以問引思感悟數(shù)據(jù)

楊興芳

統(tǒng)計(jì)量的教學(xué)重點(diǎn)要從數(shù)據(jù)的計(jì)算轉(zhuǎn)向數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)意義的理解。教學(xué)中，如何引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)整理、分析、表達(dá)的過程，利用樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，感悟平均數(shù)等統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)意義？如何引導(dǎo)學(xué)生利用基本統(tǒng)計(jì)量解決實(shí)際問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)，形成數(shù)據(jù)意識(shí)？本期，我們討論如何借助統(tǒng)計(jì)量及統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)。

“平均數(shù)”是“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，教學(xué)重點(diǎn)要從平均數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)向平均數(shù)意義的理解，以及運(yùn)用平均數(shù)的知識(shí)解決問題，體會(huì)平均數(shù)所蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思想，形成初步的數(shù)據(jù)意識(shí)。要發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識(shí)，就要讓學(xué)生與數(shù)據(jù)對(duì)話，感悟數(shù)據(jù)的魅力，而好的問題猶如一把鑰匙，可以打開學(xué)生思維的閘門，把學(xué)生的思維引向深處。筆者以《平均數(shù)》的教學(xué)為例，淺析如何依托問題引導(dǎo)學(xué)生探究、思考和應(yīng)用數(shù)據(jù)，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)。

一、以問引探，感知數(shù)據(jù)

問題是學(xué)生探究的起點(diǎn)，不僅可以激發(fā)學(xué)生探究的欲望，還可以幫助學(xué)生明確探究的目標(biāo)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)據(jù)的感知。

課始，教師出示環(huán)保小隊(duì)收集的瓶子個(gè)數(shù)的象形統(tǒng)計(jì)圖（如下圖），引導(dǎo)學(xué)生思考“怎樣才能使每人收集的瓶子個(gè)數(shù)一樣多”的問題，完成“在學(xué)習(xí)單上畫一畫、移一移”的學(xué)習(xí)任務(wù)。

學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下，借助已經(jīng)學(xué)習(xí)的“平均分”的知識(shí)和象形統(tǒng)計(jì)圖的啟發(fā)，想出了不同的方法：有的學(xué)生畫一畫，有的學(xué)生移一移，還有的學(xué)生算一算。其中，一名學(xué)生交流：“我先從小紅收集的14個(gè)瓶子中移1個(gè)給小蘭，再從小明收集的15個(gè)瓶子中移2個(gè)給小亮，這樣他們每人收集的瓶子個(gè)數(shù)就都是13個(gè)了?！苯處熯m時(shí)引導(dǎo)：“把多的補(bǔ)給少的是‘移多補(bǔ)少’的方法?！绷硪幻麑W(xué)生交流：“圖中，小亮收集了11個(gè)瓶子，是最少的。我以小亮收集的11個(gè)瓶子為標(biāo)準(zhǔn)畫一條豎線，這樣看，小紅多出來3個(gè)，小蘭多出來1個(gè)，小明多出來4個(gè)，一共多出來‘3+1+4=8’個(gè)。由于‘8÷4=2’個(gè)，所以每人又可以平均分到2個(gè)。此時(shí)，每人收集的瓶子個(gè)數(shù)一樣多，即‘11+2=13’個(gè)?！苯處熆隙嗽搶W(xué)生的回答并小結(jié)：“你以最少的作為標(biāo)準(zhǔn)，把一共多出來的8個(gè)平均分給4個(gè)人，每人分得2個(gè)，再加上相同的11個(gè)，就得到每人收集了13個(gè)。你真會(huì)想辦法！在他的啟發(fā)下，同學(xué)們還有不同的方法嗎？”不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)：先把4人收集的瓶子個(gè)數(shù)加起來得到瓶子總數(shù)，再用總數(shù)除以4，就得到每人收集13個(gè)?；诖?，教師及時(shí)拋出問題：“比較一下，兩種方法有什么相同的地方？”經(jīng)過引導(dǎo)，學(xué)生在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)兩種方法的共通之處——先合起來，再平均分。這樣教學(xué)，“先總后分”的方法水到渠成。

這個(gè)環(huán)節(jié)，在核心問題“怎樣才能使他們收集的瓶子個(gè)數(shù)一樣多？”的引導(dǎo)下，學(xué)生各抒己見，不僅感悟到平均數(shù)是怎么來的，而且明晰了“移多補(bǔ)少”“先總后分”兩種常見的求平均數(shù)的方法，初步感知了平均數(shù)的意義。

二、以問引思，對(duì)話數(shù)據(jù)

“知道平均數(shù)可以刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，知道平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義；知道平均數(shù)是介于‘最大數(shù)’與‘最小數(shù)’之間的數(shù)，能描述平均數(shù)的意義”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“平均數(shù)”的學(xué)業(yè)要求。教學(xué)中，教師如何幫助學(xué)生深入理解平均數(shù)的代表性、趨中性、敏感性呢？

在學(xué)生通過移一移、畫一畫、算一算等方法得出環(huán)保小隊(duì)收集的瓶子個(gè)數(shù)的平均數(shù)是13之后，教師追問：“13是環(huán)保小隊(duì)每人收集的瓶子個(gè)數(shù)嗎？”學(xué)生在數(shù)據(jù)對(duì)比中發(fā)現(xiàn)，13并不是環(huán)保小隊(duì)每名成員收集的瓶子的實(shí)際個(gè)數(shù)，他們收集的瓶子個(gè)數(shù)有的比13多，有的比13少，13表示他們平均每人收集了13個(gè)瓶子，也就是他們4人收集瓶子的平均數(shù)，可以反映環(huán)保小隊(duì)收集瓶子個(gè)數(shù)的整體水平。至此，學(xué)生已經(jīng)理解了平均數(shù)的代表性。

緊接著，教師拋出新問題：“如果你也加入環(huán)保小隊(duì)，猜想并確定你可能收集的瓶子個(gè)數(shù)，算一算你們5人收集瓶子的平均數(shù)是多少?！睂W(xué)生大膽猜想，嘗試計(jì)算。交流中，有的學(xué)生提出自己收集的瓶子個(gè)數(shù)比13多，這樣會(huì)抬高平均數(shù)；有的學(xué)生提出自己收集的瓶子個(gè)數(shù)比13少，這樣會(huì)拉低平均數(shù)；還有的學(xué)生提出自己剛好收集了13個(gè)瓶子，計(jì)算出的平均數(shù)仍然是13。在此過程中，教師通過追問，引導(dǎo)學(xué)生剖析平均數(shù)抬高、拉低、不變的原因，并及時(shí)呈現(xiàn)相應(yīng)數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計(jì)圖及平均數(shù)所在線，使平均數(shù)的意義和特點(diǎn)躍然紙上，幫助學(xué)生直觀感知平均數(shù)在最大數(shù)和最小數(shù)之間，體會(huì)平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的表達(dá)。這樣教學(xué)，學(xué)生深入理解了平均數(shù)的意義，體驗(yàn)到平均數(shù)的神奇——平均數(shù)很敏感，數(shù)據(jù)的加入會(huì)引起平均數(shù)的變化，但無論如何變化，平均數(shù)總是在最大數(shù)和最小數(shù)之間，它就像孫悟空一樣，無論怎么跳，也跳不出如來佛的手掌心。

最后，針對(duì)“剛好收集了13個(gè)瓶子，得出的平均數(shù)仍然是13”的情況，教師追問“兩個(gè)13表示的意思一樣嗎”，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中辨析兩個(gè)13的含義。學(xué)生依據(jù)實(shí)例交流，明晰了第一個(gè)13是同學(xué)收集瓶子的真實(shí)個(gè)數(shù)，第二個(gè)13是環(huán)保小隊(duì)5人收集瓶子的平均數(shù)，反映了環(huán)保小隊(duì)收集瓶子個(gè)數(shù)的整體水平。理解了這一點(diǎn)，學(xué)生對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)更加全面和立體了。

三、以問引用，感嘆數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)是公正的，但有時(shí)會(huì)掩蓋真相。如何幫助學(xué)生解讀數(shù)據(jù)信息、感悟數(shù)據(jù)的魅力呢？練習(xí)環(huán)節(jié)，教師播放“三百星”的視頻，并激情講述“50年放飛300星，不僅創(chuàng)造了中國(guó)航天史上眾多第一，也見證了中國(guó)航天從無到有、從弱到強(qiáng)，從航天大國(guó)邁向航天強(qiáng)國(guó)的光輝歷程。請(qǐng)同學(xué)們算一算平均每年放飛多少顆星？”學(xué)生計(jì)算得出平均每年放飛6顆后，教師呈現(xiàn)如下文字材料及探究任務(wù)：

1970年4月24日，中國(guó)航天科技集團(tuán)五院研制的第一顆航天器——東方紅一號(hào)衛(wèi)星，作為我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星，邁出了我國(guó)走向太空時(shí)代的第一步。第一顆人造衛(wèi)星、第一艘飛船、第一顆導(dǎo)航衛(wèi)星、第一個(gè)月球探測(cè)器、第一個(gè)空間實(shí)驗(yàn)室、第一艘貨運(yùn)飛船……細(xì)數(shù)“300星”，放飛第一個(gè)“百星”用了41年，放飛第二個(gè)“百星”用了6年，而放飛第三個(gè)“百星”，只用了3年。

請(qǐng)同學(xué)們先讀一讀，再圈出相關(guān)的數(shù)學(xué)信息，算一算“每個(gè)放飛‘百星’階段，平均每年發(fā)射多少顆？”

學(xué)生計(jì)算后驚喜地發(fā)現(xiàn)：第一個(gè)“百星”階段，平均每年發(fā)射“100÷41≈2”顆；第二個(gè)“百星”階段，平均每年發(fā)射“100÷6≈17”顆；第三個(gè)“百星”階段，平均每年發(fā)射“100÷3≈33”顆。教師拋出問題“觀察上述4個(gè)平均數(shù)，你有什么想說的”，引導(dǎo)學(xué)生再次觀察、比較、分享。“我覺得中國(guó)的航天事業(yè)開始時(shí)發(fā)展得慢，后來發(fā)展得非常快，特別是近3年平均每年約發(fā)射33顆，真是奇跡！”“我覺得平均數(shù)有時(shí)也會(huì)騙人，如果不分三個(gè)階段計(jì)算平均數(shù)，只依據(jù)“平均每年放飛6顆”，我們是感受不到我國(guó)航天事業(yè)的飛速發(fā)展的?！薄捌骄鶖?shù)真神奇，看來我們不僅要讀懂?dāng)?shù)據(jù)的表面信息，更要讀懂?dāng)?shù)據(jù)背后的信息?！睂W(xué)生獨(dú)特的感受，表明他們不僅直觀地感知到數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)與程度，體會(huì)到平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，還感受到我國(guó)航天事業(yè)的飛速發(fā)展，體會(huì)到數(shù)據(jù)的力量及數(shù)據(jù)分類的價(jià)值。

（作者單位：襄陽市?？悼h教學(xué)研究室）

責(zé)任編輯? 劉佳