面向超材料微結(jié)構(gòu)的離散變量拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計①

劉宏亮,蔣亦煌,梁 緣,王培金,郝 鵬

(1.沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院,遼寧省飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,沈陽 110136;2.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系, 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116023)

0 引言

具有周期性微結(jié)構(gòu)組成的超材料結(jié)構(gòu)憑借其優(yōu)異的力學(xué)性能以及獨(dú)特的物理性能在航空航天領(lǐng)域展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。例如,運(yùn)載火箭、載人飛船、人造衛(wèi)星等航天器在服役過程中對結(jié)構(gòu)輕量化和高性能化的需求不斷增加,因此具有特異性能且輕質(zhì)的超材料結(jié)構(gòu)獲得了越來越廣泛的關(guān)注。事實(shí)上,微結(jié)構(gòu)的幾何形狀和物理性能往往決定了由其組成的宏觀構(gòu)型的力學(xué)性質(zhì),這就使得微結(jié)構(gòu)設(shè)計具有重要的學(xué)術(shù)意義和應(yīng)用價值。隨著高新科技的不斷發(fā)展,增材制造等先進(jìn)技術(shù)變得愈來愈成熟,具有復(fù)雜構(gòu)型的微結(jié)構(gòu)也可以被制造出來,從而進(jìn)一步促進(jìn)超材料設(shè)計[1],而這也推動了航空航天裝備的前沿研究和應(yīng)用發(fā)展。

在眾多設(shè)計方法中,拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)通過在給定的設(shè)計區(qū)域內(nèi)尋求材料的最佳分布使得約束條件下的結(jié)構(gòu)性能最優(yōu),是一種有效獲得新型微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的方法。近年來,結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)被廣泛應(yīng)用于眾多工程領(lǐng)域,已成為結(jié)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計的有效途徑[2-4]。目前被廣泛采用的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有固體各向同性材料懲罰法(Solid Isotropic Material with Penalization, SIMP)[2, 5]、水平集方法(Level Set Method,LSM)[6-7]、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(Evolutionary Structural Optimization,ESO)[8-9]和移動可變形組件方法(Moving Morphable Components, MMC)[10]等。

對于由周期性微結(jié)構(gòu)單胞組成的宏觀結(jié)構(gòu)材料,其每一點(diǎn)的有效物理性質(zhì)可以由數(shù)值均勻化方法獲得[11]。BENDS?E和KIKUCHI[12]通過使用漸近均勻化方法對結(jié)構(gòu)中不同位置的微結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化,從而優(yōu)化出整體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在漸近均勻化方法的基礎(chǔ)上,多種可設(shè)計微觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法被成功地擴(kuò)展到周期性微結(jié)構(gòu)設(shè)計中。例如,RADMAN等[13]采用漸進(jìn)優(yōu)化方法以及LI等[14]采用水平集方法設(shè)計出了具有特定性能的周期性功能梯度微結(jié)構(gòu)。值得指出,SIMP方法因其概念簡單、易于實(shí)現(xiàn)且計算效率高的特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于超材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計。SIGMUND[15]將SIMP方法和逆均勻化方法相結(jié)合設(shè)計出具有特定本構(gòu)參數(shù)的微結(jié)構(gòu)。隨后,SIGMUND和TORQUATO[16-18]進(jìn)一步設(shè)計出了具有特定熱膨脹系數(shù)和壓電系數(shù)的微結(jié)構(gòu)。另外,SIMP方法還被用于具有特定力學(xué)性能的手性材料設(shè)計[19],同時滿足零膨脹和高剛度的多功能性單胞構(gòu)型設(shè)計[20-22]以及最大滲透率設(shè)計[23]。XIA和BREITKOPF[24]使用了能量均勻化方法計算單胞的等效力學(xué)性能,并結(jié)合密度法獲得了三種不同目標(biāo)的微結(jié)構(gòu)設(shè)計,與漸近均勻化方法相比,該方法具有計算效率高的優(yōu)點(diǎn)。需要說明的是,SIMP方法由于使用連續(xù)變量,在計算過程中會存在中間密度,即使增大懲罰因子,中間密度也難以被完全消除,這會一定程度上損害優(yōu)化結(jié)果的目標(biāo)值,還會影響結(jié)構(gòu)的可制造性[25]。

本文工作致力于獲得清晰的超材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計,從而為提取和控制結(jié)構(gòu)的幾何信息提供便利,促進(jìn)結(jié)構(gòu)設(shè)計和制造過程的深度融合。本文采用能量均勻化方法,在此基礎(chǔ)上研究了基于離散變量方法[26-27]的結(jié)構(gòu)體積約束下的微結(jié)構(gòu)設(shè)計。根據(jù)不同的初始設(shè)計,獲得體積模量最大化和剪切模量最大化的微結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計。數(shù)值算例用于說明本文優(yōu)化設(shè)計的有效性,并研究了初始設(shè)計和體積約束對微結(jié)構(gòu)離散變量拓?fù)湓O(shè)計構(gòu)型的影響。

1 能量等效均勻化

1.1 基于能量等效均勻化的等效性質(zhì)計算

(1)

根據(jù)單元應(yīng)變能,可以將式(1)改寫為[15]

(2)

基于有限元分析,將微結(jié)構(gòu)離散成N個單元,則式(2)可以修改為

(3)

對于二維結(jié)構(gòu)設(shè)計問題,等效本構(gòu)張量可以寫為如下表達(dá)式:

(4)

(5)

1.2 周期性邊界條件

超材料往往在結(jié)構(gòu)中周期性排布,因此需要在單胞上施加周期性邊界條件以獲得單胞的等效性質(zhì)。根據(jù)文獻(xiàn)[28]所述,邊界上的周期性條件可表示為

(6)

值得指出,需要將式(6)轉(zhuǎn)換成為一種更顯式的周期性邊界條件[29]?？紤]圖1所示的微結(jié)構(gòu),一組相對邊界上的位移為

(a) Applying horizontal unit strain (b) Applying unit strain in vertical direction (c)Applying unit shear strain圖1 施加不同應(yīng)變后的周期性微結(jié)構(gòu)變形示意圖Fig.1 Schematic diagram of periodic microstructure deformation after applying different strains

(7)

在二維設(shè)計問題中,上標(biāo)k分別表示垂直于水平或豎直方向的邊界面。通過將式(7)中的兩式相減,可得到如下關(guān)系式:

(8)

(9)

(10)

如圖1(c)所示,施加單位剪切應(yīng)變時,左右對邊水平方向自由度位移與上下對邊豎直方向自由度位移需要滿足:

(11)

2 離散變量下的超材料設(shè)計優(yōu)化列式及其求解

本文考慮體積約束下微結(jié)構(gòu)設(shè)計的離散變量拓?fù)鋬?yōu)化列式如式(12)所示:

(12)

式中C為單胞等效性質(zhì)的目標(biāo)函數(shù);K(ρ)為結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣。

由于離散變量的特點(diǎn)是無需進(jìn)行剛度懲罰,因此總體剛度矩陣與設(shè)計變量的關(guān)系可以表示為

(13)

本文的設(shè)計目標(biāo)是考慮體積模量和剪切模量最大化。對于體積模量最大化設(shè)計問題,相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)可以定義為

(14)

對于剪切模量最大化設(shè)計問題,其目標(biāo)函數(shù)可以定義為

(15)

優(yōu)化列式(12)是目標(biāo)函數(shù)的隱式函數(shù),本文將使用靈敏度信息將式(12)顯式化。

當(dāng)考慮體積模量最大化設(shè)計問題時,目標(biāo)函數(shù)的離散變量靈敏度可以采用如下表達(dá)式計算:

當(dāng)考慮剪切模量最大化設(shè)計問題時,目標(biāo)函數(shù)的離散變量靈敏度的計算表達(dá)式為

(17)

為了消除棋盤格式,本文采用如下形式的線性靈敏度過濾(以體積模量為例):

(18)

其中,

Hij=max(0,rmin-Δ(i,j))

式中rmin為濾波半徑;Δ(i,j)為單元i與單元j中心點(diǎn)的距離。

為了求解大規(guī)模非線性整數(shù)規(guī)劃問題,采用序列近似整數(shù)規(guī)劃和正則松弛算法求解,利用目標(biāo)函數(shù)的離散變量靈敏度將原隱式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如下形式的顯式規(guī)劃問題[26]:

(19)

3 數(shù)值算例

本節(jié)基于兩種不同的初始設(shè)計構(gòu)型給出微結(jié)構(gòu)設(shè)計中離散變量方法的數(shù)值結(jié)果與討論。其中,材料彈性模量取為E0=1,泊松比ν= 0.3,初始設(shè)計區(qū)域如圖2所示。

(a)Circular hole (b)Square hole圖2 初始設(shè)計區(qū)域Fig.2 Initial design domain

3.1 體積模量最大化設(shè)計

(a)Optimization result and iterative curve of initial design with circular hole

(b)Optimization result and iterative curve of initial design with square hole圖3 體積模量最大化設(shè)計結(jié)果及迭代曲線Fig.3 Optimization results and iteration curves of bulk modulus maximization

(a)Optimization result of initial design with circular hole (b)Optimization result of initialdesign with square hole圖4 體積模量最大化優(yōu)化結(jié)果(SIMP方法Fig.4 Optimization results of bulk modulus maximization

圖5 體積模量最大化優(yōu)化結(jié)果及迭代曲線Fig.5 optimiation resuits and iteration curves of buik moduius maximization

圖6 體積模量最大化的初始設(shè)計及優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Initial design and optimization results for bulk modulus maximization

基于圖6(a)的初始設(shè)計,經(jīng)迭代計算后分別得到圖6(b)、(c)的兩種矩形微結(jié)構(gòu),兩者收斂設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)值分別為0.725 4和0.225 9。對比之前計算得到的正四邊形微結(jié)構(gòu),目標(biāo)函數(shù)值相差較小。

3.2 剪切模量最大化設(shè)計

圖7 剪切模量最大化優(yōu)化結(jié)果及迭代曲線Fig.7 Optimization results and iteration curves of shear moduius maximization

圖8 網(wǎng)格加密后剪切模量最大化優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Optimization results of shear modulus maximizationafter mesh 0.5)

圖9 剪切模量最大化優(yōu)化結(jié)果及迭代曲線Fig.7 Optimization results and iteration curves of shear moduius maximization

另外,將圖2中初始設(shè)計的圓孔和方孔分別改為原來孔洞大小的14.9%和11.1%,初始設(shè)計和優(yōu)化結(jié)果如圖10所示,相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值分別收斂于0.137 2和0.139 9。從優(yōu)化結(jié)果可以看出,當(dāng)初始設(shè)計改變后,優(yōu)化出的微結(jié)構(gòu)在外部輪廓上具有相似之處,但結(jié)構(gòu)的內(nèi)部構(gòu)造完全不同?？梢?當(dāng)選取不同的初始設(shè)計時,會存在設(shè)計出微結(jié)構(gòu)構(gòu)型不一致的情況。對比圖7的優(yōu)化結(jié)果圖可以發(fā)現(xiàn),圖10的優(yōu)化結(jié)果存在較多的孔洞,這意味著整體結(jié)構(gòu)的剛度會略差于前者,而且計算出的目標(biāo)函數(shù)值可以進(jìn)一步表明圖7的兩種微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的剛度更優(yōu)。

圖10 剪切模量最大化的初始設(shè)計及優(yōu)化結(jié)果Fig.10 Initial design and optimization results for shear modulus maximization

圖11 剪切模量最大化優(yōu)化結(jié)果Fig.11 Optimization results of shear modulus maximization

4 結(jié)論

本文面向新型輕質(zhì)飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計中的超材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,在能量均勻化方法的基礎(chǔ)上利用序列近似整數(shù)規(guī)劃和正則松弛算法實(shí)現(xiàn)了超材料微結(jié)構(gòu)的離散變量拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。結(jié)論如下:

(1)根據(jù)兩種初始孔洞設(shè)計構(gòu)型和隨機(jī)初始設(shè)計,求解了材料體積約束下體積模量最大化和剪切模量最大化兩種結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)的優(yōu)化問題,驗(yàn)證了方法的有效性,獲得了新型微結(jié)構(gòu)設(shè)計。

(2)數(shù)值算例結(jié)果表明基于離散變量的微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計能夠有效避免灰度模糊問題。另外,結(jié)構(gòu)的初始設(shè)計和材料體積約束對優(yōu)化結(jié)果的影響較大,考慮不同性能目標(biāo)的微結(jié)構(gòu)設(shè)計構(gòu)型的差異明顯。