭其煩，而多元微積分則顯得相當(dāng)薄弱，這一方面是由于以往人們認(rèn)為多元微積分是一元的平行推廣（這大概與菲赫金格爾茲的數(shù)學(xué)分析教材的影響有關(guān)），另一方面，由于一元部分相對(duì)簡(jiǎn)單并且結(jié)果頗多。華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》（第三版）［2］在附錄一介紹微積分簡(jiǎn)史中也指出，積分論仍在發(fā)展，Riemann積分的推廣仍不能說已經(jīng)完成。這些認(rèn)識(shí)是客觀的。文獻(xiàn)［1］指出，《數(shù)學(xué)分析》的改革設(shè)想應(yīng)把多元部分作為重中之重，無論從數(shù)學(xué)的發(fā)展，還是從實(shí)際應(yīng)用，都要求有較好的多元微積分基礎(chǔ)，與一元微積分相比，多元微積分的有關(guān)內(nèi)容還有待深入的研究。

國(guó)內(nèi)通行的《數(shù)學(xué)分析》教材（如文獻(xiàn)［24］）都研究曲線上的正常積分（包括第一型和第二型的）。1999年，文獻(xiàn)［5］給出了無窮曲線積分的定義，討論了其某些性質(zhì)和收斂的判別法和計(jì)算方法。最近，文獻(xiàn)［6］引入了定義在曲線上的函數(shù)的單調(diào)性概念，并在文獻(xiàn)［7］證明了第一型曲線積分的第二中值定理。本文在文獻(xiàn)［57］工作的基礎(chǔ)上研究第一型無窮曲線積分的兩個(gè)重要的收斂判別法，無窮積分中的Dirichlet判別法和Abel判別法是本文結(jié)果的特殊情況。本文的另一個(gè)貢獻(xiàn)是完善了文獻(xiàn)［5］中關(guān)于無窮曲線的定義和第一型無窮曲線積分的計(jì)算公式。

2?定理和引理

定義2.1在平面光滑曲線C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+）上，A（φ（α），ψ（α））為曲線C的一個(gè)端點(diǎn)，B（φ（t），ψ（t））是曲線C上的任一點(diǎn)，s（A，B）表示弧段C（A，B）的弧長(zhǎng)，稱曲線C是以點(diǎn)A為端點(diǎn)的無窮曲線，如果limt→+

）。若我們?cè)谇€上任意取定某一點(diǎn)為端點(diǎn)，則該無窮曲線可看成是兩條有端點(diǎn)的無窮曲線，其中的任一條的方程表達(dá)式一定屬于前面所定義的四個(gè)類型之一。

下面我們給出第一型無窮曲線積分的定義。

定義2.2：設(shè)C是以A為端點(diǎn)的平面無窮曲線，f是定義在曲線C上的二元函數(shù)，對(duì)曲線C上的任一點(diǎn)B，s表示曲線C上以點(diǎn)A，B為端點(diǎn)的弧段（記作C（A，B））的弧長(zhǎng)，f在C（A，B）上第一型可積，若：

lims→+

αf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；（2）

類似地，

情形2：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β），則：

J=∫βαf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形3：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈（－

f（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形4：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈（β，α］，則：

J=∫αβf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt。

情形1是文獻(xiàn)［5］中定理6的結(jié)果，該文沒有注意到無窮曲線的其他類型，因此只得到第一型無窮曲線積分與無窮積分之間的關(guān)系。事實(shí)上，第一型無窮曲線積分依無窮曲線的不同類型可相應(yīng)轉(zhuǎn)化為無窮積分（見情形1和情形3）或瑕積分（見情形2和情形4）。

文獻(xiàn)［7］引入了平面曲線上的二元函數(shù)的單調(diào)性概念，并且證明了第一型曲線積分的第二中值定理。

定義2.3［7］設(shè)C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］為平面上的可求長(zhǎng)曲線，曲線兩端點(diǎn)為A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）），f（x，y）為定義在曲線C上的函數(shù)，若對(duì)任何的t1，t2∈［α，β］，當(dāng)t1

（1）f（φ（t1），ψ（t1））SymbolcB@

f（φ（t2），ψ（t2）），則稱f為曲線C上的增函數(shù)，特別地，當(dāng)成立嚴(yán)格不等式f（φ（t1），ψ（t1））

（2）f（φ（t1），ψ（t1））f（φ（t2），ψ（t2）），則稱f為曲線C上的減函數(shù)，特別地，當(dāng)成立嚴(yán)格不等式f（φ（t1），ψ（t1））>f（φ（t2），ψ（t2））時(shí)，稱f為曲線C上的嚴(yán)格減函數(shù)。

我們指出：曲線上函數(shù)的單調(diào)性概念是一元函數(shù)單調(diào)性的推廣。

引理2.1（第一型曲線積分的第二中值定理）［7］設(shè)函數(shù)f在光滑曲線C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］（曲線兩端點(diǎn)為A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）））上第一型可積。若g為曲線C上的單調(diào)函數(shù)，則存在P（ξ，η）∈C，使：

∫Cf（x，y）g（x，y）ds=g（φ（α），ψ（α））∫C（A，P）f（x，y）ds+

g（φ（β），ψ（β））∫C（P，B）f（x，y）ds（3）

本文主要結(jié)果的證明還需用到第一型無窮曲線積分的Cauchy收斂準(zhǔn)則。

引理2.2（第一型無窮曲線積分的Cauchy收斂準(zhǔn)則）［5］設(shè)A為無窮曲線C的端點(diǎn)，f（x，y）是定義在曲線C上的二元函數(shù)，則∫Cf（x，y）ds收斂的充要條件是：對(duì)任意給定的ε>0，存在M>0，對(duì)任意的P1，P2∈C，只要s（A，P1），s（A，P2）>M，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。

3?主要結(jié)果

定理3.1（狄利克雷判別法）設(shè)A是光滑無窮曲線C的端點(diǎn)，P（u，v）是曲線C上的任一點(diǎn)，若F（u，v）=∫C（A，P）f（x，y）ds在曲線C上有界，g（x，y）在曲線C上當(dāng)s→+

M，P（u，v）∈C。

對(duì)于任意給定的ε>0，由g（x，y）在曲線C上當(dāng)s→+SymboleB@

時(shí)趨于零知，存在G>0，使得對(duì)每一個(gè)P（x，y）∈C，只要滿足s（A，P）>G，就有|g（x，y）|<ε4M。

對(duì)于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈C：s（A，P2）>s（A，P1）>G，又因g為單調(diào)函數(shù)，在曲線段C（P1，P2）上利用第一型曲線積分的第二中值定理得知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得

∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+

g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。

于是

|∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds|

ε4M·2M+ε4M·2M=ε.

由Cauchy收斂準(zhǔn)則知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。證完。

定理3.2（阿貝爾判別法）設(shè)A是光滑無窮曲線C的端點(diǎn)，f（x，y），g（x，y）是定義在曲線C上的二元函數(shù)，若∫Cf（x，y）ds收斂，g（x，y）在曲線C上單調(diào)有界，則∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。

證明：由g（x，y）在曲線C上有界，即存在M>0，使得對(duì)曲線C上的每一點(diǎn)P（x，y），有|g（x，y）|SymbolcB@

M。

對(duì)于任意給定的ε>0，由∫Cf（x，y）ds收斂知，存在G>0，使得對(duì)于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈C，只要s（A，P2）>s（A，P1）>G，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε2M。

又因?yàn)間為曲線C上的單調(diào)函數(shù)，在曲線段C（P1，P2）上利用第一型曲線積分的第二中值定理可知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得

∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。

于是

|∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds|

M·ε2M+M·ε2M=ε.

由Cauchy收斂準(zhǔn)則知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。證完。

定理3.1與定理3.2的結(jié)論對(duì)于三維或一般的n維空間中的第一型無窮曲線積分仍成立。

推論3.1（無窮積分的Dirichlet判別法）［2］若F（u）=∫uaf（x）dx在［a，+SymboleB@

）上有界，g（x）在［a，+，這是一條無窮曲線，定義曲線C上的二元函數(shù)f～（x，y）=f（x），g～（x，y）=g（x），容易驗(yàn)證f～，g～在曲線C上滿足定理3.1的條件，因此由定理3推知∫Cf～（x，y）g～（x，y）ds收斂，即∫+af（x）g（x）dx收斂。

證明仿推論3.1應(yīng)用定理3.2容易推出結(jié)論。

通過推論3.1與推論3.2及其證明，我們知道無窮積分中的Dirichlet判別法和Abel判別法是本文結(jié)果的特殊情況。

參考文獻(xiàn)：

［1］郇中丹.對(duì)師范大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》課程改革的幾點(diǎn)意見［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2000，9（2）：1719.

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基金項(xiàng)目：本研究受廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目（2020JGA155）和廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)相思湖本科教育教學(xué)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助

作者簡(jiǎn)介：邱惠銘（1983—?），女，漢族，廣西桂林人，本科，初級(jí)，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。

*通訊作者：唐國(guó)吉（1979—?），男，漢族，廣西防城港人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：運(yùn)籌學(xué)與控制論、數(shù)學(xué)教育。