利用改進交叉模型交叉模態(tài)的隨機模型修正方法

王炎 陳輝 黃斌 柴滿

摘要 將混合攝動?伽遼金方法和改進的交叉模型交叉模態(tài)技術相結合，提出了一種隨機模型修正方法。該方法有效緩解了模型修正過程中測量數據有限和測量誤差不確定的影響?？紤]到實測模態(tài)數據具有不確定性，基于改進的交叉模型交叉模態(tài)方法，建立了一個新的描述結構隨機參數和隨機響應關系的模型修正方程。利用混合攝動?伽遼金方法求解該隨機修正方程，進而得到結構隨機修正參數的統(tǒng)計特征。簡支梁的數值結果表明，該方法在測量數據不確定性較大時仍能保持很高的修正精度，同時計算效率比蒙特卡羅模擬方法高出一個數量級。在測量模態(tài)數據較少的情況下，該方法比單獨的混合攝動?伽遼金修正方法修正效果好，且比交叉模型交叉模態(tài)法的修正精度更高。框架試驗的結果表明，該方法可以同時修正結構的剛度和質量，修正后的結構參數與預設工況基本吻合，同時能復現結構的測量模態(tài)，從而驗證了所提方法的有效性。

關鍵詞 隨機模型修正; 隨機混合?攝動伽遼金方法; 改進的交叉模型交叉模態(tài)方法

引 言

近幾十年來，基于動力測量數據的有限元模型修正方法越來越受到關注。許多研究人員在這一領域進行了廣泛的研究，并取得了大量研究成果［1?4］。

在動力有限元模型修正中，修正參數的選擇對修正結果有很大影響。如果修正參數過多，在修正過程中往往會出現病態(tài)問題，所以在修正模型之前首先要排除不敏感的修正參數［5］。關于動力有限元模型修正方法，Hu等［6］提出了一種基于交叉模型交叉模態(tài)（CMCM）方法的模型修正技術。與傳統(tǒng)的模型修正方法不同，該方法可以同時修正結構的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣。此外，該方法不用迭代計算，計算效率較高。在CMCM方法中，通過將結構的實測模態(tài)和計算模態(tài)相乘，就可以僅用少量的測量模態(tài)構建多個模型修正方程。李世龍等［7］利用CMCM方法，提出了一種有效識別子結構邊界約束狀態(tài)的模型修正方法。Wang等［8］使用了CMCM方法對海上平臺進行了試驗研究，證明了當結構的實際測量模態(tài)不完整且只有低階測量模態(tài)可用時CMCM方法的有效性。在已有的CMCM方法的基礎上，Liu等［9］提出了一種基于改進的交叉模型交叉模態(tài)（ICMCM）的模型修正方法，該方法充分利用實測數據，進一步增加了修正方程的個數。然而，這些方法僅涉及確定性有限元模型修正，當結構參數的不確定性或者測量噪聲無法避免時，現有的CMCM方法將不適用。因此，充分利用CMCM方法的優(yōu)點，并將它融入隨機模型修正中，是一項非常有意義的工作。

在隨機模型修正領域中，蒙特卡羅方法、攝動法以及貝葉斯方法被廣泛使用。Schu?ller等［10］使用了具有大樣本的蒙特卡羅模擬來計算模型修正的統(tǒng)計特性。宗周紅等［11］在對下白石連續(xù)剛構橋進行模型修正的過程中，利用蒙特卡羅模擬方法和有限元方法進行不確定性量化分析，并評價模型的預測精度，實現對于連續(xù)剛構橋的有限元模型確認。但是對于大型結構而言，這種方法的計算效率太低，耗時過長。與蒙特卡羅方法不同的是，攝動法具有推導簡單、計算效率高的特點。Hua等［12］使用一種改進的攝動法，利用隨機實測模態(tài)數據對桁架橋有限元模型進行修正，并估計了結構參數的均值和均方差。盡管攝動法的計算效率比較高，但其對測量誤差的變異性要求比較苛刻。隨機模型修正方法中，另一個具有代表性的方法是基于馬爾可夫鏈與蒙特卡羅抽樣的貝葉斯方法［13?15］，但是基于此種抽樣的貝葉斯方法會面臨較大的挑戰(zhàn)，即需要非常耗時的重復有限元計算。為了提高計算效率，Wan等［16］和Fang等［17］分別采用了高斯代理模型和隨機響應面模型對原有的貝葉斯方法進行了改進。與上述方法不同，Huang等［18］提出了一種基于混合攝動?伽遼金方法（HPG）的隨機模型修正方法（HPG?SMUM），該方法在測量變異性較大情況下具有比較高的修正精度和效率，此方法也為確定性模型修正方法擴展到隨機領域提出了一個新的思路和完整的框架。

本文將隨機攝動?伽遼金方法與改進的交叉模型交叉模態(tài)方法結合，提出一種隨機模型修正方法。該方法可利用含測量誤差的少量模態(tài)測量數據實現結構有限元模型的有效修正。文中用一個簡支梁的數值算例來驗證該方法的有效性和不同模態(tài)組合的穩(wěn)定性，并利用七層框架的模態(tài)試驗來驗證所提方法在較少測量模態(tài)情況下仍能同時有效地修正結構剛度和質量。

1 基于ICMCM的隨機模型修正方程

考慮具有N個自由度的無阻尼結構，該結構初始模型滿足以下特征值方程：

式中 Ka和Ma分別為初始結構模型的整體剛度矩陣和質量矩陣；λi和?i分別為初始模型的第i階特征值和特征向量；nc為初始模型的計算模態(tài)的個數。

類似地，實際結構的特征值方程可以表示為：

式中 Kd和Md分別為實際結構模型的整體剛度矩陣和質量矩陣；λ?j和??j分別為實際模型的第j階特征值和特征向量；nm為實際模型的計算模態(tài)的個數。

初始結構與實際結構的質量矩陣、剛度矩陣存在以下關系：

式中 Ne為結構的單元個數；Kn和Mn分別為結構第n個單元的N×N單元組裝矩陣；αn和βn分別為結構第n個單元的剛度和質量的修正系數，表示實際結構的單元剛度和質量相對于初始矩陣的變化率。

通過文獻［6］可以得到確定性的基于交叉模型交叉模態(tài)的模型修正方程為：

對式（5）進行因式變換可以得到：

通過求解式（6）所示的方程組可以得到剛度和質量的修正系數αn和βn。但是由于在實際的模態(tài)測量中只能精確測量出前幾階模態(tài)，使得修正系數方程組的方程個數比較少，導致求解結果不正確且不穩(wěn)定。因此Liu等［9］對傳統(tǒng)的CMCM方法進行改進，充分利用測量模態(tài)數據，在式（2）方程兩邊同時乘??Tj，得到如下所示的基于ICMCM的模型修正方程：

對式（7）進行因式變換，可以得到：

顯然，式（8）也含有與方程（6）相同的修正系數，結合式（6）和（8），就可以得到更多的修正方程，確保修正方程的適定性。

在實際結構的模態(tài)試驗過程中，不可避免地會遇到測量誤差。假定第j階的特征值和特征向量可以表示為：

式中 λ?0j和??0j分別為測量的第j階特征值和特征向量均值；λ?1j和??1j分別為第j階測量誤差的確定性部分；ξj為與測量誤差相關的隨機變量，且隨機變量的分布類型由實測數據的統(tǒng)計特征或者是工程經驗決定。

假設所有隨機變量ξj完全相關，并且表示為隨機變量ξ，則第n個剛度單元和質量單元的修正系數可以分別用下式表示：

上述方法就是本文所提出的結合HPG和ICMCM的隨機模型修正方法（HPG?ICMCM）。假設用[C（0）E（0）]和[C（1）E（1）]代替式（19），（22）和（25）中的[C（0）IE（0）I]和[C（1）IE（1）I]，相應的向量γ（0），γ（1），γ（2）也可以通過上述方式遞推得到。此時，HPG?ICMCM方法退化為HPG?CMCM方法。

需要注意的是，實際結構的轉角模態(tài)往往難以測量。此外，由于測量條件的限制，僅能測量包括部分測點的振型。因此，本文使用文獻［19］的模態(tài)擴階方法得到完備振型的均值和標準差。同時，在求解方程組（19），（22）和（25）的過程中，采用截斷奇異值分解或者L1正則化技術［20］避免方程病態(tài)的問題。

3 數值算例

考慮一個簡支梁，如圖2所示。簡支梁的跨度為6 m，截面為0.2 m×0.25 m，彈性模量為2.8×1010 Pa，密度為2.5×103 kg/m3。將該Euler?Bernoulli梁的有限元模型沿梁長度方向劃分為15個相同的單元，每個節(jié)點包含豎向位移和轉角兩個自由度。

根據測量經驗，可以假設實測模態(tài)數據服從某種概率分布，如正態(tài)分布或者β分布。由于實測數據是有界的，本文假設實測模態(tài)數據服從β分布。依據工程經驗，動力特性測試數據的變異系數一般在0.01～0.02之間，這里假設變異系數為0.02。

首先，考慮結構質量不發(fā)生變化，單元1，3，7，9和11的剛度分別減小30%，15%，20%，20%和30%，其余單元的剛度和初始模型相同。取前六階初始模型的計算模態(tài)和前六階測量模態(tài)，使用HPG?ICMCM方法和HPG?CMCM方法對模型進行修正，同時利用與本文所提出的方法對應的蒙特卡羅模擬方法（MC?ICMCM）和Huang等［18］的HPG?SMUM方法求解上述方法中的修正系數的統(tǒng)計特性，在求解過程中使用奇異值分解正則化技術降低矩陣求逆的不適定性，以提高計算精度。修正結果如圖3和4所示。

觀察圖3和4，不難看出，當結構的自由度比較多但測量模態(tài)有限時，通過HPG?SMUM方法得到的修正系數均值和預設的真實值差別比較大。例如，HPG?SMUM方法得到的單元1剛度修正系數均值為-0.02，和MC?ICMCM方法結果相比，相對誤差接近90%。同時，單元2，15的剛度修正系數均小于-0.1，出現了明顯誤判。對于單元8，10，13和15，HPG?SMUM方法的修正系數標準差結果和MC?ICMCM方法結果最大相對誤差達到400%，說明在這種情況下HPG?SMUM方法修正效果不能令人滿意。而通過HPG?ICMCM方法和HPG?CMCM方法得到的各單元修正系數與MC?ICMCM相比較，均值的絕對誤差均未超過0.03，標準差的相對誤差基本小于20%?？梢哉f明統(tǒng)計結果和仿真試驗預設的結果基本吻合，并且HPG?ICMCM方法的均值結果吻合更好。

為了驗證同時修正質量和剛度時本文方法的有效性，假設單元3，5，6，8，9，11和13的實際質量分別增加10%，20%，20%，20%，20%，20%和10%，同時，單元1，3，5，7，9，11和13的彈性模量分別降低30%，15%，20%，20%，20%，30%和30%，其余單元的質量和剛度和初始模型相同。選擇這15個單元的質量和彈性模量作為待修正的參數。首先假設測量得到了被測結構的前六階模態(tài)的頻率和豎向位移振型，再通過模態(tài)擴階方法得到被測模態(tài)的完整形式。之后對于初始模型，通過計算得到其前七階模態(tài)數據。這里分別使用MC?ICMCM，HPG?ICMCM和HPG?CMCM三種方法進行模型修正。修正系數的統(tǒng)計特性如圖5～8所示。

從圖5～8中可以看出，一方面，在剛度和質量出現變化的單元里，由HPG?ICMCM方法得到的剛度和質量修正系數均值與MC?ICMCM方法得到結果的相對誤差均小于10%。并且，除了單元3之外，各單元剛度與質量修正系數標準差與MC?ICMCM方法相比均小于30%，這個現象說明所提出的HPG?ICMCM方法的修正精度和效果是令人滿意的。另一方面，HPG?CMCM方法的修正系數均值和預設的值相差較大，特別是在修正剛度時，除單元11和13以外，均出現了明顯的誤判。從而可以說明HPG?ICMCM方法得到的修正系數的統(tǒng)計特性比HPG?CMCM方法更加接近假定的真值，并且與MC?ICMCM方法得到的結果非常接近。除此之外，為了分析測量誤差變異系數對HPG?ICMCM方法和HPG?CMCM方法的影響，圖9給出了變異系數為0.02時，修正后結構的前五階頻率的概率密度函數。

從圖9中可以看出，HPG?ICMCM方法與蒙特卡羅模擬方法的結果吻合，而通過HPG?CMCM方法得到的修正頻率不符合仿真預設的實測頻率。這進一步說明了HPG?ICMCM方法的優(yōu)越性。此外，基于三萬個樣本的MC?ICMCM方法在CPU為i5?10400、運行內存16 GB的個人計算機上計算時間超過了1800 s，而本文提出的HPG?ICMCM方法僅用時120 s，二者對比說明了此方法的高效率。

對于不同的模態(tài)組合，文獻［9］指出當測量模態(tài)數據較少時，確定性CMCM方法可能會導致修正結果不穩(wěn)定。接下來，將驗證在有限實測數據的情況下，HPG?ICMCM方法的穩(wěn)定性。假設質量和剛度的折減量與之前簡支梁仿真算例的預設值完全相同，不進行模態(tài)擴階，考慮計算和測量模態(tài)的不同組合工況。不同工況下，模態(tài)組合如表1所示。

在這四種工況下，采用HPG?ICMCM方法對簡支梁進行模型修正，得到單元修正系數的統(tǒng)計特性，如圖10～13所示。圖10～13結果顯示在四種不同的模態(tài)組合中，獲得的修正系數統(tǒng)計特性非常接近。

從圖14中可以看到，選取不同的模態(tài)組合都可以得到較準確的修正結果。由于采用了ICMCM方法增加了修正方程數量，盡管測量模態(tài)的數量逐漸減少，修正后的頻率仍然能很好地與測量結果吻合，說明了本文提出方法的穩(wěn)定性。

4 七層框架試驗

為了驗證HPG?ICMCM方法的有效性，制作了一個七層框架，如圖15（a）所示。該七層框架層高為150 mm，框架動力模型采用葫蘆串模型，如圖15（b）所示，各單元質量為每層鋁合金質量塊及低頻傳感器和夾具組成。層間剛度由兩側的鋼板提供，兩側側板均采用1 mm厚的304不銹鋼板切割成型制作?？蚣艿牡撞渴褂寐萁z緊固在試驗臺上。層間鋼板材料的彈性模量為194 GPa、密度為7.93 g/cm3，泊松比為0.3。每層側板的寬度為100 mm，在框架的模態(tài)試驗中，將第2，4和6層間兩側的鋼板分別切除30%，10%和20%，用來模擬剛度退化?？蚣艿母鲉卧馁|量如表2所示，在單元2，4和5處附加質量塊模擬質量變化。在模態(tài)測試中，使用5個加速度傳感器分兩批測量。由于傳感器的重量不能忽略，為了使測試過程中每層質量相同，因此在沒有布置傳感器的層中布置與傳感器等重的配重塊。試驗中，采取了6種不同的傳感器布置方式進行了6組測量。

每一組測量均采用不測力法對框架結構進行模態(tài)測試。在采集了7個測量點的加速度數據之后，使用增強型頻域分解方法［21］識別該框架的模態(tài)，并采用測量軟件內5種不同的分析點數（512，1024，2048，4096，8192）進行模態(tài)分析。對30組樣本進行統(tǒng)計分析之后，得到前三階測量模態(tài)的均值，并且得出測量頻率的變異系數為0.01。預計在實際工程測量中變異系數會更大。

選擇前三階實測模態(tài)和初始模型的前四階計算模態(tài)用于模型修正，將7個單元的彈性模量和質量作為修正系數，總共14個修正參數。其中，七層框架的剛度修正系數從下到上編號為1～7，每層對應的質量修正系數編號為8～14。采用HPG?ICMCM方法進行計算，并使用L1正則化技術降低求解過程中矩陣求解的不適定性，得到修正系數的統(tǒng)計特性如圖16和17所示。

從圖16中可以看出，修正參數的均值與預設工況基本吻合。由于測量誤差的隨機性，修正后的參數也具有隨機性，修正系數的標準差如圖17所示。從圖17中可以看出，修正系數的標準差最大值為0.03，最小值為0.005。用修正后的參數計算結構頻率的概率密度函數，如圖18所示。從圖18中可以看出，本文方法修正的結構頻率概率密度與測量結果基本一致。這說明了本文方法對于試驗框架結構是有效的。

5 結 論

本文提出了一種交叉模型交叉模態(tài)隨機有限元模型修正方法。該方法成功地將確定性的改進交叉模型交叉模態(tài)模型修正方法拓展到隨機領域。建立了基于ICMCM方法的隨機模型修正方程，并對方程進行了求解。該方法同時具備了ICMCM方法僅用少量模態(tài)即可構造大量修正方程的優(yōu)點，以及能夠考慮測量誤差的隨機性，并能用混合攝動?伽遼金方法高效求解隨機模型修正方程的優(yōu)點。

簡支梁算例的結果表明，本文方法可以有效處理測量數據中較大的不確定性，并且計算效率要比直接采用蒙特卡羅模擬方法高出1個數量級。當測量數據較少時，新的方法比已有的混合攝動?伽遼金修正方法修正效果好，且比交叉模型交叉模態(tài)法的修正精度更高。七層框架結構試驗表明了本文方法對實際結構模型修正的有效性。

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Stochastic model updating method using the improved cross-model cross-mode technique

WANG Yan 1 ?CHEN Hui 1，2HUANG Bin 1 ?CHAI Man 1

1. School of Civil Engineering and Architecture， Wuhan University of Technology， Wuhan 430070， China；

2. College of Post and Telecommunication， Wuhan Institute of Technology， Wuhan 430073， China

Abstract In this paper， a new stochastic model updating method is proposed， which combines the random hybrid perturbation-Galerkin method with the improved cross-model cross-mode technique. This method effectively alleviates the impaction of limited measurement data and uncertain measurement errors on model updating. Considering the uncertainty of the measured modal data， a new stochastic updating equation with update coefficient vector is established based on the improved cross-model cross-mode method. Using the hybrid perturbation-Galerkin method to solve the stochastic updated equation， the update coefficient vector is obtained. The statistical characteristics of the update coefficients can then be determined. The numerical results of the simply supported beam show that the proposed method can effectively deal with the relatively large uncertainty in the actual measurement data， and shows relatively strong stability in the case of different modal combinations， and has a higher computational efficiency than the Monte Carlo method. Considering the rank deficit， the improved cross-model cross-mode method proposed in this paper can get better updating results than the cross-model cross-mode method. The experimental results of the frame show that the new method can simultaneously modify the stiffness and the quality of the structure， and the updated model can be used to obtain modal data consistent with the measured results， thus verifying the effectiveness of the proposed method.

Keywords stochastic model updating; hybrid perturbation-Galerkin method; improved cross-model cross-mode technique