橋梁車輛荷載識別的貝葉斯方法研究

茅建校 龐振浩 王浩 王飛球

摘要 基于貝葉斯推理提出了一種可實現(xiàn)誤差模式選擇的橋梁車輛荷載識別方法。該方法通過靜力影響線構建車輛荷載與實測響應的關系表達式，并建立修正曲面以消除動力效應造成的識別誤差。引入與結構響應大小和車速相關的五種誤差模式。根據(jù)假設的先驗分布推導車輛軸重參數(shù)的后驗分布，以獲得車輛荷載的最優(yōu)估計值和置信區(qū)間，并計算各誤差模式的后驗概率。分別采用簡支梁數(shù)值算例和某連續(xù)梁橋動載試驗，對該方法在不同車速工況下的識別精度和可靠性進行了驗證。結果表明，修正曲面可以有效消除車輛動力沖擊的影響，提高了荷載識別精度；荷載識別結果以置信區(qū)間形式呈現(xiàn)，可量化荷載識別結果的不確定性；貝葉斯方法能夠識別出最佳誤差模式，進一步提升了荷載識別的魯棒性。

關鍵詞 車輛荷載識別; 貝葉斯推理; 不確定性量化; 模式選擇; 動力響應消除

引 言

運營條件下的橋梁車輛荷載識別對于交通軸載調查、橋梁維護管理、超載治理和橋梁耐久性與安全性評價等具有重要意義。近年來，隨著中國交通貨運量呈現(xiàn)爆發(fā)式的增長，重車和超重車已逐漸成為最重要的運輸工具之一［1］。動態(tài)稱重（Weigh?in?Motion， WIM）技術可以在不中斷交通的情況下獲得車輛的軸重、軸距以及車速等信息。然而，WIM技術須將稱重傳感器安裝在路表面，存在安裝復雜、成本較高和易損壞等缺點，且荷載識別精度受路面剛度與不平整度的影響較大［2?3］。與傳統(tǒng)的動態(tài)稱重技術比較，橋梁動態(tài)稱重（Bridge?WIM，B?WIM）技術具有成本低、精度高、耐久性好等優(yōu)點。

B?WIM技術是通過測量橋梁在車輛作用下的結構響應，求解獲得車輛軸重等信息的技術［4?5］。目前，B?WIM方法可分為靜力法［6?7］和動力法［8?10］兩大類。Moses算法［6］ 是經(jīng)典的靜力法之一，它的核心思想是最小化實測橋梁響應與利用影響線概念計算的響應之間的差異來識別車輛軸重。然而，由于實測響應為動力響應，利用靜力影響線得到的理論響應為靜力響應，導致該算法存在一定的誤差。動力法采用橋梁結構動力響應時程進行車輛荷載識別，從動力角度對荷載和響應的關系進行建模，理論上具有較高的精度，但動力法依賴于精確的橋梁有限元建模和分析，計算效率低，不易在現(xiàn)代商業(yè)B?WIM系統(tǒng)中應用［11］。另一方面，靜力法易于實現(xiàn)，只要對實測響應進行誤差處理或其信噪比足夠高，靜力法可獲得較高的精度。影響線是Moses算法的重要參數(shù)，耿少波等［12］ 針對橋梁結構影響線的標定方法進行說明與求解，并推導車輛荷載計算的通用矩陣表達式，為B?WIM系統(tǒng)開發(fā)提供了理論支持。王寧波等［13］ 通過梯度法對Moses算法得到的初始荷載識別值進行局部優(yōu)化，進一步提高了荷載識別精度。Tikhonov正則化技術［14］ 是解決響應誤差問題的一種思路，主要通過在原最小化公式中添加附加罰項來實現(xiàn)消除動力的影響。Liu等［15］ 借鑒交替迭代法和正則化技術，提出一種基于半凸函數(shù)的移動荷載識別方法，通過迭代得到恒力分量和時變力分量，與L2正則化和移動平均Tikhonov正則化相比，該方法可以進一步提高移動荷載識別精度。Pan等［16］ 提出一種基于稀疏自估計傳感器網(wǎng)絡的橋梁車輛荷載識別方法，該方法考慮每個傳感器的信號特征、噪聲能量和信噪比，以傳感器的加權殘差來定義代價函數(shù)，改進了L2范數(shù)正則化模型。張梓航等［17］ 提出了一種基于雙稀疏字典和稀疏K?SVD字典學習算法的動態(tài)荷載識別方法。張龍威等［18］ 提出了橋梁動態(tài)稱重迭代算法，該算法通過Moses算法和實測影響線算法之間的反復迭代實現(xiàn)。隨著橋梁跨徑增大、橋面行駛車輛數(shù)增多，基于Moses算法荷載識別方法的精度和穩(wěn)定性呈逐步下降的趨勢［19?20］，因此目前B?WIM技術大多針對中小跨徑橋梁并且只考慮單輛車過橋的工況。

從參數(shù)識別的角度來看，車輛荷載識別值是最優(yōu)值或估計值，具有不確定性。然而，現(xiàn)有的B?WIM算法較少根據(jù)車輛軸重的概率分布來考慮其不確定性［21］ 。針對車輛荷載的不確定性，Yoshida等［22］ 將貝葉斯理論應用于軸重識別，從概率分布角度實現(xiàn)了不確定性分析，同時也表明了觀測誤差建模的重要性；Yu等［21］ 提出了一種基于生成對抗網(wǎng)絡（GAN）的車輛軸重概率估計方法；此外，Yang［23］ 提出了一種基于非概率理論的面向不確定性的正則化荷載識別方法，但這些研究僅僅限于參數(shù)識別層面，而缺乏對誤差模式選擇的研究。從數(shù)據(jù)采集的角度看，不同類型的樣本數(shù)據(jù)的誤差模式可能不同，誤差模式選擇不當可能會導致參數(shù)識別精度下降［24］ 。然而，誤差模式的優(yōu)選尚未被相關文獻報道。

本文提出了一種基于貝葉斯推理的橋梁車輛荷載識別方法。該方法主要包括置信區(qū)間估計、模式選擇和動力響應消除，通過修正曲面實現(xiàn)了動力響應的消除，通過貝葉斯推理對誤差模式進行了優(yōu)化選擇，從而提高了荷載識別的精度，并對荷載估計值的不確定性進行量化。最后，通過數(shù)值算例和某連續(xù)梁橋動載試驗對該方法的可靠性進行了驗證，以期為橋梁的長期運營和維護管理提供科學依據(jù)。

1 基于貝葉斯推理的橋梁車輛荷載識別方法

1.1 荷載與響應的關系

假設一輛K軸車輛行駛通過窄橋（不考慮橫向效應），對車輛的位置數(shù)據(jù)和響應數(shù)據(jù)進行采樣，構建荷載與響應的關系表達式如下：

式中? ?Ri為第i次采樣的理論響應；K為車輛的車軸數(shù)目；Ak為第k個車軸的軸重（前軸為第1個車軸）；I（x）為位置x處的影響系數(shù)［25］ ；xik為在第i次采樣中第k個車軸的位置。

整理N次采樣的數(shù)據(jù)，荷載與響應的關系式以矩陣的形式表示為：

式中? ? R∈RN×1為理論響應向量，R=[R1 R2 R3 … RN]T；A∈RK×1為軸重荷載向量，即待求未知數(shù)向量，A=[A1 A2 A3 … AK]T；I ∈RN×K為影響系數(shù)矩陣，矩陣的第i行第k列元素表示在第i次采樣中第k個車軸對應位置處的影響系數(shù)，即

考慮到實測響應相對于靜力響應存在誤差，對荷載與響應的關系式引入誤差項，表達式如下：

式中? ? R?∈RN×1為實測響應向量；ε ～ N（0， Σ0）代表實測響應存在的誤差，即第i次實測響應的誤差εi相互獨立且服從零均值，方差為σ 2i的高斯分布。

參考Mu等［26］ 的研究成果，并且考慮到σ 2i可能與實測響應R?i和速度大小Vi相關，本文針對方差σ 2i設定5種誤差模式，表達式如下 ：

式中? ? Vi為第i次采樣中車輛行駛的速度，單位為m/s；λ為誤差參數(shù)，可對與響應大小R?i和速度大小Vi相關的誤差進行調整和控制。

基于上述線性回歸模型，以M 表示該數(shù)學模型；D表示樣本數(shù)據(jù)，即影響系數(shù)矩陣I 和響應向量R?；θ=[ATσ 20λ]T表示不確定的參數(shù)；p（D|θ，Cj）表示數(shù)據(jù)的似然函數(shù)，它反映待求參數(shù)θ和數(shù)學模型Cj 對數(shù)據(jù)D的擬合程度，似然函數(shù)為多維高斯分布，表達式為：

1.2 貝葉斯推理

1.2.1 先驗分布

假設未知參數(shù)θ的先驗分布是互相獨立的，則：

式中 C1～C5代表誤差模式Type1～5。

假設軸重荷載向量A的先驗分布為服從均值μA（數(shù)值算例中，車輛為二軸普通小轎車，一般前軸重量是后軸的一半，總重量位于1.2～1.6 t之間，故取μA=[0.45? ? 0.9]T。動載試驗算例中，車輛為滿載的三軸大型載重貨車。參考GB 1589—2016《汽車、掛車及汽車列車外廓尺寸、軸荷及質量限值》［27］ ，單軸重量不超過11.5 t，因此在動載算例中取μA=[10 10 10]T）和協(xié)方差矩陣ΣA（協(xié)方差代表了軸重的先驗分布的離散程度，數(shù)值算例取ΣA=diag[1? 1]，動載試驗算例取ΣA=diag[1? 1? 1]）的高斯分布：

誤差方差σ 20服從具有形狀參數(shù)α0和尺度參數(shù) β0的逆伽馬分布（α0和 β0決定了σ 20的離散程度，結合實測響應可能出現(xiàn)的誤差ε，取α0=1， β0=1），表達式如下：

誤差參數(shù)λ服從均值為0，標準差為σλ（由式（5）可知，λ不宜過大，取σλ為0.1）的正態(tài)分布：

1.2.2 后驗分布

根據(jù)貝葉斯定理，未知參數(shù)θ的后驗分布［28］ 為 ：

Mu等［26］和Muto［29］對后驗分布的最優(yōu)值進行了相關推導，具體如下：

對于誤差模式Type1，不確定參數(shù)θ=[ ATσ 20]T。通過最大化p（θ|D，Cj），可得到參數(shù)A和σ 20的最優(yōu)值如下：

最優(yōu)值A?（σ 20）和 σ? 20（A）是互相耦合的，通過迭代可得到其條件最優(yōu)值。從A的極大似然解（ITI ）?1IT R?開始，交替使用式（12）和（13），直到迭代穩(wěn)定或誤差小于預先設定的閾值。

目標函數(shù)J（θ）定義為p（θ|D，Cj）的負對數(shù)，表達式如下：

式中? ? Wk和Xk分別為“高斯?勒讓德”積分的積分系數(shù)和積分節(jié)點。為了盡可能提高數(shù)值積分精度，本文采用了40個求積節(jié)點。

1.4 修正曲面

為研究橋梁動力因素對靜力響應的影響，本文給出修正曲面的定義：一輛車以勻速Vi的速度行駛通過窄橋，前軸位于位置xi處時的動力響應為Rdi，對應的靜力響應為Rsi，稱Rsi/Rdi為修正系數(shù)ζi，則一個修正點為（xi， Vi， ζi）；將各修正點連成一個曲面，稱該曲面為修正曲面。本文通過有限元模擬的方法獲得動力響應Rdi（時程分析）和靜力響應Rsi，結果表明軸距相同、軸重不同但軸重成比例的車輛對應的修正曲面是相同的，利用下式可對實測響應的動力部分進行消除，得到靜力響應Ri：

通常情況下，車輛剛駛入橋梁時的動力響應Rdi很微小，導致響應的修正系數(shù)ζi往往較大，故計算全橋范圍內(nèi)的修正曲面是不必要的。在簡支梁數(shù)值算例中，二軸車（軸距2.5 m，前后軸的軸重比例為1∶2）通過計算跨徑為30 m的簡支梁橋，對跨中位移進行時程分析和靜力分析，得到5～25 m范圍內(nèi)的修正曲面如圖 1所示。在動載試驗算例中，三軸加載車輛（軸距分別為3.5 m和1.35 m，前后軸的軸重的比例為10∶12∶13）行駛通過某連續(xù)梁橋梁（3 m×32.7 m），得到50～65 m范圍內(nèi)的修正曲面如圖 2所示。

2 數(shù)值算例

2.1 算例設計

2.1.1 簡支梁結構和加載車輛

簡支梁跨徑為30 m，采用等截面的形式，截面抗彎剛度EI為1.0×109? N·m2，質量密度為1020 kg/m3。加載車輛為二軸普通小轎車，軸距2.5 m，前軸軸重A1為0.5 t，后軸軸重A2為1 t。

在本研究中，二軸車輛以80 km/h勻速通過簡支梁，以簡支梁跨中位移響應的時程分析數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)。

2.1.2 工況設計

為研究不同的誤差模式的合理性和修正曲面消除動力響應的效果，本文設計兩個工況對此進行探索。具體的工況設計如下：

工況①：響應數(shù)據(jù)R?為時程分析的動力響應，不加以動力消除；

工況②：響應數(shù)據(jù)R?為用修正曲面消除動力后的的“靜力”響應。

2.2 計算結果

對車輛行駛通過橋梁時簡支梁跨中豎向位移進行時程分析，得到其動力響應；計算橋梁的靜力影響線，可獲得相應的靜力響應；利用修正曲面對動力響應進行動力消除，得到修正后的動力響應，如圖3所示。結果表明，動力荷載和靜力荷載存在較大的差異；動力消除后的響應和靜力響應較為吻合，表明修正曲面消除動力的效果較好。

本文1.2.2中的推導表明，軸重荷載向量A、誤差方差基本值σ 20和誤差參數(shù)λ的最優(yōu)值是互相耦合的，可通過迭代求解。圖4（a）～（e）和圖 5（a）～（e）分別給出了工況①和工況②下的5種誤差模式的參數(shù)最優(yōu)值的迭代求解過程，收斂閾值設置為1.0×10-10。結果表明，不同誤差模式下的耦合參數(shù)均能在200次迭代內(nèi)滿足收斂閾值。其中，Type5需要的迭代次數(shù)最多。

對于工況①（如圖 6所示），響應數(shù)據(jù)R?直接采用動力響應，由于動力響應與靜力響應存在較大的誤差，橋梁車輛荷載估計值與真值不能吻合；95%置信區(qū)間寬度較大，后驗分布曲線“矮而胖”，表明不確定性較大；各誤差模式中，模式Type5較合理，但各模式概率相差不大。對于工況②（如圖7所示），響應數(shù)據(jù)R?為修正后的動力響應，各誤差模式下的荷載估計概率分布峰值和荷載真值能夠較好地吻合，能夠對車輛荷載進行有效的識別；95%置信區(qū)間寬度較工況①小，表明不確定性較小，荷載識別精度得到提高；各誤差模式中，模式Type5較合理，模式概率較Type1～4大，后驗分布曲線“高而瘦”，不確定性較小。詳細荷載識別算例結果數(shù)據(jù)如表 1所示。

3 實橋驗證

3.1 橋梁結構和加載車輛

某三跨連續(xù)梁計算跨徑為3×32.7 m，主梁采用等截面小懸臂單箱三室斜腹板箱梁，標準底板寬度11.4 m，翼緣板懸臂1.0 m，外挑翼緣厚度20～35 cm，1/2標準截面如圖 8（a）所示。

加載車輛為滿載的三軸大型載重汽車，軸距1和軸距2分別為3.5 m和1.35 m，前軸A1為10 t，后軸A2重13 t，后軸A3重12 t，總重35 t，如圖 8（b）所示。動態(tài)撓度測點的位置為第二跨跨中截面的中心處，采用接觸式頂桿位移計，采樣頻率為200 Hz，如圖 9（a）所示?，F(xiàn)場跑車試驗采用東華軟件分析系統(tǒng)對動態(tài)位移數(shù)據(jù)進行采集，加載車輛沿著道路中線行駛，如圖 9（b）所示。

在本研究中，車輛以10，20，30 km/h勻速通過該連續(xù)梁，采集第二跨的跨中撓度的時程響應數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，如圖10所示。

3.2 計算結果

本研究對某連續(xù)梁橋進行荷載試驗，獲得橋梁結構在車輛速度為10，20，30 km/h速度下的跨中撓度響應曲線。車輛速度為10 km/h下的響應受到動力因素的影響相對較小，可視為靜力響應。通過最小二乘法［31］ ，可獲得橋梁結構的位移影響線，如圖11所示。對動力響應進行修正分為兩個環(huán)節(jié)，首先采用平滑樣條算法［32］ 將動力響應曲線的局部誤差消除，然后利用修正曲面對動力響應進行整體上的動力消除，得到修正后的動力響應，如圖12所示。結果表明，動力荷載和靜力荷載存在較大的差異；動力消除后的響應更接近靜力響應。

通過類似“數(shù)值算例”中的迭代求解，可得耦合參數(shù)的最優(yōu)值。計算結果表明，車輛速度為20 km/h的工況下5種誤差模式收斂需要的迭代次數(shù)分別是10，12，15，11和115次；車輛速度為30 km/h的迭代次數(shù)分別是11，12，17，11和183次。由此可見，在設置收斂閾值為1.0×10-10的條件下，參數(shù)均能在200次迭代內(nèi)滿足收斂閾值，實現(xiàn)收斂。

圖13和14分別給出了速度為20 km/h和30 km/h下5種誤差模式對應的車輛荷載概率分布圖，詳細荷載識別算例結果如表 2所示。從車輛速度的角度來看，不同車輛速度下的橋梁車輛荷載估計結果差異不大。從不同的誤差模式的角度來看，Type1～4的車輛荷載估計值與真值（A1=10 t，A2=12 t，A3=13 t）不能吻合；95%置信區(qū)間寬度較大，平均寬度為3.62，表明不確定性較大。Type5能夠對車輛荷載進行精確識別，估計值和真值吻合良好；95%置信區(qū)間寬度較小，平均寬度為3.3，不確定性較小。從模式概率的角度來看，Type1～4對應的概率均較小，而Type5的概率接近100%。總體而言，誤差模式Type5能較好地消除動力沖擊的影響，準確地識別出各種速度下的橋梁車輛荷載，不確定性較小，可靠度高。

4 結 論

（1） 修正曲面可以有效地消除車輛動力沖擊的影響，動力響應修正前后的荷載識別效果有較大差異， 修正曲面有效地提高了車輛荷載識別精度。

（2） 提出的方法能對車輛荷載識別結果以95%置信區(qū)間形式呈現(xiàn)，從而實現(xiàn)荷載識別不確定性量化，動力響應修正能有效地減少荷載識別的不確定性。

（3） 貝葉斯方法能夠識別出最佳誤差模式，并以概率的形式進行合理性評估，提高了荷載識別的魯棒性和可靠性。在本研究的各算例中，Type5（σ 2i=σ 20λVi）相對于其他誤差模式更為合理。

（4） 更優(yōu)的誤差模式假設有待后續(xù)研究進一步發(fā)現(xiàn)和探索。

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Research on Bayesian method for identifying the vehicle loads on the bridge

MAO Jian?xiao 1 ?PANG Zhen?hao 1WANG Hao 1 ?WANG Fei?qiu 2

1. Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structure of Ministry of Education， Southeast University， Nanjing 211189， China；

2. Jiangsu Engineering Co.， Ltd. of China Railway 24th Bureau Group， Nanjing 210038， China

Abstract A novel method is proposed for identifying vehicle loads on bridges and selecting the error pattern based on Bayesian inference. Initially， the expression of the relationship between the vehicle loads and the measured responses is constructed using the static influence line. The modified coefficient surface is then established to eliminate the identification error caused by the dynamic effects. Afterwards， five error modes related to the structural responses and vehicle speed are introduced. According to the assumed prior distribution， the posterior distribution of vehicle axle loads is derived. On that basis， the optimal estimated value and confidence interval of vehicle loads can be obtained. Furthermore， the posterior probability of each error mode is calculated. Finally， the identification accuracy and reliability of the proposed method for scenarios under different vehicle speeds are validated by the numerical example of simply supported beam and the dynamic load test of a continuous beam bridge. The results show that the modified coefficient surface can effectively eliminate the vehicle dynamic impact and improve the accuracy of vehicle load identification. The result of vehicle load identification is presented in the form of confidence interval to quantify the uncertainty. Bayesian method can identify the optimal error pattern， which further improves the robustness of load identification.

Keywords vehicle load identification; Bayesian inference; uncertainty quantification; pattern selection; dynamic response elimination